高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 172 定積分在物理中的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 新人教版選修22

1、1.7.2定積分在物理中的應(yīng)用明目標(biāo)、知重點(diǎn)1能利用定積分解決物理中的變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功問題2通過定積分在物理中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題，進(jìn)一步體會(huì)定積分的價(jià)值變速直線運(yùn)動(dòng)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即v(t)dt.變力做功如果物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動(dòng)到xb(a<b)，那么變力F(x)所做的功為F(x)dx.探究點(diǎn)一變速直線運(yùn)動(dòng)的路程思考變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移相同嗎？答不同路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個(gè)不同的概念：(1)當(dāng)v(t

2、)0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用v(t)dt求解；(2)當(dāng)v(t)<0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用v(t)dt求解，這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為v(t)dt.例1一輛汽車的速度時(shí)間曲線如圖所示求汽車在這1 min行駛的路程解由速度時(shí)間曲線可知：v(t)因此汽車在這1 min行駛的路程是：s3tdt30dt(1.5t90)dtt2|30t|(t290t)|1 350 (m)答汽車在這1 min行駛的路程是1 350 m.反思與感悟(1)用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和路程問題時(shí)，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵(2)路程是位移的絕對(duì)值之和，因此在求路程時(shí)，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是

3、否恒正，若符號(hào)不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間，然后分別計(jì)算，否則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算失誤跟蹤訓(xùn)練1一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t0(s)開始以速度v(t)t24t3(m/s)運(yùn)動(dòng)求：(1)在時(shí)刻t4時(shí)，該點(diǎn)的位置；(2)在時(shí)刻t4時(shí)，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程解(1)由(t24t3)dt(2t23t)|知，在時(shí)刻t4時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)m.(2)由v(t)t24t3>0，得t(0,1)(3,4)這說明t(1,3)時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向與t(0,1)(3,4)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向相反故s|t24t3|dt(t24t3)dt(4tt23)dt(t24t3)dt4.即在時(shí)刻t4時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m.探究點(diǎn)二變力做功問題思考恒力F沿

4、與F相同的方向移動(dòng)了s，力F做的功為WFs，那么變力做功問題怎樣解決呢？答與求曲邊梯形的面積一樣，物體在變力F(x)作用下運(yùn)動(dòng)，沿與F相同的方向從xa到xb(a<b)，可以利用定積分得到WF(x)dx.例2如圖所示，一物體沿斜面在拉力F的作用下由A經(jīng)B、C運(yùn)動(dòng)到D，其中AB50 m，BC40 m，CD30 m，變力F(單位：N)，在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)F與運(yùn)動(dòng)方向成30°角，在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)F與運(yùn)動(dòng)方向成45°角，在CD段運(yùn)動(dòng)時(shí)F與運(yùn)動(dòng)方向相同，求物體由A運(yùn)動(dòng)到D所做的功(1.732，1.414，精確到1 J)解在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)F在運(yùn)動(dòng)方向上的分力F1Fcos 30°，

5、在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)F在運(yùn)動(dòng)方向上的分力F2Fcos 45°.由變力做功公式得：Wcos 30°dxcos 45°dx600|6004506001 723 (J). 所以物體由A運(yùn)動(dòng)到D變力F所做的功為1 723 J.反思與感悟解決變力做功注意以下兩個(gè)方面：(1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵的一步(2)根據(jù)變力做功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題跟蹤訓(xùn)練2設(shè)有一長25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功解設(shè)x表示彈簧伸長的厘米，F(xiàn)(x)表示加在彈簧上的力，設(shè)F(x)kx，依題意得x5時(shí)F

6、(x)100，k20，F(xiàn)(x)20x.彈簧由25 cm伸長到40 cm即x0到x15所做的功W20xdx10x2|2 250(N·cm)22.5(J)答使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功為22.5 J.1從空中自由下落的物體，在第一秒時(shí)刻恰經(jīng)過電視塔頂，在第二秒時(shí)刻物體落地，已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度為vgt(g為常數(shù))，則電視塔高為()A.g B.gC.g D2g答案C解析hgtdtgt2|g.2一列車沿直線軌道前進(jìn)，剎車后列車速度v(t)270.9t，則列車剎車后前進(jìn)多少米才能停車()A405 B540C810 D945答案A解析停車時(shí)v(t)0，由270.9t0，得t30，

7、sv(t)dt(270.9t)dt(27t0.45t2)|405.3一個(gè)彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，把它從自然長度壓縮到比自然長度短5 cm，求彈簧克服彈力所做的功解設(shè)F(x)kx，因?yàn)閺椈蓧嚎sx cm可產(chǎn)生4x N的力，k4.彈簧克服彈力所做的功為W4xdx4×(x2)|50(N·cm)0.5(J)呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1已知變速運(yùn)動(dòng)方程，求在某段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移或者經(jīng)過的路程，就是求速度方程的定積分解這類問題需注意三點(diǎn)：(1)分清運(yùn)動(dòng)過程中的變化情況；(2)如果速度方程是分段函數(shù)，那么要用分段的定積分表示；(3)明確是求位移還是求路程，求位移可以正負(fù)抵消，求路程不能

8、正負(fù)抵消2利用定積分求變力做功問題，關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間求變力做功時(shí)，要注意單位，F(xiàn)(x)單位：N，x單位：m.一、基礎(chǔ)過關(guān)1一物體沿直線以v2t1 (t的單位：s，v的單位：m/s)的速度運(yùn)動(dòng)，則該物體在12 s間行進(jìn)的路程為()A1 m B2 mC3 m D4 m答案D解析s(2t1)dt(t2t)|4(m)2一物體從A處向B處運(yùn)動(dòng)，速度為1.4t m/s(t為運(yùn)動(dòng)的時(shí)間)，到B處時(shí)的速度為35 m/s，則AB間的距離為()A120 m B437.5 mC360 m D480 m答案B解析從A處到B處所用時(shí)間為25 s.所以|AB|1.4tdt0.7t2|43

9、7.5 (m)3以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t s時(shí)速度v4010t2，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為()A. m B. mC. m D. m答案A解析v0時(shí)物體達(dá)到最高，此時(shí)4010t20，則t2 s.又v040 m/s，t00 s.h(4010t2)dt(40tt3)|(m)4如果1 N的力使彈簧伸長1 cm，在彈性限度內(nèi)，為了將彈簧拉長10 cm，拉力所做的功為()A0.5 J B1 JC50 J D100 J答案A解析由于彈簧所受的拉力F(x)與伸長量x成正比，依題意，得F(x)x，為了將彈簧拉長10 cm，拉力所做的功為WF(x)dxxdxx2|50 (N·cm)0.

10、5 (J)5一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與F(x)相同的方向，從x0處運(yùn)動(dòng)到x4(單位：m)處，則力F(x)做的功為()A44 J B46 JC48 J D50 J答案B解析WF(x)dx10dx(3x4)dx10x|(x24x)|46(J)6做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處，所受的力F(x)1ex，則質(zhì)點(diǎn)沿著與F(x)相同的方向，從點(diǎn)x10處運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)x21處，力F(x)所做的功是()A1e BeC. De1答案B解析WF(x)dx(1ex)dx(xex)|(1e)1e.二、能力提升7若1 N的力能使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時(shí)克服彈力所做的功為_答案0.36 J解析彈

11、簧的伸長與所受到的拉力成正比，設(shè)Fkx，求得k50，F(xiàn)(x)50x.W50xdx25x2|0.36 (J)8汽車以每小時(shí)32 km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以加速度a1.8 m/s2剎車，則從開始剎車到停車，汽車所走的路程約為_(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)答案21.95 m解析t0時(shí)，v032 km/hm/s m/s.剎車后減速行駛，v(t)v0at1.8 t停止時(shí)，v(t)0，則1.8 t0，得t s，所以汽車所走的路程sv(t)dt|21.95(m)9把一個(gè)帶q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，形成一個(gè)電場(chǎng)，已知在該電場(chǎng)中，距離坐標(biāo)原點(diǎn)為r處的單位電荷受到的電場(chǎng)力由公式Fk(其中k為常

12、數(shù))確定在該電場(chǎng)中，一個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)力的作用下，沿著r軸的方向從ra處移動(dòng)到rb(a<b)處，則電場(chǎng)力對(duì)它所作的功為_答案kk解析Wkdrk|kk.10.如圖所示，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置l m處，則克服彈簧力所做的功為_答案kl2 J解析在彈性限度內(nèi)，拉伸(壓縮)彈簧所需的力與彈簧拉伸(壓縮)的長度成正比，即F(x)kx，其中k為比例系數(shù)由變力做功公式得Wkxdxkx2|kl2(J)11一物體按規(guī)律xbt3作直線運(yùn)動(dòng)，其中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x0運(yùn)動(dòng)到xa時(shí)，阻力所做的功解物體的速度vx(t)(bt3)3bt2，媒質(zhì)的阻力F阻kv2

13、k·(3bt2)29kb2t4(其中k為比例常數(shù)，k>0)當(dāng)x0時(shí)，t0；當(dāng)xa時(shí)，t().所以阻力所做的功為W阻F阻dxkv2·vdt9kb2t4·3bt2dt27kb3t6dtkb3t7|k·.故物體由x0運(yùn)動(dòng)到xa時(shí)，阻力所做的功為k·.12物體A以速度vA3t21(米/秒)在一直線上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)物體B也以速度vB10t(米/秒)在同一直線上與物體A同方向運(yùn)動(dòng)，問多長時(shí)間物體A比B多運(yùn)動(dòng)5米，此時(shí)，物體A，B運(yùn)動(dòng)的距離各是多少？解依題意知物體A，B均作變速直線運(yùn)動(dòng)，所以可借助變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式求解設(shè)a秒后物體A比B多運(yùn)動(dòng)5米，則A從開始到a秒末所走的路程為sAvAdt(3t21)dta3a；B從開始到a秒末所走的路程為sBvBdt10tdt5a2.由題意得sAsB5，即a3a5a25，得a5.此時(shí)sA535130(米)，sB5×52125(米)故5秒后物體A比B多運(yùn)動(dòng)5米，此時(shí)，物體A，B運(yùn)動(dòng)的距離分別是130米和125米三、探究與拓展13有一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t時(shí)的速度為v(t)8t2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)求(1)P從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)t6時(shí)，求點(diǎn)P離開原點(diǎn)的路程和位移；(2)P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)