高中數(shù)學(xué)選修21新教學(xué)案32立體幾何中的向量方法5

1、3.2 立體幾何中的向量方法（第 5 課時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)】能用向量方法解決二面角的計(jì)算問(wèn)題.【重點(diǎn)】 二面角的計(jì)算.【難點(diǎn)】 二面角的計(jì)算. 【創(chuàng)設(shè)情景】1.二面角的定義及求解方法；2.平面的法向量的定義.【預(yù)習(xí)提綱】（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 109 頁(yè)第 111 頁(yè)） 1.利用向量求二面角的大小方法一：轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個(gè)向量的夾角（注意：要特別關(guān)注兩個(gè)向量的方向）.如圖：二面角-l-的大小為，A，Bl，AC，BD, ACl，BDl 則=<, >=<, > 方法二：先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，然后通

2、過(guò)解直角三角形求角.如圖：已知二面角-l-，在內(nèi)取一點(diǎn)P， 過(guò)P作PO，及PAl,連AO，則AOl成立，PAO就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO PABl求出PAO.方法三：轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個(gè)半平面的法向量夾角的補(bǔ)角.如圖（1）P為二面角-l-內(nèi)一點(diǎn)，作PA， PB，則APB與二面角的平面角互補(bǔ)。 2.你對(duì)立體幾何中的向量方法有什么樣的認(rèn)識(shí)?結(jié)合下面的框圖談?wù)勼w會(huì)：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義用空間向量表示立體圖形有點(diǎn)、直線、平面等元素進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系【基礎(chǔ)練習(xí)】【典型例題】例3 在正方體中,求二面角的大小。A1xD1

3、B1ADBCC1yzE【審題要津】解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz（法一）,（法二）求出平面與平面的法向量【方法總結(jié)】例2 已知E,F分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)，求：（1）A1D與EF所成角的大小；（2）A1F與平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小.解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyzA1xD1B1ADBCC1yzEF（1）A1D與EF所成角是（2）,（3）,，二面角的正弦值為【方法總結(jié)】 如圖，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，為上一點(diǎn)，且/平面. （1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求證：

4、面面.解：（1）證明：連接AC，AC與BD交于G，則面PAC面BDM=MG，由PA/平面BDM，可得PA/MG . 3分底面ABCD為菱形，G為AC的中點(diǎn)，MG為PAC的中位線.M為PC的中點(diǎn). 5分 （2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO.PAD是正三角形，POAD. 平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD， 7分底面ABCD是菱形且BAD=60°，ABD是正三角形，ADOB.OA，OB，OP兩兩垂直.立空間直角坐標(biāo)系 7分則, .9分 11分DM平面PBC，又DM平面ADM，ADM面PBC 12分注：其他方法參照給分.【方法總結(jié)】（2）法二：側(cè)面PAD是正三角形, 底面ABCD是邊長(zhǎng)為的菱形, M為PC的中點(diǎn).,.取AD中點(diǎn)O，連結(jié).PAD是正三角形，POAD