重慶科創(chuàng)職業(yè)學院114冪級數(shù)

1、重慶科創(chuàng)職業(yè)學院授課教案 課名：高等數(shù)學（下） 教研窒： 高等數(shù)學教研室 班級： 編寫時間： 2008-8 課題： 冪級數(shù)教學目的及要求：了解冪級數(shù)的收斂域的構造及求法，理解冪級數(shù)運算的性質。教學重點： 冪級數(shù)收斂域的求法，冪級數(shù)的運算。教學難點： 冪級數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，利用冪級數(shù)的運算性質求和函數(shù)。教學步驟及內容 ： 一、函數(shù)項級數(shù)的概念1.函數(shù)項級數(shù)的概念（1）如果級數(shù)的各項都是定義在某區(qū)間中的函數(shù)，就叫做函數(shù)項級數(shù)當自變量取特定值，如時，級數(shù)變成一個數(shù)項級數(shù)如果這個數(shù)項級數(shù)收斂，稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂點，如發(fā)散，稱為發(fā)散點，一個函數(shù)項級數(shù)的收斂點的全體構成它的收斂域（2）和函數(shù)函

2、數(shù)項級數(shù)對收斂域內的任意一個數(shù)，函數(shù)項級數(shù)成為一個常數(shù)項級數(shù)，故有一個和.于是，函數(shù)項級數(shù)的和是的函數(shù)，通常稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).其定義域是級數(shù)的收斂域.寫為.在收斂域內有.是函數(shù)項級數(shù)的余項（收斂時才有意義）.例1判斷的收斂性，并求其收斂域與和函數(shù).解此級數(shù)為幾何級數(shù)(即等比級數(shù)),由第一節(jié)例1知|x|<1時,級數(shù)收斂，|x|1時級數(shù)發(fā)散.故其收斂域為,和函數(shù)為：旁批欄：二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義：形如的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中常數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù).例如，2.冪級數(shù)的收斂定理考察冪級數(shù).公比為的等比級數(shù)，當時收斂；當時發(fā)散出發(fā)，因為它的收斂域是以0為中心，半徑為1的對稱區(qū)間，此例推廣到

3、一般情形，則有關于收斂域的阿貝爾定理：定理1（阿貝爾定理）如果級數(shù)當（）時（使）收斂，則當時，冪級數(shù)絕對收斂；反之，如果當發(fā)散，則當時，冪級數(shù)發(fā)散證先設是冪級數(shù)的收斂點，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，有，于是存在一個常數(shù)，使得（=0,1,2,）這樣級數(shù)的一般項的絕對值.因為當|x|<|x0|時，等比級數(shù)收斂（公比），所以級數(shù)收斂，也就是級數(shù)絕對收斂.定理第二部分可用反正法證明，若冪級數(shù)當時發(fā)散而有一點適合使級數(shù)收斂，則根據(jù)本定理第一部分，級數(shù)當時應收斂，這與所設矛盾.定理得證.推論：如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的數(shù)R存在，使得當時，冪級數(shù)絕對收斂；當時，

4、冪級數(shù)發(fā)散；當與時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散旁批欄：正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑，開區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間3.收斂區(qū)間和收斂半徑的求法定理2如果冪級數(shù)當充分大以后都有，且，則當時，當時，當時，.證考察冪級數(shù)的各項取絕對值所成的級數(shù) 這級數(shù)相鄰兩項之比為（1）如果存在，根據(jù)比值審斂法，則當時，級數(shù)收斂，從而級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)發(fā)散并且從某一個開始，因此一般項不能趨于零，所以也不能趨于零，從而級數(shù)發(fā)散，于是收斂半徑R=.(2)如果r =0，則任何，有，所以級數(shù)收斂，從而級數(shù)絕對收斂于是.(3)如果，則對于除外的其他一切值，級數(shù)必發(fā)散，否則由定理1知道將有點使得級數(shù)收斂，于是.課內練習例2求下

5、列各冪級數(shù)的收斂域解 旁批欄：當時，級數(shù)成為（發(fā)散）當時，級數(shù)成為（收斂）收斂域為解級數(shù)中只出現(xiàn)的偶次冪，不能直接用定理來求可設，由比值法可知當，即，冪級數(shù)絕對收斂當，即，冪級數(shù)發(fā)散，故當時，級數(shù)成為，它是發(fā)散的，因此該冪級數(shù)的收斂域是冪級數(shù)一般形式的討論，可用變換，使之成為進行三、冪級數(shù)的運算1.冪級數(shù)的運算設冪級數(shù)及分別在區(qū)間（-R,R）及（-R,R）內收斂,對于這兩個冪級數(shù)，有下列四則運算：加減法：()±()乘法：()×()可以證明上2式在（）與（）中較小的區(qū)間內成立.除法：待定系數(shù)法.2.冪級數(shù)的和函數(shù)的性質：旁批欄：性質1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上連續(xù).性質2冪

6、級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上可積，并有逐項積分公式逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.性質3冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間（）內可導，且有逐項求導公式逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.例3求冪級數(shù)的和函數(shù).解先求收斂域.由得收斂半徑.在端點處，冪級數(shù)成為，是收斂的交錯級數(shù)；在端點處，冪級數(shù)成為，是發(fā)散的.因此收斂域為.設和函數(shù)為，即于是利用性質3，逐項求導，并由得對上式從0到x積分，得于是，當時，有而可由得出，故小結與思考：小結：冪級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)中最基本的一類它的特點是在其收斂區(qū)間絕對收斂，且冪級數(shù)在收斂區(qū)間內可逐項微分和積分由此第一次得到了一種函數(shù)的無限形式的表達式（即冪級數(shù)展開式），將函數(shù)展為冪級數(shù)無論在理論研究方面還是在應用方面都有著重大的意義本次課主要學習了冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法以及如何求冪級數(shù)的和函數(shù)的方法在求缺奇數(shù)次項（或缺偶數(shù)次項）等冪級數(shù)的收斂半徑時不能使用定理中的方法；在求冪級數(shù)的和函數(shù)時要注意確定其定義域，旁批欄：是求冪級數(shù)的和函數(shù)時最常用的重要結論作業(yè)時還應注意阿貝爾定理的使用思考：函數(shù)項級數(shù)一定有收斂域嗎？如果有，一定是一個區(qū)間嗎？考察和的收斂域.在求冪級