高三復(fù)習(xí)排列組合問題的解題方法

1、排列組合問題的解題方法一、特殊元素（或位置） “優(yōu)先法”：排列組合問題無外乎“元素”與“位置”的關(guān)系問題，即某個元素排在什么位置或某個位置上排什么元素的問題.因此，對于有限制條件的排列組合問題，可從限制元素（或位置）入手，優(yōu)先考慮.例1、在由數(shù)字0、1、2、3、4、5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有( )個 解1：（元素優(yōu)先法）根據(jù)所求四位數(shù)對0和5兩個元素的特殊要求將其分為四類：含0不含5，共有=48(個)；含5不含0，共有 =72(個)；含0也含5，共有48(個)；不合0也不含5，共有24(個)所以，符合條件的四位數(shù)共有48+72+48+24=192(個).解2：（位置

2、優(yōu)先法）根據(jù)所求四位數(shù)對首末兩位置的特殊要求可分三步：第一步：排個位，有種方法；第二步；排首位，有種方法；第三步：排中間兩位，有種方法所以符合條件的四位數(shù)共有=192(個) 二、相鄰問題“捆綁法”：對于元素相鄰的排列問題，可先將相鄰元素“捆綁”起來看作一個元素（整體），先與其它元素排列，然后相鄰元素之間再進(jìn)行排列.例2、6個人排成一排，甲、乙二人必須相鄰的排法有多少種？解：將甲、乙二人“捆綁”起來看作一個元素與其它4個元素一起排列，有種，甲、乙二人的排列有種，共有·=240種.三、不相鄰問題“插空法”：對元素不相鄰問題，可先不考慮限制條件先排其它元素，再將不相鄰元素插入已排好元素的空

3、隙中（包括兩端）即可.例3、用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，其中1與2相鄰、3與4相鄰、5與6相鄰、7與8不相鄰的八位數(shù)共有 個. 解：先“相鄰”排列成三個“大元素”，再三個“大元素”排列，最后7與8“插空”，共有種.四、有序問題“無序法”：對于元素順序一定的排列問題，可先考慮沒有順序元素的排列，然后除以有順序的幾個元素的全排列即可.例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，則按從高到低的一種順序站的站法有多少種？解：6個人的全排列有種，3名男生不考慮身高的順序的站法有種，而由高到低又可從左到右，或從右到左（這是兩種不同的站法），故共有不同站法2÷=24

4、0種.五、分排問題“直排法”：n個元素分成m（mn）排，即為n個元素的全排列.例5、將6個人排成前后兩排，每排3人，有多少種排法.解：6個人中選3個人排在前排有種，剩下3人排在后排有種，故共有=720種.六、分組與分配問題的解法例6、6本不同的書，按以下要求各有多少種分法？平均分成三組；分成1本，2本、3本三組；平均分給甲、乙、丙三人；分給甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；甲得一本，乙得二本，丙得三本.解：此為平均分組問題，共有分法；此為非平均分組問題，共有分法；先分組，再排序，共有種分法；先分組，再排序，分法；共有分法.【注】此例中的每一個小題都提出了一種類型問題，搞清類型

5、的歸屬對今后解題大有裨益，其中：均勻分組問題；非均勻分組問題；均勻不定向分配問題；非均勻不定向分配問題；非均勻定向分配問題.七、綜合問題的解法：對排列組合的綜合問題，由于限制條件較多而使問題較為復(fù)雜.解此類問題時，應(yīng)注意解題的基本策略與方法，抓住問題的本質(zhì)，采用恰當(dāng)方法求解.1、分類分步法：解排列組合的綜合問題，應(yīng)遵循“按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情的發(fā)展過程進(jìn)行分步”的原則，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏.例7、6個人排成一排，甲不在排頭，乙不在排尾的排法有多少種？解：按元素甲分類：甲在排尾，此時乙無任何限制條件地和其余4個元素排在一起，有種排法；甲不在排尾，而甲又不在排頭，則甲有種

6、排法，乙不在排尾也有種排法，其它4人有種排法，共有=504種.2、排除法：對含有否定詞的問題，也可從總體中把不符合條件的排法除去，此時應(yīng)注意不能多除，也不能少除.例如：在例8中，6個人的全排列有種，甲在排頭的排法有種，乙在排尾的排法有種，甲在排頭且乙在排尾的排法有種，故共有=504種.3、集合思想例8、用0、1、2、3、4、5、6七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若數(shù)字3不在百位，數(shù)字5不在個位，共有多少個這樣的五位數(shù)？解：設(shè)M=從七個數(shù)中任取五個數(shù)的排法，A=0在首位的排法，B=3在百位上的排法，C=5在個位上的排法，如圖，則滿足條件的五位數(shù)共有：card（M）card（A）card（B）c

7、ard（C）card（AB）card（BC）card（CA）card（ABC）=個.4、圖示（表）法：對于某些綜合問題，如暫無思路求解，可考慮回歸課本，用樹圖、框圖或圖表法求解.例9、同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人拿一張別人寫的賀年卡，則四張賀年卡的不同分配方法有多少種？解：（樹圖法）如圖， 共有9種不同的選法.例10、3男3女排成一排，下列情形各有多少種排法.男女相間.甲乙之間恰隔二人.解：男女相間的站法有兩類：男女男女男女，女男女男女男，共有2·=72種；甲乙之間恰隔二人有三類：甲××乙××，×甲×

8、5;乙×，××甲××乙，因甲乙可交換位置，故共有3××=144種.例11、9人組成的藍(lán)球隊中，有7人會打衛(wèi)，3人會打鋒，現(xiàn)選5人，按3衛(wèi)2鋒組隊出場，有多少種不同的組隊方法？人數(shù)6人只會衛(wèi)2人只會鋒1人既衛(wèi)又鋒結(jié)果不同選法32221（鋒）311（衛(wèi)）解：9個人中7人會衛(wèi)3人會鋒，故有1人既會衛(wèi)也會鋒，則只會衛(wèi)的有6人，只會鋒的有2人，見下表：故共有=900種方法.5、至多、至少問題間接法：對于含有 “至多”、“至少”的組合問題，分類討論十分麻煩，若用間接法處理，可使問題簡化.例12、某校要從6個班級中選出10人組成一個籃球隊

9、，要求每班至少選1人參加，則這10個名額的不同分配方法有多少種？從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少含甲型與乙型電視機各一臺的不同選法有 種？解：（隔板法）因為名額之間無區(qū)別，所以可把它們視作排成一排的10相同的球，要把這10個球分開成6段（每段至少有一個球），這樣，第一種分隔方法都對應(yīng)一種名額的分配方法，這10個球之間（不含兩端）共有9個空位，現(xiàn)要在這9個空位中放進(jìn)5塊隔板，共有=126種放法，故共有126種分配方法.（排除法）在被取出的3臺中，不含甲型或不含乙型的取法分別為與種，故符合題意的取法有=70種.6、角色轉(zhuǎn)換法：對元素可重復(fù)的排列組合問題，若將元素與位置互換，則可化

10、為相異元素的問題求解.例13、有2個A，3個B，4個C共9個字母排成一排，有多少種排法？解：將字母作為元素，則這是九個元素排在九個位置上的“不盡相異元素的全排列”問題.若將九個位置作為元素，則問題轉(zhuǎn)化為“相異元素不許重復(fù)的組合問題”，即共有種不同的排法.7、分組與分配問題的解法例14、6本不同的書，按以下要求各有多少種分法？平均分成三組；分成1本，2本、3本三組；平均分給甲、乙、丙三人；分給甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；甲得一本，乙得二本，丙得三本.解：此為平均分組問題，共有分法；此為非平均分組問題，共有分法；先分組，再排序，共有種分法；先分組，再排序，分法；共有分法.【

11、注】此例中的每一個小題都提出了一種類型問題，搞清類型的歸屬對今后解題大有裨益，其中：均勻分組問題；非均勻分組問題；均勻不定向分配問題；非均勻不定向分配問題；非均勻定向分配問題.8、方程思想例15、球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分。欲將此十球中的4球擊入袋中，且總分不低于5分，則擊球方法有 種？解：設(shè)擊入黃球x個，紅球y個，則有，且（x，y），解得，或或或，對應(yīng)每組解的擊球方法數(shù)分別為，不同的擊球方法數(shù)為=195種.對排列組合的綜合問題，常用方法是“先選之，再排之”.在分清分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)與方式的基礎(chǔ)上，遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)

12、行分步.在具體應(yīng)用中，要注意“類”與“類”間的獨立性與并列性和“步”與“步”間的連續(xù)性.這要求我們要有周密的邏輯思維能力、準(zhǔn)確的計數(shù)能力和靈活正確運用基礎(chǔ)知識的能力.例16、7個人到7個地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，共有多少種旅游方案？解：（排除法）7個人去7個地方共有種可能.若甲、乙、丙、丁都去各自不能去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有種；若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能去的地方旅游，有種，4人中剩下的一人有種，其余的人去剩下的地方有種，共有=72種；若甲、乙、丙、丁中有2人去各自不能去的地方旅游，有種，余下的5人去5個不同的地方有種，但其中又包括了有條件的

13、4人中的兩人（不妨設(shè)為甲乙）同時去各自不能去的地方有種和這兩人中有一人去各自不能去的地方有種，故共有·（）=468種；若甲、乙、丙、丁中有1人去各自不能去的地方旅游，有種，而余下的6個人的旅游方案仍與的想法一致，共有種.故滿足條件的不同旅游方案共有（6724681704）=2790種.例17、三個學(xué)校分別有1名、2名、3名學(xué)生獲獎，這6名學(xué)生排成一排合影，則同校的任何兩名學(xué)生都不能相鄰的排法有 種.解：由題意可分兩類：先在6個位置上排第一個學(xué)校的三名學(xué)生，兩兩不相鄰（如圖），3名學(xué)生每兩名隔一個空位有2種排法，剩下的三個空位中再選2個排第二個學(xué)校的2名同學(xué)，最后一名同學(xué)自動確定位子，

14、此時有種排法；第一個學(xué)校的3名同學(xué)中有兩名中間隔兩個位子的有兩種排法（如圖）， 剩下的3個位子中，挨著的兩個不能同時選，所以從另外兩個中選，最后一名同學(xué)自動確定位子，此時有種排法.故滿足題設(shè)條件的排法共有120種排法.試題集粹：1、從數(shù)字0、1、3、5、7中取出不同的三個作系數(shù)組成一元二次方程，其中有實根的方程共有 個.2、將6名運動員分成4組，由5名教練員分成4組分別輔導(dǎo)，不同的分配方法有 種.3、身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同排法共有 種. 4、乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽.3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員中選2名安排在第二、四位置，則不同的出場安排有 種.5、用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_（用數(shù)字作答) . 6、某小組12位同學(xué)畢業(yè)前夕要留影，要求排成前5后7兩排，組長站在前排正中間，兩位女生甲、乙站前排且不相鄰，則共有排法種數(shù)有 種. 7、5個人有相應(yīng)的5個指紋檔案，每個指紋檔案上都記錄有相應(yīng)人的指紋痕跡，并有檢測指示燈和檢測時的手指按扭.5個人中某人把手指按在鍵扭上，若是他的檔案，則指示燈出現(xiàn)綠色，否則出現(xiàn)紅色.現(xiàn)在這5人把手指按在5個指紋檔案的按扭上去檢測，規(guī)定一個