錢海均勻熱荷載作用下層合簡(jiǎn)支梁的彈性力學(xué)解

1、均勻熱荷載作用下層合簡(jiǎn)支梁的彈性力學(xué)解錢 海，周 叮，劉偉慶（南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 南京 210009）摘 要：基于二維熱彈性力學(xué)理論，研究均勻熱荷載作用下層合簡(jiǎn)支梁的彈性力學(xué)解。首先導(dǎo)出均勻溫度場(chǎng)中單層簡(jiǎn)支梁的彈性力學(xué)解，然后利用層間界面位移和應(yīng)力必須連續(xù)的條件，遞推得到底層梁與頂層梁間的位移和應(yīng)力關(guān)系。最后根據(jù)層合梁上下表面的邊界條件確定待定系數(shù)，帶回遞推公式得到整個(gè)層合梁的應(yīng)力和位移分布。關(guān)鍵詞：層合梁；應(yīng)力；位移；熱彈性力學(xué)解Elasticity Solution of Simply Supported Laminated Beams Subjected to Uniform Th

2、ermo-loadHai Qian, Ding Zhou, Weiqing Liu(College of Civil Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210009, P. R. China)Abstract: According to the two-dimensional thermoelastic theory, the elastic solution of the simply supported laminated beams subjected to thermo loads is studied. Fi

3、rstly, the elasticity solution of a single-layer simply supported beam is derived. Then, based on the continuity of displacements and stresses between the connected layers, the displacement and stress relationships between the lowest layer and the top layer of the beam are recurrently obtained. Fina

4、lly, the unknown coefficients are determined by using the upper surface and lower surface conditions of the laminated beam. Finally, the displacements and stresses in the beam are given by substituting the unknown coefficients back to the recurrent formulae.Keywords: laminated beam; stress; displace

5、ment; thermo-elasticity solution引 言溫度對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響受到人們廣泛關(guān)注。對(duì)于層合的梁、板結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)各層材料的熱膨脹系數(shù)不同，即使在等溫場(chǎng)中，疊層內(nèi)仍會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力和非均勻變形。因此，了解溫度產(chǎn)生的應(yīng)力和位移對(duì)于疊層材料的使用安全尤為重要。國(guó)內(nèi)外對(duì)梁和板結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分析已有不少報(bào)導(dǎo)，Nowacki1 總結(jié)了溫度對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，Hess2應(yīng)用彈性理論和特征展開方法給出了簡(jiǎn)支梁平面熱應(yīng)力和平面熱應(yīng)變解；Timoshenko3給出了兩層梁的材料力學(xué)解，Suhir4推廣了溫度場(chǎng)中Timoshenko的材料力學(xué)解；呂朝鋒等5運(yùn)用狀態(tài)空間和微分求積混合法研究功能梯度簡(jiǎn)

6、支厚梁的二維熱彈性力學(xué)解；陳偉球等6-8 用辛解法分析了熱彈性力學(xué)的平面問題；徐業(yè)鵬和周叮9-10給出了變厚度簡(jiǎn)支梁和板的熱彈性力學(xué)解。本文從二維熱彈性理論的基本方程出發(fā)，導(dǎo)出均勻溫度場(chǎng)中滿足控制微分方程和兩端簡(jiǎn)支邊界條件的單層梁的位移函數(shù)一般解，根據(jù)層間應(yīng)力和位移的連續(xù)性以及上下表面邊界的條件確定待定系數(shù)。數(shù)值結(jié)果與軟件ANSYS相比較，顯示出很高的精度。1 基本方程及單層解考慮如圖1所示的p層復(fù)合材料簡(jiǎn)支梁，梁長(zhǎng)為L(zhǎng),各層高為hi(i=1,2p),彈性模量為Ei,泊松比為i,均勻溫度場(chǎng)的升溫為T（以升溫前的溫度為基準(zhǔn)）。圖1 疊層梁的幾何圖示和直角坐標(biāo)Fig.1 Geometric sha

7、pe and Cartesian coordinates of the laminated beam建立固結(jié)于各層的局部直角坐標(biāo)系，取層合梁的第i層進(jìn)行分析，考慮溫度效應(yīng)的各向同性彈性體的平面應(yīng)力本構(gòu)方程11為： (1)梁的平衡微分方程： (2) 簡(jiǎn)支梁的邊界條件： (3) 假設(shè)位移解為： (4)將上述的ui(x,yi)和vi(x,yi)代入方程(1),(2),(3)解得： (5)其中： Ami,Bmi,Cmi,Dmi是未知系數(shù)，由第i層梁上下表面的邊界條件決定。以上分析的解已經(jīng)自動(dòng)滿足兩端簡(jiǎn)支的邊界條件(3)。2 位移及應(yīng)力的遞推我們定義： (6)為敘述方便，將Umi(yi),Vmi(yi)

8、,Ymi(yi),Zmi(yi)稱為位移系數(shù)和應(yīng)力系數(shù)。根據(jù)位移和應(yīng)力的公式(5)，得到： (7)其中：考慮層合梁層間位移和應(yīng)力的連續(xù)性，第i層梁上表面的位移和應(yīng)力（y方向正應(yīng)力和剪應(yīng)力）必須與第i+1層梁下表面的位移應(yīng)力相等，即。再根據(jù)第i層梁上、下表面位移和應(yīng)力的關(guān)系：，可以從下表面i=1遞推到i=p，得到層合梁下表面和上表面的位移和應(yīng)力關(guān)系式： (8)3系數(shù)求解將層合梁上下表面的邊界條件 (9) 施加到第1層至第p層的遞推關(guān)系中： (10) 上述的四階矩陣方程可以分解成下面兩個(gè)二階的矩陣方程 (11)求解這兩個(gè)矩陣方程得出。再將代入遞推關(guān)系（第1層到第q層），求出第層梁上表面hq處的位移

9、和應(yīng)力系數(shù)： (12)由公式(7)，反求出待定系數(shù)Ami,Bmi,Cmi,Dmi。最后將系數(shù)代回相應(yīng)的位移和應(yīng)力表達(dá)式中，截?cái)鄊取N項(xiàng)求和，即可得到層合梁內(nèi)任意一點(diǎn)的位移和應(yīng)力。4 收斂性和比較首先研究本文解的收斂性，以三層層合梁為例。層合梁的材料參數(shù)為：L=1m，h1=h2=h3=0.1 m；溫度由基準(zhǔn)溫度20 oC升高到120 oC（T=100 oC）；彈性模量E1=2.2×1011 Pa, E2=2.1×1011 Pa, E3=2.0×1011 Pa；熱膨脹系數(shù)：1=1.1×10-6 /oC，2=1.0×10-6 /oC，3=0.9

10、15;10-6 /oC；泊松比：1=0.1，2=0.2，3=0.3。觀察兩個(gè)不同點(diǎn)x=0.3；y=0.1和x=0.6；y=0.2，取四個(gè)不同的級(jí)數(shù)項(xiàng)N=5,10,15,20進(jìn)行計(jì)算，表1給出了其收斂性。從表中看到，當(dāng)N=20時(shí)各項(xiàng)解的前三位數(shù)字和N=15的解已完全一致，所以在本文以后的計(jì)算中，均取N=15。為檢驗(yàn)本文方法的正確性，在y=0.1處，沿x方向依次取5個(gè)點(diǎn)，給出橫向位移和x方向應(yīng)力如表2所示，并與ANSYS解進(jìn)行比較（ANSYS有限元分析采用plane-42單元）。從表中可以看出，本文的彈性力學(xué)解和有限元解非常接近，最大誤差不超過2%。表1 收斂性研究Table 1 Converge

11、nce studies位置級(jí)數(shù)項(xiàng)Nx=0.3m;y=0.1m53.76-18.3-28.20.5660.339103.92-18.6-28.90.4530.348153.92-18.5-28.70.3510.349203.92-18.5-28.70.3510.349x=0.6m;y=0.2m5-3.3-7.81-27.30.1500.17210-3.07-7.63-27.40.1320.17015-3.11-7.60-27.50.1660.16720-3.11-7.60-27.50.1660.167表2 y=0.1 m處熱彈性力學(xué)解和有限元解的比較Table 2 The comparison

12、of present thermoelasticity solutions with FE solutions at y=0.1 m位移和應(yīng)力方法x=0.1 mx=0.2 mx=0.3 mx=0.4 mx=0.5 m本文解9.256.23.921.930ANSYS解9.336.283.871.950本文解-32.0-29.8-28.7-28.5-28.4ANSYS解-32.4-29.7-29.3-29.1-28.55 算例仍以上述層合梁為例，計(jì)算不同溫度下（T=100 oC、200 oC、300 oC），x=0.3截面處的位移和應(yīng)力，如圖2所示。從圖2(a)中可以看出，隨著溫度的升高，最大位移

13、相應(yīng)地增大。溫度越高，位移沿厚度變化的速率越大。由圖2(b)可知，每個(gè)層間界面在x方向的應(yīng)力是不連續(xù)，有一個(gè)突然的跳躍。這是由于層間應(yīng)力的連續(xù)性只保證y方向的正應(yīng)力以及剪應(yīng)力相等，而層間界面在x方向的正應(yīng)力是不相等的。(a)(b)圖 2 不同溫度下x=0.3處的斷面位移和應(yīng)力分布Fig.2 Displacement and stress distributions under different temperatures at x=0.36 結(jié) 論本文研究了在均勻溫度場(chǎng)作用下層合簡(jiǎn)支梁的位移和應(yīng)力問題。利用商業(yè)有限元軟件ANSYS分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，顯示出很高的精度。本文重點(diǎn)在于利用層間界面位移

14、和應(yīng)力必須連續(xù)的條件，遞推得到底層梁和頂層梁之間的位移和應(yīng)力關(guān)系。通過算例，分析得到了溫度場(chǎng)對(duì)層合梁應(yīng)力和位移的影響。結(jié)果表明,每個(gè)層間界面在x方向的應(yīng)力是不連續(xù)，有一個(gè)突然的跳躍。隨著溫度的升高，梁的最大位移相應(yīng)地增大。溫度越高，位移沿厚度變化的速率越大。參考文獻(xiàn)：1Nowacki, W., Thermoelasticity M. New York: Pergamon Press, 1952.2Hess, M.S., The end problem for a laminated elastic strip-I. the general solution. Journal of Compos

15、ite Materials.1969, 3: 262-280.3Timoshenko, S., Analysis of bi-metal thermostats. Journal of the Optical Society of America. 1925, 11: 233-255.4Suhir, E., Stresses in bi-metal thermostats. ASME Journal of Applied Mechanics, 1986,53: 657-660.5 呂朝鋒，陳偉球，仲政. 功能梯度厚梁的二維熱彈性力學(xué)解J. 中國(guó)科學(xué)G輯，2006, 36 (4): 384-39

16、2.6 陳偉球，丁皓江. 橫觀各向同性三維熱彈性力學(xué)通解及其勢(shì)理論法J. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2003, 35 (5): 578-583.7 陳偉球，邊祖光，丁皓江. 功能梯度矩形厚板的三位熱彈性分析J. 力學(xué)季刊，2002, 23 (4): 443-449.8 陳偉球，趙莉. 功能梯度材料平面問題的辛彈性力學(xué)解法J. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 41 (4): 588-594.9 Xu, Y. and Zhou, D., Two-dimensional thermoelastic analysis of beams with variable thickness subjected to thermo-mechanical loads. Applied Mathematical Modelling, 2011, acce