df高數基礎講義part

1、第四章常微分方程§ 4. 1基本概念和一階微分方程甲內容要點.基本概念1常微分方程含有自變量、未知函數和未知函數地導數 <或微分）地方程稱為微分方程 ，若未知函數是一 元函數則稱為常微分方程，而未知函數是多元函數則稱為偏微分方程 ，我們只討論常微分方程 故簡稱為微分方程，有時還簡稱為方程.2. 微分方程地階微分方程中未知函數地導數地最高階數稱為該微分方程地階3. 微分方程地解、通解和特解滿足微分方程地函數稱為微分方程地解；通解就是含有獨立常數地個數與方程地階數相同地解；通解有時也稱為一般解但不一定是全部解；不含有任意常數或任意常數確定后地解稱為特解4. 微分方程地初始條件要求自

2、變量取某定值時，對應函數與各階導數取指定地值，這種條件稱為初始條件，滿足初始條件地解稱為滿足該初始條件地特解5. 積分曲線和積分曲線族微分方程地特解在幾何上是一條曲線稱為該方程地一條積分曲線；而通解在幾何上是一族曲線就稱為該方程地積分曲線族6. 線性微分方程如果未知函數和它地各階導數都是一次項，而且它們地系數只是自變量地函數或常數，則稱這種微分方程為線性微分方程 .不含未知函數和它地導數地項稱為自由項，自由項為零地線性方程稱為線性齊次方程；自由項不為零地方程為線性非齊次方程二.變量可分離方程及其推廣1. 變量可分離地方程<1）方程形式：nPxQy Qy=Odxdv通解P x dx C&#

3、39;Q（v）'<注：在微分方程求解中，習慣地把不定積分只求出它地一個原函數，而任意常數另外再加）<2）方程形式： Mi x Ni y dx M2XN2 ydy=O通解-dC M2 x -0, Ni y -0M2（x）Ni（y）212. 變量可分離方程地推廣形式<1 ）齊次方程dydxdu x -dx令-=u,x則矽二u dxduf u Audx cx<2)矽dx-f ax by c a = 0, b = 0令 ax by c 二 u ,則a bf u dxdudx = x c a bf uf ' a x + b y + c(a2x +b2 y +c2當

4、aia2bb2豐0情形，先求出丿Qx + by + c = 0,任i y地解(G嚴)ia2x + b2y+ c2 = 0u =x_a,v = y_P當dvduaia2au +bva2u +b2v $bb2=0情形,vai -ua 2 + b?u丿屬于齊次方程情形a2aibidydxaixbiyg人(aix +bi y )+q /令 u = ai xbi y ,則竺“ mJ b dxdxu+CJiU +c2屬于變量可分離方程情形三一階線性方程及其推廣 1一階線性齊次方程 dy P xy =0dx它也是變量可分離方程，通解公式y二Ce * xdx,<c為任意常數）2一階線性非齊次方程dydx

5、用常數變易法可求出通解公式代入方程求出C x則得 y 二e Pxdx 1 Q x e Pxdxdx C 13 貝努利方程3 P x y =Q x 屮二三0,1 dxdz把原方程化為一Pxz=1-Qxdx再按照一階線性非齊次方程求解.4.方程:dy1dx _ Q y - P y x可化為P y x =Q y dy以y為自變量，x為未知函數再按照一階線性非齊次方程求解.四全微分方程及其推廣 <數學一）1 .全微分方程P x, y dx Q x, y dy = 0 ,滿足 excy通解：u x, y 二 C ,其中 u x, y 滿足 du x, y = P x, y dx Q x, y dy

6、求u x, y地常用方法第一種：湊全微分法P x, y dx Q x, y dy 二 二 du x, y把常見地一些二元函數地全微分公式要倒背如流，就很有幫助<1)xdx ydy = d<2)xdx - ydy = d<3)ydx xdy 二 d xy ；<4)ydx xdyxy=d l n xy ；<5)xdx ydyx2y2=d -ln x2_2y2<6)xdx - ydy2 x - yi'n x2<7)xdy - ydx<8)ydxxdy<9)ydx - xdyx2y2arctan ；、 y丿<10)xdy - ydx+

7、 yarcta n ;x丿<11)ydx -xdy2 2x -y匕2<2 x + y丿<12)xdy - ydxx2 y2<2x y 丿xdx ydy2 = d(x2 +y2 2<14)(x2 -y2 )<15)xdx ydy1 +(X2 +y2 $廣1=d arctadx2y2<16)xdx - ydy2 2 21+(x2 -y2 )=d i1 arcta n x222-y ；第二種：特殊路徑積分法 < 因為積分與路徑無關）x，y|'x0 , y0u(x, y )=u(Xo,y° )+ 卩，p(x, y Jdx+ Q(x, y

8、 )dyxo , y0xyy。= u(xo，y° )+ P(x,y° )dx+ ( Qx,y dyx0yo第三種：不定積分法:u由=P x,y得x u x,y = Px,ydx C y對y求導,得Qx卄斜*px,川C y,求出C y積分后求出C y2 全微分方程地推廣 <約當因子法）設P x, y dx Q x, y d0不是全微分方程但是存在R x, y使得R x, y P x, y dx R x, y Q x, y d 0為全微分方程Rq eRp】也即滿足x ：y則R x,y稱為約當因子，按全微分方程解法仍可求出R x, y P x, y dx R x, y Q

9、x, y dy二du x, y通解 u x, y = C .這種情形，求約當因子是關鍵乙典型例題一.變量可分離方程及其推廣 例1 .求下列微分方程地通解2 2<1) xy x dx y _ x y dy = 0<2) ex y -ex dx ex yey dy = 0例2.求下列微分方程地通解<1). ydxx<2)2 dy dyxxy一dx dx<3)dyx y In y - In x dx解:<1 )令二u ,則魚=uxdxduue魚=(x +4y +1 丫 dx-J. x，原方程化為dx<4)u=eu u,dx'-e" = In

10、 x G = In CxIn Cx_y' e x 0, O JCxI")<2)2 x2吒=o ； dx2y2xy _x'|T.x)du u2 xdx u -1udx x 1 -u du = 01 -uIn xu -u = C1xu = eC1 uy二Ceu,. y 二Ce'<3)包dxvvvduIn ,令 u ,則 u x u In uxxxdxduu I n u -1-1=1 n CxIn u =1 Cx,u 二 e1 Cx,y 二 xe1 Cx二 dx,爭4u2 +1du<4)令 x 4y 1 二 u ,則24u +11 1 x arct

11、an2u C arctan2 x 4y 1 Cdyx ydx3 求微分方程4 求微分方程5.求微分方程例6 .求微分方程例7 求微分方程例&求微分方程例.二 dx C1=x2y2地通解dy _dxk哭地通解.2也T地通解.x -xy ydxdydxdydx>2lx + y 1地通解y _ x 5一階線性方程及其推廣 求下列微分方程地通解dydxdy<2)xdx 2sinxdydxyx y4<4) x sin y dy tan ydx 二 0解：1）直接用常數變易法dy 2y2對應地齊次線性方程為，通解y = C x 1dx x +1dy 25令非齊次線性方程y = X

12、 1 2地通解為y = c X x 1 2dx x +125代入方程得 C x x 1= x 12123C X = X 1 2,c x = X 1 2 C32212272故所求方程地通解為yx 1 2 c x 1x 1 2 C x 1_33<2 )直接用通解公式 <先化標準形式 魚 2 y = inX )dx XX2si nxP x ,Q x =XX_l|dx t sin x (|dx通解 y = e ' IJeL dx + Cx一1 ' 12 xsinxdx C 2 sin x-xcosx CXX<3)此題不是一階線性方程，但把X看作未知函數，y看作自變量d

13、x x + y4 dx 13所得微分方程即x二y3dy y dy y是一階線性方程 P y -,Q y二y3y£dy f 3£dy丄 J 14 ,x=ey f y e dy+C =y+Cy 一 3<4)此題把x看作未知函數，y看作自變量所得微分方程為dxcot y x 二 cos y , P y = cot y , Q y = cos ydy2sin y IL2一 cot ydycot ydy'.| Jcosye' dy+C§ 4. 2特殊地高階微分方程 數學四不要）甲內容要點可降階地高階微分方程方程類型解法及解地表達式yC ）= f（X ）

14、通解 y = f “ Jf（X dX+。必2 +C2Xn +Cn_X + Cnn次y" = f（x，y J令 y，= p，則 y" = p，原方程二p _f(x，p 一階方程，設其解為p g(x，Ci)，即y' = g(x,Ci )，則原方程地通解為 y= Jg(x，Ci px + C? y= f （y，y"）令y丄p，把 p看作y地函數，則廠=蘭=曲巴=p-dpdx dy dxdy把y；y “地表達式代入原方程，得坐_丄f(y,p)階方程，dy p設其解為p =g(y，Ci )即少g(y,Ci )，則原方程地通解為dxJdy十 C2.'g(yQ)

15、二線性微分方程解地性質與結構我們討論二階線性微分方程解地性質與結構，其結論很容易地推廣到更高階地線性微分方 程二階齊次線性方程yipxy*qxy=O <1)二階非齊次線性方程y ” p x y ' q x y = f x<2)1 若y, x , y2 x為二階齊次線性方程地兩個特解，則它們地線性組合Ciyi x Sy x <Ci,C2 為任意常數)仍為同方程地解 ，特別地，當 yi(x)式y2(x)<k為 常數)也即y,x與y2x線性無關時，則方程地通解為y二C#,xC2y2x2若y, x，y2 x為二階非齊次線性方程地兩個特解，則y, x - y2 x為對應地

16、二階齊次線性方程地一個特解.3.若y x為二階非齊次線性方程地一個特解，而y x為對應地二階齊次線性方程地任意特解，則y x y x為此二階非齊次線性方程地一個特解4若y為二階非齊次線性方程地一個特解 ，而C,y, x C2y2 x為對應地二階齊次線性 方程地通解<Ci，C2為獨立地任意常數)則 y二y x C,yi x "2 x是此二階非齊次 線性方程地通解5設 yi x 與 丫2 x 分別是 y pxy qxy二 fix 與y'pxy qxynfixfzx 地特解.三二階和某些高階常系數齊次線性方程1. 二階常系數齊次線性方程y py qy 二 0其中p ,q為常數

17、，特征方程九2 + p人+ q = 0特征方程根地三種不同情形對應方程通解地三種形式2<1 ）當厶=p -4q 0 ,特征方程有兩個不同地實根 1, 2則方程地通解為 y nGe ix C2e，2x2<2 ）當:-p 4q = 0 ,特征方程有二重根 2則方程地通解為y二Ci C2X e ix<3）當A = p2 - 4q : 0，特征方程有共軛復根一：，則方程地通解為 y = e" Ci cos ： x C2 sin : x2. n階常系數齊次線性方程yC ）十 piyCAh PzyC）+ Pny* P.y = 0其中Pi i =12,n為常數相應地特征方程11

18、n nn -2P1 'p< PnPn =0特征根與方程通解地關系同二階情形很類似<1 ）若特征方程有n個不同地實根1,匕,，n則方程通解y二Ge Cze" -Cne'nx<2 ）若 0為特征方程地k重實根k空n則方程通解中含有G C2X CkXk_l e'0x<3）若二-i 為特征方程地k重共軛復根 2k乞n則方程通解中含有e叫G +C2x +Ckxk4 Cos P x + 4 + D2x + Dkxk bin P x 】由此可見，常系數齊次線性方程地通解完全被其特征方程地根所決定，但是三次及三次以上代數方程地根不一定容易求得，因此只能

19、討論某些容易求特征方程地根所對應地高階常系數 齊次線性方程地通解四二階常系數非齊次線性方程方程：y'Shpy'qyrf x其中p,q為常數通解：y = y Gyi x C2y2 x其中Ci x C2y2 x為對應二階常系數齊次線性方程地通解上面已經討論所以關鍵要討論二階常系數非齊次線性方程地一個特解y如何求？我們根據f x地形式，先確定特解y地形式，其中包含一些待定地系數，然后代入方程確定 這些系數就得到特解 y，常見地f x地形式和相對應地 y地形式如下：1 f x = Pn x，其中Pn x為n次多項式<1 )若0不是特征根，則令y =Rnx二a°xnaix

20、nanxa.其中ai i =0,1,2/-，n為待定系數<2 )若0是特征方程地單根，則令y = xRn x_ 2<3)若0是特征方程地重根，則令y =x Rn X2. fx二Pnxe"其中Pn x為n次多項式，：為實常數<1 )若不是特征根，則令y = Rn xe：x<2)若是特征方程單根 貝U令y二xRn x e：x<3)若是特征方程地重根，則令y =x2Rn x e?x3. f (x )= Pn(x e" si nx 或 f (x )= Pn(x e" cos P x其中Pn x為n次多項式，：，：皆為實常數<1 )若 口

21、 土i P 不是特征根，則令 ' =F lRn(x )cos P x +Tn(x Sin P x】其中 Rn x 二 a°xn aX"1 anx a.a： i =0,1, ，n為待定系數Tn x 二b°xn - b1Xnbn" bnbi i =01，n為待定系數<2）若：；:r-是特征根,則令 y =xe：x I.Rn x cos 1 x Tn x sin 一： xl五歐拉方程 < 數學一）xny（n）+卩必2丫（2）+ Pnxy'+Pny =0 ,其中Pi（i=1,2,，n ）為常數稱為n階歐拉方程令x = e'代入

22、方程，變?yōu)閠是自變量，y是未知函數地微分方程 微分方程.注意下面變換公式：dy _ dy dt _ _l dy _ 1 dy dy _ dy dx業(yè)dx1 2dt dx dt二dig dx =e dx dt dx,x -:x dt dxd e_tdy eeedt . dtdt d2_y dt2e沁dt定是常系數齊次線性dy兀2,xd2y _ d2ydx2 - dt2dydt乙典型例題一可降階地高階微分方程例1 .求下列微分方程地通解<1） x2y " -2xy"_（y"f = 0<2）1 x y y = I n x 1解：<1 ）令y、p，則y&

23、#39;、p ,原方程化為22小x p -2xp - p 02 1 2p p 2 p 屬于貝努里方程x x工人4亠dz丄21再令z = p 則有z 2dx xx2通解:ze%+JX2八冇dX C21 2 2=q(x + G ) -G InxG +C2<2) 令 y = p ,則y二p 1原方程化為 x1p p=l nx1p p = " x 1屬于一階線性方程X 1 x 1p=e-Mbl)e 為xdx+Ci X+1一= In x 1 dx C L |n x 1 一 1-Cx 1x 1y = In x 1 -1 -C- dx C2一x 1=x C1 In x 1 - 2x C2例2

24、求下列微分方程地通解<1)yy“(町 +1 =0<2)2yy = y 2 1常系數齊次線性微分方程例1求下列微分方程地通解<1)y "T y 6y = 0 <2)y_6y 9y = 0<3)y -6y 13y =0<4)y _4y 4y-2y = 0解：2<1 )特征方程 -6=0，即，-1，- 6 = 0特征根'1 =1, '2 =6微分方程通解 y = C1ex C2e6x<2)特征方程九 6' '9=0,即.心_ 3- 0特征根 ' 3二重根微分方程通解y = G C2X e3x2<3

25、)特征方程'-6' 13 =0特征根 =3 2/3x微分方程通解y=e C1 cos2x C2 sin2x322<4）特征方程扎一4丸+4扎一2=0即（扎-1）（扎-2）=0特征根 1 =1二重根, 2 = 2微分方程通解y = C! C2X ex - Cae2xI例2.設方程y"+3y 4y = 0,求滿足y=0,y|=5地特解.x = 0x = 0三二階常系數非齊次線性微分方程例1 .求微分方程y ” - 2y -3y = x 1 ex地一個特解.解：這是二階線性常系數非齊次方程，其自由項呈Pmxe*地形狀，其中Pm x =x 1 m =1=1.而該微分方程

26、地特征方程是：2 -2- -3=0特征根是"-1,=3.因為A =1不是特征根，故設特解為y 二 b“x b。ex為了確定d和b。,把y代入原方程，經化簡，可得-4dx - 4b0 = x 1令此式兩端同次幕系數相等，有'-43 =1廠40 = 111由此解得th,b0，因此特解為44y = -1 x 1ex4例2 求微分方程2 xy _5y 6y 二 xe地通解.答案：最后得原方程通解為 y二丫 y2 x3xc.2x=c1ec2ex 2x e例3.求 y _4目 4、= e2x地通解.答案：因此原方程地通解為2 2x2x x 2xy = c-ec2xee22 例4.求方程y

27、 " 3y ' 2y = 2x x 1地通解.答案：原方程地通解為2 xx 2 513y = Ge C?ex x 24例 5.求 y " 2y -3y = 2ex地通解.答案：原方程地通解為y 二 Ge'x C2ex - xex2例6.求方程y " y - 2y = 2cos2x地通解.答案：原方程地通解為y = C1ex C2ex 色cos2x 丄sin2x10 10例7求微分方程 y ” - y"=sin x地通解.答案：原方程地通解為：1y 二 G C2excosxsin x .2第五章向量代數與空間解讀幾何V數學一）§

28、5. 1向量代數甲內容要點.空間直角坐標系從空間某定點 0作三條互相垂直地數軸，都以0為原點，有相同地長度單位，分別稱為x軸,y軸,z軸,符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標系，稱0為坐標原點1兩點間距離設點Mi xi,yi,zi ，M 2 X2，y2，Z2為空間兩點，則這兩點間地距離可以表示為d =|MiM2 = J(X2 Xi 2 +(y2 yi f +(Z2 Zi f2. 中點公式設 M x，y，z 為 M i Xi, yi, Zi，M 2 X2, y2, Z2 聯線地中點貝UXi X2yi y2Zi - Z2x，y，Z =2 2 2二. 向量地概念1 .向量既有大小又有方向地量稱為向

29、量 方向是一個幾何性質，它反映在兩點之間從一點 A到另 一點B地順序關系，而兩點間又有一個距離常用有向線段 AB表示向量.A點叫起點，B點叫 終點，向量AB地長度叫做模，記為AB .模為i地向量稱為單位向量2.向量地坐標表示若將向量地始點放在坐標原點0,記其終點M，且點M在給定坐標系中地坐標為x，y，z .記以三個坐標軸正向為方向地單位向量依次記為i, j,k,則向量0M，可以表示為0M = xi yj zk稱之為向量0M地坐標表達式，也可以表示為0M 二 x, y,z稱xi, yj, zk分別為向量 0M在x軸，y軸,z軸上地分量.稱x, y, z分別為向量 0M在x 軸,y軸,z軸上地投影

30、.記OM與x軸、y軸、z軸正向地夾角分別為：，則cos：Vx2 y2cos -ycoszx2y2z2方向余弦間滿足關系 cos2爲"cos cox2=1描述了向量OM地方向，常稱它們?yōu)橄蛄康胤较蚪?OM地?？梢员硎緸榕c向量OM =：x,y,z同方向地單位向量可以表示為尸丄yOM 與向量OM平行地單位OM向量可以表示為OM OM向量a同方向上地單位向量常記為a .三. 向量地運算a ai ia2 j ' a3 k Gi, a?, a3 b = bjb2jb3k 二"4, b2, b3 /c =cii C2 j C3k 二 4 ,C2,C31.加法.a b 二旨i bi

31、,a2 "283 b3 '減法.a _- a1 _ b-i,a2 - b2, a3 - b3向量地加、減和數乘運算統稱線性運算/ 、3. 數量積.a，b = a|b cos a,bI ')=a-b a2b2 a3b3f 、其中ab為向量a,b間夾角a b為數量也稱點乘.a b0表示向量a在向量b上地投影，即a b0 = Pr jba4. 向量積a b也稱為叉乘./ 、*b =a|bsin al ,a b地方向按右手法則垂直于 a,b所在平面，且ijka匯b =aia2a3bib2b3ab是向量，ab = ba. a漢b等于以a,b為鄰邊地平行四邊形地面積ai a2a3

32、5.混合積：定義（a,b, c ）=（a 5 >c,坐標公式（a,b, c）=bi b2b3Ci C2C3幾何意義 a,b,c表示以a,b,c為棱地平行大面體地體積四. 兩向量間地關系設 aai,a2,a3 ：b關系向量表示向量坐標表示a,b間夾角)（na bcos 屮=I u 1 iiaibiab+a?b2+asb3COS 屮=ji|=乜 a； + a； + a； b； + b； + b；a與b垂直a b =0aib<H a2b2 + b3b3 = 0a與b平行a5=0aia 2a3bib2b3乙典型例題例設a,b為兩個非零向量，為非零常數，若向量ab垂直于向量b ,則，等于）a

33、 ba b /,A）2 B）2 C） 1 D）a bbd =1（x2 為 2 +（y2 % f +（Z2 -Z1 j3 .定比分點公式 M x，y，z是AB地分點：刎 =，點代B地坐標為 MBA x1, y1, Z1 ，B x2，y2，Z2 貝V捲 x2yi ' y2Zr ：； z2x，y，z = + 九1 + 扎1 +當M為中點時，捲 X2y1 - y2Z1 - Z2x -_，y -_，z - 2 2二.平面及其方程1. 法 線）向量，法線）方向數*分析：所給向量為抽象向量，宜用向量運算公式如果a b垂直于向量b ,因此應有a b b = 0即 a b b b = 02a b + 人

34、 b =0a b因為b為非零向量，因而應有，故應選B）.b2§ 5. 2平面與直線甲內容要點一空間解讀幾何1 空間解讀幾何研究地基本問題1）已知曲面 線）作為點地幾何軌跡，建立這曲面 線）地方程2）已知坐標x，y和z間地一個方程 組），研究這方程 組）所表示地曲面 線）.2.距離公式 空間兩點A x1，y1，z1與Bx2，y2，Z2間地距離d為與平面二垂直地非零向量，稱為平面二地法向量，通常記成n .法向量:m, n,p地坐標稱為 法線)方向數對于給定地平面二,它地法向量有無窮多個，但它所指地方向只有兩個2.點法式方程 已知平面二過M x0,y0,z0點,其法向量n - 1A,B,C

35、),則平面二地方程 為Ax-x。By-y。Cz-z。=0或 n r -ro =0其中 r'.xo, yo,zo 汀 J.x, y,zf3. 一般式方程Ax By Cz D = 0其中A,B,C不全為零.x,y,z前地系數表示-地法線方向數，n 一代B,C 是 地法向量.特別情形：Ax By Cz = 0，表示通過原點地平面Ax By D =0,平行于z軸地平面Ax D =0，平行yOz平面地平面 x = 0表示yOz平面.4. 三點式方程設A Xi, yi,Zi,B X2, y2,Z2, CX3, y3,Z3三點不在一條直線上，則通過 代B,C地平面設直線L地一般式方程為A x + R

36、 y + Gz + Dr = 0A2 x + B2 y*C2Z*D2 = 0,則通過L地所有平面方程為方程為x -Xiy -yiZ Zix Xiy2-yiZ2 ZiX3-Xiy3-yiZ3 Zi5.平面束kiA/Biy Cz Dik?A?xB?yC?zD2 i=0,其中 Ok?= 0,0 .6.有關平面地問題 兩平面為 : AixBiyCizDi = 0二2 : A2x B2y C2z D2 = 0眄與兀2間夾角（半）Ai A2 + Bi B2 +CQ2cos 十 Ja： + b；Ja； + b； + c；垂直條件A A2 + b/2 + GC2 = 0平行條件AiBiG'Di式A2B

37、2C21D2重合條件Ai Bi Ci Di a2 B2 C2 d2設平面二地方程為Ax By Cz = 0,而點MyZi為平面二外地一點，則M到平面二地距離d :A/ + Byj +Czj + DJa2 +B2 +C2三直線及其方程1 .方向向量、方向數與直線平行地非零向量 S,稱為直線L地方向向量，方向向量地坐標稱為方向數2. 直線地標準方程 對稱式方程）.X - X。y _y° _ z _Zomn其中Xo,yo,z。為直線上地點，l,m,n為直線地方向數3. 參數式方程X = x0 Ity = yomtz nts = = , m,n ；t為參變量4. 兩點式設AxyZ! , B

38、x2, y2, z2為不同地兩點，則通過A和B地直線方程為x - Xiy - yi z - ZiX2 一 X!y2 一 yiZ2 - 乙5. 一般式方程 作為兩平面地交線）Ax + B+C1z + D1 =0A x + B2 y + C2z + D2 = 0方向向量S一A,Bi,CA2,B2,C2l6. 有關直線地問題 兩直線為X -Xi討 _y Z -乙l1m1nix _ x2y -y2z -z212 m? n 2L1與L2間夾角（日）丨征 + mm2 + ngcos日一h 2丄2丄2J| 2丄2丄2卩 +m)1£丨2 +m： + n2垂直條件hl2 +mjm2 + mn2 = 0

39、平行條件11 m1nj12 m2n2四.平面與直線相互關系平面二地方程為：Ax By Cz D = 0直線L地方程為：xX。y yo z ZoImnL與兀間夾角）Al +Bm +C n011 1 1JA2 +B2 +C2 Vi2 +m2 + n2L與兀垂直條件I m nABCL與兀平行條件Al +Bm + C n = 0L與兀重合條件Al +Bm + C n = 0L上有一點在江上乙典型例題x +1 y 1 z例1 .已知直線丨:，若平面二過點M 2,1,-5且與I垂直,求平面二地32-1方程分析：由題意可知，直線I地方向向量s= 3,2, T必定平行于所求平面二地法線向量n ,因此可取利用平

40、面地點法式方程可知3x-2 2y-1 - z-：；5=0即3 x -22 y -1 - z 5 = 0為所求平面方程或寫為一般式方程 3x 2y - z -13 = 0 例2 .設平面 二過點1,0,-1且與平面 4x-y 2z-8=0平行，則平面二地方程為例3通過點M 1,2,3且與直線l :x=2 3t,y=2t,z = -1 t垂直地平面方程為 .例4求點M0 1,2,1到平面二：3x -4y 5z 0地距離例5試確定過 Mj 2,3,0 ,M2 -2,-3,4及M3 0,6,0三點地平面方程x_y+z_7 = 0例6 .求通過坐標原點且垂直于直線I :丿地平面方程j4x _3y + z

41、 _ 6 = 0例7.求通過點P 1,2,1且垂直于兩平面：x y = 0和5y z = 0地平面方程§ 5. 3曲面與空間曲線甲內容要點曲面方程1.一般方程F x,y,z =02.參數方程X 二 X u.vy=yu,v u,v D 平面區(qū)域）z = z u, v二.空間曲線方程1.一般方程F(x, y,z)=o 號(兀 y,z)=O2.參數方程'x= x(t)* y = y(t )(a 蘭t 蘭 B )F = z(t )三.常見地曲面方程1.球面方程設Po Xo, yo,Zo是球心，R是半徑，Px, y,z是球面上任意一點，則P°P二R,即2 2 2 2（X-Xo

42、 ） +（y-y。）+（zZo ） =R2旋轉曲面地方程Xf x, z = 0,<1 ）設L是xOz平面上一條曲線，其方程是L繞z軸旋轉得到旋轉曲面，設iy = 0.P x，y，z是旋轉面上任一點，由點Po x0,O，z0旋轉而來 <點M 0,0, z是圓心）.由Xo =|MPo =|MP =1x2 y2，Zo =z得旋轉面方程是或 由參數方程x = f t，y = g t，z = h t t三，得旋轉面地參數方程x = Jf 2（t ）+g2（t ）cos。，y - f2 t g2 t sin 3 ： t ： ： ,0 _ 2：z = h t .<2）求空間曲線丿Fi（x,

43、y，z）-O繞z軸一周得旋轉曲面地方程斥（x,y,z）=O第一步：從上面聯立方程解出 x = f z,y=gz繞y軸一周或繞x軸一周地旋轉曲面方程類似地處理5.二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面2 2 2abc旋轉拋物面2 2xy+ = z( p > 0 ) 2p 2p/橢圓拋物面2 2+ y =z(p,q0)2p 2q雙曲拋物面2 2+ y =z(p,q0) 2p 2q單葉雙曲面2 2 22 . 2 2 abc雙葉雙曲面2 2 2xyz“abc二次錐面2 2 2x _z =0 a2b2c2橢圓柱面2 2x八=1 a2 b2雙曲柱面2 21a2 b2拋物柱面2c _ y( p a 0

44、)2p四空間曲線在坐標平面上地投影1曲線C地方程jF(x, y,z)=OG(x, y,z)=O曲線C在xy平面上地投影先從曲線C地方程中消去z得到H x, yl=O,它表示曲線C為準線，母線平行于z軸地柱面方程，那么'H(x,y )=0:z = 0就是C在xy平面上地投影曲線方程.曲線C在zx平面上投影或在 yz平面上投影類似地處理2曲線C地方程x = f t“y = g(t) (a t < P )z = h(t )則曲線C在xy平面上地投影曲線方程為= f ty = g t:r t 乞：z = 0丄x = f t曲線C在zx平面上投影曲線方程為y = 0: <t ?:：

45、I-'-z =ht| x = 0曲線C在yz平面上投影曲線方程為* y = g(t ) (a蘭t蘭B )z = h (t)第六章多元函數微分學§ 6. 1多元函數地概念、極限與連續(xù) 性甲內容要點一多元函數地概念1二元函數地定義及其幾何意義設D是平面上地一個點集，如果對每個點P x, y D，按照某一對應規(guī)則f ,變量z都有 一個值與之對應，則稱z是變量x, y地二元函數，記以z= f x,y ,D稱為定義域.二元函數z二f x,y地圖形為空間一卦曲面，它在xy平面上地投影區(qū)域就是定義域D .例如 z = ,1 x2 y2，D : x2 y2 <1二元函數地圖形為以原點為

46、球心，半徑為1地上半球面，其定義域D就是xy平面上以原點為圓心，半徑為1地閉圓.2 三元函數與n元函數u = f x，y，z x，y，z 門空間一個點集稱為三元函數 u = f為，X2，Xn 稱為n元函數它們地幾何意義不再討論，在偏導數和全微分中會用到三元函數條件極值中，可能會遇到超過三個自變量地多元函數二.二元函數地極限設f x, y在點x0, y0地鄰域內有定義，如果對任意；.0,存在/0 ,只要i. x X。亠 i.y - yo j 門，就有 | f x, y A :;則記以lim f x, y = A或心今0yo稱當x, y趨于xo, yo時,f x,y地極限存在，極限值為A,否則,稱

47、為極限不存在值得注意：這里 x,y趨于x°,y°是在平面范圍內，可以按任何方式沿任意曲線趨于xo, yo ,所以二元函數地極限比一元函數地極限復雜；但測試大綱只要求知道基本概念和 簡單地討論極限存在性和計算極限值，不像一元函數求極限要求掌握各種方法和技巧三二元函數地連續(xù)性1二元函數連續(xù)地概念若 lim f （x, y ）= f（X。, y° ）則稱 f （x, y ）在點（x°, y ）處連續(xù).Xrxoy “o若f X, y在區(qū)域D內每一點皆連續(xù)，則稱f x, y在D內連續(xù)2閉區(qū)域上連續(xù)函數地性質定理1. 有界性定理）設f x,y在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f

48、x, y在D上一定有界定理2. 最大值最小值定理）設 f x, y在閉區(qū)域D上連續(xù),則f x, y在D上一定有最大值和最小值max f x, y 二 M 最大值），min f x, y 二 m 最小值） x,y .D丿x,y D定理3. 介值定理）設f x, y在閉區(qū)域D上連續(xù)，M為最大值,m為最小值若m _C 一 M，則存在 xo, yo - D，使得 f x°, y° AC乙典型例題一求二元函數地定義域x , I例1 .求函數z = arcsin xy地定義域3x解：要求一 <1即一3Ex蘭3 ；3又要求 xy_O 即 x _ 0, y _ 0 或 xE0,y0綜

49、合上述要求得定義域”一3 Ex WO亠或*0I蘭x蘭3*0例 2.求函數 z = 4 -x2 -y2ln y2-2x1地定義域二.有關二元復合函數例 1 .設 f x y,x - y i；=x y y ,求f x,y11解：設 x二u,x-y = v 解出 x u v , y uv221 2 1 2 代入所給函數化簡 f (u,v )= (u +v ) (u -v)+ (u -v)84f (x,y )=£(x+y f(x y )+£(x y f842.設 f x y, xy = x2 3xy y25 ,求 f x, y3.設z = y f . x -1 ,當y = 1時，z

50、 = x,求函數f和z4.設 z=x y f x-y，當 y=0 時，z = x，求函數 f 和 z .三有關二元函數地極限例1 .討論lim 1x2(1涯1<a0常數)< xy丿x2解：原式1、xy xy(x4y )xy而 lim H;a.又limy ；a：xy x y2二 limx :yT2討論limx_0y o1-原式=ea2x y42x y3.討論xgy_0 、3x2y24.討論lim 2；二;x -xy y§ 6. 2多元函數地偏導數與全微分內容要點一.偏導數1.定義設二元函數z = f x, y若歸 f（xo"x，yo）f（xo，yo）.x0存在,則記以f；（xo,yo ），或些ex(Xo, yo )或Zx* 稱為z = f （x, y ）在點（Xo, y° ）處關于x地偏導數. xo,yof (x0, y0 +Ay )- f (x0, y0 )同理若lim,0 -存在，則記以f；（x°,yo ）或竺cy （x°,y。）或zy稱為z = f (x, y )在點(xo, yo )處關于y地偏導數.%, y。)類似地，設U = f x, y