Heegaard分解的邊界穩(wěn)定化和纜繩結(jié)的洞數(shù)

1、Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化和纜繩結(jié)的洞數(shù)給定緊致三維流形的一個Heegaard 分解 ,Hempel 定義了距離的概念來刻畫它的復(fù)雜性 . 首先對于虧格至少為2 的閉曲面上的兩條本質(zhì)簡單閉曲線,Hempel定義它們之間的距離為連接它們的相鄰不相交的本質(zhì)簡單閉曲線的最少個數(shù)加1. 然后 Hempel定義一個 Heegaard 分解 (1 (2 的距離為 (1 中界定本質(zhì)圓盤的所有簡單閉曲線與 (2 中界定本質(zhì)圓盤的所有簡單閉曲線在 Heegaard 曲面上的距離的最小值 . 這里我們假定的虧格至少為 2. 對于距離至少為 2 的 Heegaard 分解 , 我們可以定義局部復(fù)雜的概念 .

2、 一個距離至少為 2 的 Heegaard 分解 (1 (2 稱為局部復(fù)雜的 , 如果在這個實現(xiàn)距離的上的一族本質(zhì)簡單閉曲線中 , 對于任意三個相鄰的閉曲線 , 兩端的曲線投影到沿中間曲線把曲面剪開得到的子曲面上的距離充分大 . 本文研究的第一個問題是什么時候一個緊致三維流形的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是不可穩(wěn)定化的 .Zou-Guo-Qiu 證明了距離至少為 6 的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是不可穩(wěn)定化的 . 事實上 , 他們的下界可以改進(jìn)到 5. 由于存在距離為 2 的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是可穩(wěn)定化的 , 于是他們猜測 3 是最好的下界 .這里我們在加了

3、一個條件的情況下肯定了他們的猜測: 距離至少為 3 的局部復(fù)雜的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是不可穩(wěn)定化的( 定理 3.1). 已有一些結(jié)果保證了局部復(fù)雜的 Heegaard 分解的存在性 .Qiu-Zou-Guo 構(gòu)造了無窮多個距離至少為4的 Heegaard 分解 . 事實上 , 他們的例子是局部復(fù)雜的Heegaard 分解 .Zhang-Qiu-Zou 對距離為 2 和 3 的情形構(gòu)造了無窮多個類似的例子. 因此存在無窮多個距離至少為3 的局部復(fù)雜的 Heegaard分解 . 本文研究的另一個問題是纜繩結(jié)和它的伴隨結(jié)的洞數(shù)之間的關(guān)系. 一個三維球面 3 中的紐結(jié)的洞數(shù)等于它在 3 中的補的 Heegaard 虧格減 1. 通過一個簡單的觀察 , 我們知道纜繩結(jié)的洞數(shù)不超過它的伴隨結(jié)的洞數(shù)加1. 在伴隨結(jié)的洞數(shù)是 1 時,Moriah 證明了纜繩結(jié)的洞數(shù)可以達(dá)到這個上界 . 這里我們首先證明了纜繩結(jié)的洞數(shù)不小于它的伴隨結(jié)的洞數(shù)( 定理4.1).于是一個纜繩結(jié)的洞數(shù)等于它的伴隨結(jié)的洞數(shù)或其加1. 接下去我們給出了纜繩結(jié)的洞數(shù)等于它的伴隨結(jié)的洞數(shù)加1 的兩個充分條件: 一個要求伴隨結(jié)是高距離的 ; 另一個要求纜繩結(jié)的構(gòu)造中粘貼映射充分復(fù)雜, 即粘貼斜度