專題09+外接球和內切球問題的處理技巧高考數學二輪復習之重難點微專題突破訓練含解析

1、專題09外接球和內切球問題的處理技巧一、外接球的問題簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑尺或確定球 心O的位置問題，其中球心的確定是關鍵.（一）由球的定義確定球心在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外 接球的球心.由上述性質，可以得到確定簡單多面體外接球的球心的如下結論.結論1:正方體或長方體的外接球的球心其體對角線的中點.結論2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點.結論3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點.結論4:正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找

2、到.結論5:若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.例：直三棱柱ABC - 4（側棱垂直于底面的棱柱）的各頂點都在同一球面上.若AH = AC = A,A! = 2, NBAC = 90°,則此球的表面積等于 .【答案】:丁【解析】根據題意，可畫出如下圖形： ZBAC = 90°, . . RC的中點到AC三點的距離相等，記為M,直三棱柱的中點到月:B'C三點的距離相等，記為N,，球的球心為A/N的中點，記為Q,設球的半徑為R, = 4B = 4A= 2,，R = S = 4開足，此球的表面積S = 12tt.【掌握練習】1、一個正

3、四棱柱的各個頂點都在一個直徑為左m的球面上.如果正四棱柱的底面邊長為1cm,那么該棱柱的表面積為 cm '.【答案】,.一【解析】，正四棱柱的表面積為,那么這個三棱柱的設正四棱柱的高為卬由長方體與球相接的性質知4 = 1 + I + 貝此=此S = 2xlxl + 4xlx/2 = (2 + 42)(cm2)322、一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是1-體積是.【答案】 z 77【解析】4,32設球的半徑為R,則3 3 ，則A=2,/2 O. j£/1則三棱柱的高是 4,設底面邊長為 * 6, 口 = 4/3,(4/3)2 4 = 48y/3則

4、三棱柱的體積是二.47r3、已知正方體的外接球的體積是3 ,則這個正方體的棱長是 .2?3【答案】.【解析】47r q 47rr設正方體的外接球半徑為 磨，正方體棱長為q，則3= 3 ,2/3. t = 1.= 2r = 2. . a = 3 .4、如圖，已知球O的面上有四點A、0C,D, D>LL平面總RC,AB_LEC,D4則球。的表面積為【解析】把幾何體看成長方體一部分，由于 EhLL平面4UC,因此。為球的直徑CD =弋通+注+甯-2焉，.半徑為四，因此球的表面積47r5、如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積為2=127r的眥圖8y/2TT【答案】3【解析】三視

5、圖復原的幾何體如圖,它是底面為等腰直角三角形，一條側棱垂直底面的一個頂點，它的外接球J就是擴展為長方體的外接球J 它的直徑是26,冊志的體積是：鏟6、已知各頂點都在同一個球面上的正四棱錐高為3,體積為6,則這個球的表面積是【答案】167r 【解析】 正四棱錐的高為3,體積為5,易知底面面積為6,底面邊長為 灰.正四棱錐P 一的外接球的球心在它的高 FO上，記為。,PO = AO = R, P5 = 3,OO1 =3-R,在母AAOiO中，=等"=8，由勾股定理2 = 3 + （3-喈得丑=2.所以，球的表面積S = 167r.AB（二）構造正方體或長方體確定球心長方體或正方體的外接球

6、的球心是在其體對角線的中點處.以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長 方體的途徑與方法.途彳5 1：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、 四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構造正方體.途彳5 2:同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構造長方體和正方體.途彳5 3:若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體.途彳5 4:若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體.例：棱長為 6的正四面體的外接球半徑為 .逛【答案】一【解析】記正四面體校長為外外接球半徑為月，正四面體擴展為正方體用它們的外接球是同一個球，正方體的對角線長就是球的直

7、徑，得到4 ,因此中本題中4【掌握練習】伯怏圖【答案】507r【解析】根據幾何體的三視圖，得,該幾何體是頂點與長方體的頂點重合的三棱鍵81 一同如圖所示F長方體的長為5,寬為工高為3 j，該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，該球的直徑為2五=KI2 = S2 + 43 + 32 = 50，外接球的表面積是 S = 4tt# = ttI2 = 50tt .故答案為：50tt.2、如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的外接球的表面積為 第視圖【答案】327r【解析】 由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同,如圖所

8、示：由底面底邊長為4,高為2,故底面為等腰直角三角形,可得底面外接圓的半徑為：丁 =2，由棱柱高為4,可得球心距為2,故外接球半徑為：R =+ 22 = 2,5,故外接球的表面積S = 4燈鑄=32門故答案為；327T .3、已知正三棱錐F-,點只也* , C都在半徑為g的球面上，若尸也況尸C兩兩互相垂直到截面正c的距離為【解析】將該三棱錐補成正方體，如圖所示，則0在正方體的對角線 尸。的中點，設G是*iBC的重心，則00 一平面島二班,則口 = 2 ,所以0G =|PA4、在三棱錐 V 一中，面 面VA = AC = 2,ZVAC = 120°, EA1BC,則三棱錐V 一再的外接

9、球的表面積是【答案】167r【解析】將三棱錐爐一 AEC擴展成一個三棱柱,則球心是上下底面外心為N連線的中點，在工中,AM = L Z.OAM = 60。，。總=2,即三棱錐口 - 4BC的外接球的半徑為2,，三棱錐V ABC的外接球的表面積S = 4tt/?2 = 16限故答案為：1&T.（三）由性質確定球心利用球心O與截面圓圓心 01的連線垂直于截面圓及球心 。與弦中點的連線垂直于弦的性質，確定球心.例：一個棱長為1的正方體，其八個頂點都在同一個球面上，那么這個球的表面積為【解析】設正方體的棱長為1,正方體的體對角線的長為即球的直徑為 /W,-工一S = 4/ x= 3r，球的表面

10、積為：-2故答案為：33r.【掌握練習】1、三棱錐 產一ABC 中，PA = AB = BC = 2, PB = AC = 22 , FC = 2代,則三棱錐產一啟UC的外接球的表面積為 .【答案】二-【解析】* AP = 2, AC = 2x/2. PC = 273.'.AP2 + AC2 = PC2?二 APAC是RA* ；PB = 2 BC =2.PC = 2 依，&FBC是 Rt&.，取 FC中點 O,則有 OF = OO = OA = OB = V3 ,。為三棱錐 產一啟BC的外接球的球心，半徑為 v3.三棱錐產一 ABC的外接球的表面積為4斤丑2 = 127

11、r.故答案為：二一.2、在半徑為2的球面上有不同的四點 4 B、C, D若AR = AC = AD = 2,則平面BCD被球所截面 圖形.的面積為.【答案】；.【解析】解：過點工向面BCD作垂線，垂足為A，則M是外心，而外接球球心。位于上，如圖所示，設乂BCD 所在截面圓半徑為T,* 川=QE| = R=2 = 14Hl . /_BAO = 60。,在舟中，r = 2siii600 = V5 ,.S = 7TT2 = 37T.、內切球問題這個球是這個多面若一個多面體的各.面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體, 體的內切球。1、內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心

12、到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內切球半 徑的通用做法。32,那么這個三棱柱例1： 一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是的體積是.48y3【解析】4 732設球的半徑為此 則3M 3 ,則R = 2,則三棱柱的高是4,設底面邊長為小 6 =* (473)2 - 4 = 483典E棱柱的體積是4 1'例2:若正四棱錐P-5方CD的底面邊長及高均為2,剛此四棱錐內切球的表面積為TT【解析】根據題意得正四棱錐的底面

13、面積為 4, 一個側面面積為 修，設球的半徑為 R,則由等體積法得, 3（4VS + 4）R= §x4x2t冗=一j 一，所以球的表面積為2（3 峋盯.【掌握練習】2串布，則三棱錐 尸一幺5。的內切球的體積為1、已知三棱錐 尸一幺EC的所有棱長都相等，現沿 FA PB, PC三條側棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為心3r【答案】2【解析】三棱鏈尸-展開后為一等邊三角形，設邊長為明則：.a = 6四,二三接錐一 ABC棱長為3，2三棱錐F-4£tC的高為2/5設內切球的半徑為一則4X 3rx必*"= J"亡x 2/3 . r = T,二三棱錐xbc的板球的體積為4 3 JTF = TF32 .2、在直三棱柱ABC - JiBiCi中，BC±AC,AC = 12, BC = 5 ,若一個球和它的各個面都相切 則該三棱柱的表面積為 【答案】180【解析】AC = 12, BC = 5, BC±AC, AB = 13.設棱柱的內切球的半球為 “則況于4EC的內切圓為球5+12-13 2X2-51 -2-21.，棱柱的高為2r = 4.，棱柱的表面積