立體幾何證明方法匯總

1、7E例題：已知如圖：平行四邊形所在平面與平面ABCD垂直，(1)求證：GH/平面CDE;ABCD中，BCG,H分別是DF6,正方形ADEFBE的中點(diǎn).(2)若CD2,DB4J2,求四棱錐F-ABCD的體積.練習(xí):1、如下圖所示：在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3BC=4AB=5AA=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。求證:AC/平面CDB;ADC2.如圖,ABCDA1B1clD1是正四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為1,底面邊長(zhǎng)為2,E是棱BC的中點(diǎn)。(1)求證：BD1/平面C1DE；求三棱錐DD1BC的體積.3、如圖,在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD,PD4,DC3,E是PC的中點(diǎn)。(1)

2、證明：PA/平面BDE；(2)求PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積。例2、如圖，在矩形ABCD中，AB2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn)，EP，平面ABCD.求證：練習(xí)：如圖,PCE;如圖，已知AQ/平面CEP；(利用平行四邊形)PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)。求證:DBDCDWDC的點(diǎn)，且AF/平面pP是矩形ABC所在平面外一點(diǎn)，PD平面ABCD,MN分別是AB,PC中點(diǎn)。求證:MN/平面PAD如圖，已知AB平面ACD,DE求證：AFA1B1C1D1OABCD證：C1O/面AB1D1比例關(guān)系例題3、BMPMP是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M、N分別

3、是PB、BC上BN,求證:NCMNABCDEAABCDEF/ABAB=4,AE=2,EF=1n1）若點(diǎn)M在線段AC上，且滿足CM-CA,求證：EM/4平面FBC；面面平行一線面平行例題4、如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，J/BE9073PABCDABCDPDABCDPDAPA/面EFGPEFGABCAB,C1ACB90(0E，F(xiàn)，(i)求證：CG平面BEF；3、如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直ADCD,AB/CD,CD2AB2AD在EC上找一點(diǎn)p點(diǎn)的位置，并給出證明.4、(2012山東義)如圖，幾何體EABCD是四棱錐，HS>E-GEEAL2ad

4、B舊2EFGPCPDBCGAA,AC,BB1CGC1G,M，使得BM平面ADEF，請(qǐng)確定MAABD為正三角形，/：CBCD,ECBD.(I)求證：BEDE;(n)若/BCD120,M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM/平面'BEC.例題：如圖，已知四棱錐PABCDo若底面ABCD為平行四點(diǎn)，在DE上取點(diǎn)F,過AP和點(diǎn)F的平面與平面BDE的交線為證明：連AC與BD,設(shè)交點(diǎn)為O,連OE練習(xí)：1、如圖，在四木錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，BAC邊形，E為PC的中/%FG,求證：AP/FGo'fl、且與底卸ABCD垂直，底卸ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD60,N是PB中點(diǎn)，過A、N

5、、D三點(diǎn)的平面交M.求證：AD/MN;2、(2012浙江高考)如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中，AD/BC,AD±AB,AB=<AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B1C1E線AAi的交點(diǎn)。(1)證明：EF/A1D1；3.如圖，四邊形ABCD是矩形，平曲ABCD平卸BCE,DD>-/-3C1.A?、A1'BBBCBEEC.(1)求證：平面AEC平面ABE;(面面垂直性質(zhì))BF1.(2)點(diǎn)F在BE上，若DEABCDAB1C1DiEFGABADCR求證：平面DEFBE2/平面BDG.練習(xí)：如圖所示，在正方體ABCD-AB

6、1C1D1中，E、F、G、H分別是BGCO、C1D1、AA的中點(diǎn).求證:(1)EG/平面BBDD;(2)平面BDF/平面BDH例題：已知在正方體ABCD-A1B1clD1中，E,F分別是C1點(diǎn)P在正方體外，平面PEF與正方體相交于AC,求證：EF菱形的對(duì)角線互相垂直：例題。已知E,F分別是正方形ABCD邊AD,AB的中點(diǎn)，垂直于ABCD所在平面。求證：EFL平面GMC練習(xí)：如圖ABCD-A1B1C1D1是底面為正方形的長(zhǎng)方體，求證：(1)BD平面ACC1A(2)BDAC1等腰三角形底邊的中線垂直底邊例1、如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2,ACB90°,APBPAB,PCAC.求練

7、習(xí)：1、在三棱錐A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求證：BCAD圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角例題3、如圖AB是圓O的直徑，C是圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，PA(1)圖中共有多少個(gè)直角三角形？(2)若AHPC,且AH與PC交于H求證：AH平面PBC.利用勾股定理例4、在長(zhǎng)方體ABCDA1B1clD1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA12,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)。求證：AE平面A1D1E;證明：ABCDA1B1C1D1為長(zhǎng)方體，練習(xí)：如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PACD,PA1,PDV2,求證：(1)PA平面ABCD(2)求四棱錐P-ABCD的體積.pA的任意sKH

8、D aCDC是圓上不同于 A,BA練習(xí)1：如圖，棱柱 ABC A1B1c1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C A,B平面ABE ,例1如圖，AB是。的直徑，PA垂直。O所在的平面,PACL平面 PBC證明：因?yàn)锽C 平面ABE , AEC，平面ABCD ;間接法，用線面垂直的性質(zhì)定理（l b,b例題：如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,AB 2AD, PD 底面 ABCD,證明：PA BD ;練習(xí)1:如圖，在直三棱柱 ABC AB1cl中，AC=3,BC=4, AB=5, AA14 ,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。（I ）求證： ACBg;練習(xí)2：如圖，四邊形ABCD為矩形, 求證：AE

9、 BE ;2、如圖，在直三棱柱 ABC A1B1cl中，E、F分別是A1B、A1c的申點(diǎn)，點(diǎn)D在B1cl上，AD B1C 0求證：（1） EF/平面 ABC （2）平面 A1FD 平面 BB1C1C .3、如圖， ABCCO正方形，SA1平面ABCD BKaSC于K,連結(jié)DK求證（1）平面SBC1平面KBDA例2:如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是 DAB 600且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD是l b)DAB 60 ,2aBC 平面ABE ,F為CE上的點(diǎn)，且BF 平面ACE.例1：如圖，在四棱錐P ABCD中，側(cè)面 PAD，底面 ABCD ,側(cè)棱PA = PD, O為AD中點(diǎn).，求證

10、：PO等邊三角形，且平面PAD垂直于底面 ABCD .（1）若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG 平面PAD；（2）求證：AD PB；練習(xí)：1、如圖AB是圓。的直徑，C是圓周上異于 A、B的任意一點(diǎn)，PA 平面ABC , （1）圖中共有多少個(gè)直角三角形？ （2）若AH PC，且AH與PCC交于H ,求證:平面 PAC平面 PBC.(3) AH 平面 PBCBD2、在四棱錐PABCD中，平面PAD，平面ABCD,AB=AD,/BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：平面BEF，平面PAD3、如圖，正方形ABCD9f在平面與以AB為直徑的半圓。所在平面ABEF互相垂直，P為半圓周上異于

11、EB兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，求證：。1直線APL平面PBC平面PBCL平面APC24、如圖，二角形ABC中，AC=BC=AB,ABED2是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面ABED，底面ABC,且，若G、F分別是EC、BD的中點(diǎn)，(I)求證：AiGFA,B,C,DAABCAB2,ACBC&ADBABADBABCCD如圖，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為1,底面邊長(zhǎng)為2,E是棱BC的中點(diǎn)。(1)求證：BD1/平面C1DE；(2)求三棱錐DDiBC的體積.練習(xí)1：三棱錐PABC中，PAC和PBC都是邊長(zhǎng)為72的等邊三角形，AB2,0、D分別是AB、PB的中點(diǎn).(1)求證：0D/平面PAC(2)求證：平

12、面PAB,平面ABC;(3)求三棱錐APBC的體積.2、如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2,E是BC的中占八、.(I)求證：平面A1AE平面D1DE;(II)求三棱錐AA1DE的體積.A1D1B1AC1D是直角梯形，DC/AB,BAD900,且3、如圖，在四棱錐P-ABCDt,pPD垂直于底面ABCD，底面ABCDBAB2AD2DC2PD4（單位：cm）,E為PA的中點(diǎn)。（1）如圖，若主視方向與AD平行，請(qǐng)作出該幾何體的左視圖并求出左視圖面積;（2）證明：DE/平面PBC;（I）求這個(gè)組合體的體積；（n）若組合體的底部4、已知某幾何體的直觀圖（圖1）與它的三視圖已知D

13、是這個(gè)幾何體的棱A1c1上的中點(diǎn)。（I）求出該幾何體的體積；（373）（n）求證：直線BC1/平面AB1D；（田）求證：平面AB1D平面AA1D.（圖2）,其中俯視圖為正三角形，其它兩個(gè)視圖是矩形已知某個(gè)幾何的三視圖如圖（主視圖的弧是半圓），根圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù),何體記為ABCDA1B1c1D1,其中A1B1BA為正方a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)CE形.求證：A1B平面AB1clD;（ii）求證：P為棱A1B1上一點(diǎn)，求APPC1的最小值六：等體積法求高（距離）：h如：三棱錐VfbeCi=VbEFCi1c=-SEFC1BE3例題（2010廣東文數(shù)）如圖，弧AEC是半徑為為線段

14、AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FC平面BED,FB='5a（1）證明：EBFD（2）求點(diǎn)B到平面FED的距離.練習(xí)1:已知ABC-A1B1cl是正三棱柱，棱長(zhǎng)均為<5,E、F分別是AC、A1cl的中點(diǎn)，（1）求證：平面AB1F/平面BEC1(2)求點(diǎn)A到平面BEC1間的距離2、如圖，在四木錐PA1ABCD中，ABCD是菱形，邊長(zhǎng)為2,作與PD平行的平面交PB與點(diǎn)交點(diǎn)為F.(I)求證:AACDE；B1C(n)B平面E,若EF,3的距離.3、如圖4,在四棱錐PABCD中，平面PADABCDAB/DCPAD是等邊三角形，已知BD2AD4AB2DC(1)求證：BD平面PAD；(2

15、)求三棱錐APCD的體積.4.如圖，己知BCD中，BCD90°,BCCD1,AB平面BCDADB600,E,F分別是AC,AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AEAFACAD,(0<<1)(1)求證：不論為何值，總有EF平面ABC;(2)若=1,求三棱錐A-BEF的體積25、(2012廣東文數(shù))如圖5所示，在四棱錐PABCD中，AB平面PADAB/CD,PDAD,E是PB中點(diǎn),1F是DC上的點(diǎn)，且DF-AB2PH為PAD中AD邊上的高。(1)證明:PH平面ABCD;(2)若PH1,AD2,FC1,求三棱錐EBCF的體積;(3)證明:EF平面PAB.6、(2012佛山一模)如圖，三棱錐PABC中，PB底面ABCBCA90°,PBBCCA4,E為PC的中點(diǎn),M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上,且AF2FP.(1)求證：BE平面PAC；(2)求證：CM/平面BEF;(3)求三棱錐FABE的體積.BCD60,經(jīng)過ACABCD的兩對(duì)角線B求點(diǎn)A)到平！|BCCPD平面ABCD；四邊形At)XHABS57、如圖所示四棱錐P