泰勒級數(shù)展開

1、泰勒級數(shù)展開若干方法何瓊（紹興文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江 紹興312000 ）摘要：泰勒級數(shù)的各項是由結(jié)構(gòu)簡單、性質(zhì)明了的冪函數(shù)組成.把一個函數(shù)展開成泰勒級數(shù)或冪級數(shù),有著廣泛的應(yīng)用本文對泰勒級數(shù)的若干展開方法進行探究、綜述，有助于我們對這部分知識的深入理解.關(guān)鍵詞：泰勒級數(shù)；冪級數(shù)；余項§1 引言泰勒級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中級數(shù)部分的重要內(nèi)容，其主要內(nèi)容包括兩個方面：（1）幕級數(shù)的收斂理論；（2）如何把一個函數(shù)展開成泰勒級數(shù)本文是對后者進行較全面的歸納 和總結(jié).我們知道把一個函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法大致上可分為兩類，即直接展開法和間接展開法直接展開法可按下列步驟進行：第一步：求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)f

2、'（x）, f"（x），L f（"（x），L第二步：求函數(shù)？（ x ）及其各階導(dǎo)數(shù)在 f（xo）, f'（xo）, f"（xo），L f（n）（xo），L ；第三步：寫出泰勒級數(shù)f （xo）+ f'（x°）（x- X。） + f ：0）（x- X。） 等比級數(shù)求和法利用公式 =1 + x+x2 +L +xn +L 由于本公式應(yīng)用廣泛,1 - x所以專列一條. +L +-畀（x-xo）n+L 2!n!第四步：考察余項 Rn（x）在x0的某一領(lǐng)域U（x0）內(nèi)極限是否為零.按照Taylor定理，直接展開法是一種基本的方法，但有時是比較繁

3、雜的方法，實際應(yīng)用中通常利用間接展開法1 代換法這種方法的特點是：進行適當(dāng)變量替換使得被展函數(shù)符合某個已知泰勒展開式這是一種在實際應(yīng)用中被廣泛使用的間接展開法.例1求ex處x = 1的泰勒級數(shù)解 已知et在t = 0處的泰勒級數(shù)為t2tnet=1+t+N + L +廿，x 弘x-1+1=ex-112設(shè)t = x - 1代入（1）得oo=en=0n!x (- o+馬#1將f (x)=在x = 2處展開成泰勒級數(shù)3x- 21解丄=1=11=113x- 23(x- 2) + 441+ 3 (x - 2)41- - 3 (x - 2)44133233=4 = 1 d 1 = 1 _ d(n + k-1

4、)L (n+1)疋】(1 - x)k+1 k dx (1 - x)kk nOdx(k - 1)! - 4(x- 2) +- 4(x- 2) +- 4(x- 2) + L x (-,10)3 3)1 3322 333=刀 ¥(x-2”n0 4n+1x (-,10)3 33 逐項微分法應(yīng)用泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可“逐項微分”的性質(zhì),勒級數(shù)已知的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)而間接展開將被展函數(shù)視為泰已知1- x=Z?n,x(-1,1)，求在x = 0處的泰勒級數(shù)，x(-1,1)1(1- x)2(xn)=+宀晉("xn) =dx 1 - x dx n=ooon-1=口xn=oo=口 n + 1)xn

5、n=0x (-1,1)1(1- x)31 d 1 2】d ”(n +1)xn2 dx (1- x) 2dxx (-1,1)-n + 1)nxn-12 n=0oo=刀n=0(n + 2)( n + 1)xn2!4-嚴(yán)-2)+*-2)-存x-2) +L34oo=習(xí)n=0(n + k)L k!x (-1,1)#4 逐項積分法應(yīng)用泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可“逐項積分”的性質(zhì)，將被展函數(shù)視為泰勒級數(shù)已知的函數(shù)的原函數(shù)而間接展開例4 將f (x) = arctgx在x = 0處展開成泰勒級數(shù).q arctgx =而由法2知丄=1-21 + xoo"2"+ L = D1)x"=0x

6、 (-1,1)ooarctgx =coA+X2dx= / 卓1)nx2ndxox=E J(- 1)"x2"dx =n=0 0n 2noo1)2n+1+ 1 xx (-1,1)5 運算法應(yīng)用泰勒級數(shù)的四則運算法則來展開函數(shù)，我們稱之為運算法1)應(yīng)用泰勒級數(shù)乘法法則，將被展開函數(shù)視為泰勒級數(shù)展式已知的函數(shù)的乘積展開將f (x) = ex ln(1 + x)在x = 0處展開成泰勒級數(shù)2Q ex =1 + x + + L 2!"+ L"!3x+ +L2l"(1 + x) = x-7 - 3+ (- 1)""-1 x+ Lx (-1

7、,1)ex l"(1 + x) =(1 + x +2 x2!3 x3!+ L )(x-1)= x+(1- 1)x2 +( 12 1?2!23x3 + L +=(2"! 2?("-1)!+1 +L3?("- 2)!+ +"?1! (" +1)?0!(-1)" )x"+1+Lo "=刀E"=0 k=0(-1)k(k + 1)("- k)!x"+1x (- 1,1)= x + 1x2+2x3 + 9x5 + l2!3!5!"+ (E1)x+ 1)("- k)!&

8、quot;+1x (-1,1)2)應(yīng)用泰勒級數(shù)除法法則，將被展函數(shù)視為泰勒級數(shù)已知的函數(shù)之商來展開xe例6 試求f(X)= 在x = 0處展開成泰勒級數(shù)的前五項1 + x解 此題可用前一方法來做，但這里用長除法解之2345xQex (-o,旳xxxx=1 +x + L2!3!4!5!L51x22x39x4 44x5+ - + -2!3!4!5!2345 x x x x.1 + x+ + + + +L2!3!4!5!x22!3+ x +L3!2!3x+ 2!342x x . + + L 4!3!2x32x43!3!459xx,+ L4!5!9x4 9x5+ 4!4!44x55!44x55!x e

9、x22x39x444x5d , 1+ -+ L=1 + -1 + x2!3!4!5!6待定系數(shù)法該法是利用兩個泰勒級數(shù)相等以及同次幕的項的系數(shù)相等這一充要條件來確定所求的泰勒級數(shù)的系數(shù).例7 將f (x) = tgx在x = 0處展開成泰勒級數(shù)解 Q f (x) = tgx在x = 0處可導(dǎo)且為奇函數(shù)設(shè) tgx = A(x+ A3x3 + A5X5 +L35即 sin x = (A,x + A3x +Ax +l )cosx6x (-2,2)3524X X35X XX-耳+ + L =(Ax + A3X +AX +L)(仁亍刁+L)A、3AiAo5=Ai x +(A3 -藥)x + (a5 +

10、"4! - 2!)x + l比較兩邊同次項系數(shù)，得A,1A1A31,Ai = 1, A3 -= -, A5 +-= 丄2!3!4!2!5!有Ai =1,A3 =5 =15 丄3 151325.tgx二x+ x + x +L315分項分式法對于有理分式函數(shù)，可先將其分解成分項分式后再展開成泰勒級數(shù)2將 f(x)=展開成x = 0處的泰勒級數(shù)X - 8x+ 5(x + 2)(x- 3)2(x- 3)_111XX2X3、=-=-(1 + 2 + 3 + L ) X- 33彳 X 3332331 -1111XX2X、=?= (1 - + 2- 3+L)X + 22 讓 x222223L222

11、2324X (- 2,2)#x (-2,2)8x (-2,2)1 £ 蘭三=-3-孑-F-十-L(X- 3)2oo2(x- 3)229ooEn=0n +1Xndx 為）=3nX (- 3,3)x2 - 8x + 5 =12(x + 2)(x- 3)2 = x+2- (x- 3)25-竺 x+衛(wèi) x2-2Z1x3+止 x4-l18 1082163888233288 恒等變形法此法是利用數(shù)學(xué)恒等式，將所要求的函數(shù)的展開式轉(zhuǎn)化為求展開式已知 或是易求的函數(shù)的展開式，它最適用于三角函數(shù)的泰勒展開式例9將f (x) = sin2 x在x = 0處展開成泰勒級數(shù)解此題除了可以利用前面介紹的公式、

12、逐項積分及泰勒級數(shù)乘法外，最簡便的還利用恒等變形.2 1Q sin x =(1- cos2x)2而 cos2x =1-(2x)2 + (2x£2!+4!(2x)66!=D1)nn=0?2n麗2n x9x (-2,2)22n-12n x1 m'sin2 x = -(1- cos2x) = ”(- 1)n-12 n=19微分方程法利用微分方程來求泰勒級數(shù)的系數(shù)1例10 把f (x) = e在x = 0處展開成泰勒級數(shù)Q f(x)在x <1內(nèi)可導(dǎo)且1f '(x) = e(1- x)2f (x) = 0#x (-2,2)#x (-2,2)對上述微分方程逐次求導(dǎo)，得(1-

13、 x)2f"(x)+(2x- 3)f'(x) = 0 (1- x)2 f"'(x)+(4x- 5)f" (x) + 2f'(x) =0又 f (0) = e從上列各微分方程可求得f'(0) = e, f" (0) = 3e, f'"(0) = 13e丄13x213x3 e1-x = e(1 + x+w + +L)x (-1,1)10 復(fù)變數(shù)法展開法此法是將實函數(shù)變?yōu)橄嚓P(guān)的復(fù)函數(shù)來展開.例11把f (x) = ex cosx在x = 0處展開成泰勒級數(shù)#x (-o omnoonQ 嚴(yán)=尹)V= 2(cos

14、n + iS%)n?:!nnn)2x_4 'Ti!oo n2 / n n=V22 (cos+ is inn=04Xe cosxoon令等式兩邊的實部和虛部分別相等，得nn n、xcos )4 n!且還得到oonxe sinx口22n = 0n.nn、x sin ) 4 n!x (- o, o10x (-o o#x (-o o（本文指導(dǎo)老師：汪文瓏，衷心感謝他的悉心指導(dǎo)！）參考文獻： 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析M，第二版，高等教育出版社，1991SOME METNODS IN LAUNCHING TAY LOR SERIES(Dep.of Math,Shaoxing College of Arts and Sciences,Shaoxing 312000,China)He QiongAbstract:Each item of Taylor series is made up of some power series whose construction and character are bothvery simple. So if we launch a function as a Taylor series, then we can not only discuss its