新編數(shù)學(xué)人教A版選修1-1優(yōu)化練習(xí)：3.4-生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例-含解析

1、新編人教版精品教學(xué)資料課時(shí)作業(yè)A組根底穩(wěn)固1. 設(shè)底面為正三角形的直棱柱的體積為V,那么其外表積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為解析:設(shè)底面邊長(zhǎng)為X，側(cè)棱長(zhǎng)為令 S' = 0,ax3= 4V, .x= 3 4V時(shí)，S取得極小值也是最小值.答案：C2. 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的距離為s= 4t3- 2t2,那么速度為0的時(shí)刻是D . 0秒末或1秒末A. 1秒末解析：由題意可得 t>0, s' = 4t2 4t,令 s' = 0,解得 ti= 0, t2= 1.C. 2秒末答案：D3. 內(nèi)接于半徑為 R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的寬和長(zhǎng)分別為.5 亍 < 5 B

2、TR和 5 RD .以上都不對(duì)C.；R 和5R解析：設(shè)矩形一邊的長(zhǎng)為 x,那么另一邊的長(zhǎng)為 2 R2 x2，那么1 = 2x+ 4 R2 x20<x<R, l當(dāng) OvxvR 時(shí)，I' >0;當(dāng) 55R<x<R 時(shí)，<0,所以當(dāng)-5x= 5 R時(shí)，I取最大值，即周長(zhǎng)最大的矩形的寬和長(zhǎng)分別為，455R.答案：B4. 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品每噸的價(jià)格P元/噸與產(chǎn)量x噸之間的關(guān)系式為 P =124 200 買，且生產(chǎn)x噸的本錢為R= 50 000 + 200x元，為使利潤(rùn)最大，那么產(chǎn)量應(yīng)為 A. 200 噸B. 20 噸C. 150 噸D. 100 噸.

3、梯形的周長(zhǎng)為x+ 21 - x + 1解析：利潤(rùn)L = P x-R24 200 5x2 x 50 000 200x=fx3+ 24 000x 50 000(x>0),+ 24 000,令 L' = 0,得 /= 40 000.x= 200.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x= 200時(shí)利潤(rùn)最大.答案：A5. 將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形,梯形的周長(zhǎng)2記S=梯形的面積，那么S的最小值是32 . 3A. 3C還C. 3解析：如下列圖，設(shè) AD = x m0v xv 1,貝U DE = AD = x m,=3 x(m),又43x2(m2),梯形的面積為-4 j

4、x2(m2),(0 V XV 1),_ 4 花 % x2 - & + 931 x28丫33x 1 x 3F = TX1 x22 ，令 s' = 0 得 x=1 或 3(舍去)，當(dāng) x (0, 3)時(shí)，s' V 0, s 遞減，當(dāng) x (3 1)時(shí)，s' > 0, s 遞增.故當(dāng)x= *時(shí)，s的最小值是32亍3.答案：A6. 將長(zhǎng)為72 cm的鐵絲截成12段，搭成一個(gè)正四棱柱的模型，以此為骨架做成一個(gè)容積最大的容器，那么容器的高為 .解析：設(shè)容器的底面邊長(zhǎng)為 x,高為h,那么8x+ 4h= 72, h= 18 2x(0<x<9)容積 V = x2

5、h = x2(18 2x) = 18x2 2x3.V' = 36x 6x2= 6x(6 x)當(dāng) 0<x<6 時(shí)，V' >0;當(dāng) 6<x<9 時(shí)，V' <0當(dāng)x= 6時(shí)V最大，這時(shí)h= 6.答案：67隨著人們生活水平的提高，汽車的擁有量越來(lái)越多，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6點(diǎn)到9點(diǎn)，車輛通過(guò)某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似表1 3 3 2629(示為y=_t + 36t.那么在這段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是844解析：由題意知，所求的量為當(dāng)y為最大值時(shí)的自變量t的取值，y' = 8乎-2

6、+ 36，令 y' = 0，得 3t2+ 12t 36 X 8 = 0，t1 = 8，t2= 12(舍).當(dāng) t (6,8)時(shí)，y' >0，t (8,9)時(shí)，y' <0，所以t= 8時(shí)，y有最大值.答案：8點(diǎn)&在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其下底為直徑，其他三邊為圓的弦，那么梯形面積 最大時(shí)，梯形的上底長(zhǎng)為 r的倍.解析：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為 2x,高為h，面積為S,x2,.S='r2 x = (r + x) r2-x2.22 x r + x r2- rx 2x2 r 2x r + x'r2-x2r2-x2.S' = '

7、; r x =r2-x2r令 S' = 0,得 x= 2, h =rr當(dāng) x 0, 2 時(shí)，S' >0;當(dāng) 2<XV r 時(shí)，S' v 0.r2x當(dāng)x= 2時(shí)，S取極大值也是最大值故當(dāng)梯形的上底長(zhǎng)為r時(shí)，它的面積最大， - = 1.答案：15859某種產(chǎn)品每件本錢為6元，每件售價(jià)為x元(6<x<11)，年銷售為u萬(wàn)件，假設(shè)821u與x- 21 2成正比，且售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬(wàn)件.(1)求年銷售利潤(rùn)y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn).解析：設(shè)585- u = k x- 25852u =- 2 x-

8、 2+=- 2x2 + 21x+ 18.4 8y= (-2x2 + 21x+ 18)(x- 6) =- 2x3+ 33x2 108x- 108(6<x<11).(2)y' =- 6x2+ 66x- 108=- 6(x2- 11x + 18)=-6(x- 2)(x- 9).令y' = 0,得x= 2(舍去)或x= 9,顯然，當(dāng) x (6,9)時(shí)，y' >0;當(dāng) x (9,11)時(shí)，y' <0.函數(shù)y= 2x3 + 33x2- 108x- 108在(6,9)上是遞增的，在(9,11)上是遞減的. 2,售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬(wàn)件，5852

9、1 2 f 28= k 10-匚 2,解得 k= 2.當(dāng)x= 9時(shí)，y取最大值，且 ymax= 135,售價(jià)為9元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為135萬(wàn)元.10.某工廠統(tǒng)計(jì)資料顯示：產(chǎn)品的次品率b與日產(chǎn)量x件(x N,1W xw 89)的關(guān)系符合以下規(guī)律：x123489b212129949974811又知道每一件正品盈利 a元，每生產(chǎn)一件次品損失 2(a>o)元.(1) 將該廠日盈利額表示成日產(chǎn)量x件的函數(shù)；(2) 為了獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？(.3衣)2解析：由b與x的對(duì)應(yīng)規(guī)律得次品率為 b =(x N,1< xw 89).100-x3x100-x)(x N，且 1

10、w xw 89).3 100 x + 3xT'=a1 100 x 2=a1 300100-x故日產(chǎn)量x件中，次品數(shù)為bx件，正品數(shù)為(x bx)件，那么日盈利額：aT = a(x bx) bx= a(x令 T' = 0,貝U 100 x= 10 ,3, x= 100 10.3,當(dāng)1w xW 100 10 3時(shí)，T' >0，函數(shù)T單調(diào)遞增； 當(dāng)100 10 3<xw 89時(shí)，T' <0,函數(shù)T單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x = 100 10.3 83時(shí)，T取最大值.因此，要獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為83件.B組能力提升1.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定本錢

11、為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，本錢增加100元,x3假設(shè)總收入R與年產(chǎn)量x(0 w xW 390)的關(guān)系是R(x)= 面十400x,0 w xW 390,那么當(dāng)總利潤(rùn)最YUU大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A. 150B. 200C. 250D. 300x3解析：由題意可得總利潤(rùn) P(x) = 900+ 300x 20 000,0w xw 390,由 P ' (x)= 0，得 xw x<300時(shí)，P' (x)>0 ;當(dāng) 300<xw 390 時(shí)，P' (x)<0，所以當(dāng) x= 300 時(shí)，P(x)最大.答案：Da元，側(cè)面的材料2 做一個(gè)圓

12、柱形鍋爐，容積為V，兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為每單位面積的價(jià)格為 b元，當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的底面直徑與高的比為aA.ba2B.bbC.bb2D.bb解析：如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為R,咼為h,那么V = nR2h.V2 bv設(shè)造價(jià)為 y= 2 TR2a + 2jRhb= 2 nR2 + 2 jRb2 TbR2+號(hào)，小'=4 nRTur2bV2R b眉.令 y' = 0,得 2R = b答案：C3設(shè)一個(gè)容積 V固定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，高為h，底面半徑為r.單位面積鋁y,合金的價(jià)格是鐵的3倍，那么h : r =時(shí)，造價(jià)最低.解析：圓柱形鐵桶的咼為h，底面半徑為r,設(shè)單位面

13、積鐵的造價(jià)為m,桶的總造價(jià)為2mV+ r那么 y= 3m n2+ m( n2+ 2 nh).因?yàn)?V = n2h，得 h = ，所以 y= 4m n2n所以y' = 8m n 爹+ 3,此時(shí) h = 4 4 34 n 34 n 3'故當(dāng)rv V1時(shí)，y'v 0，函數(shù)單調(diào)遞減;V 1r = 4n 1時(shí)，y有最小值.所以當(dāng)rB(/ 0c*B在拋物線解析：設(shè)CD = x,那么點(diǎn)C坐標(biāo)為號(hào),0 ,V 1當(dāng)r> 43時(shí)，y' >0，函數(shù)單調(diào)遞增.V 1所以r = 4- 令y' = 0,解得r=為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且是最小值點(diǎn).所以當(dāng)4 n 3h : r

14、= 4 : 1時(shí)，總造價(jià)最低.答案：4 ： 1 4.如圖，內(nèi)接于拋物線y= 1 x2的矩形ABCD ,其中A, 上運(yùn)動(dòng)，C, D在x軸上運(yùn)動(dòng)，那么此矩形的面積的最大值是 一 xx o點(diǎn)b坐標(biāo)為2, 1 22,x矩形ABCD的面積S= f(x)= x1 23X4 +x，x (0,2).3由 f '(X)=家2+ 1 = 0，2得 xi = 3(舍),2(x)>0, f(x)是遞增的;2x；3，2 時(shí)，f ' (x)<0, f(x)是遞減的,當(dāng)x=$3時(shí)，f(x)取最大值493.答案: 493 5某地政府為科技興市，欲將如下列圖的一塊不規(guī)那么的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形

15、高科技工業(yè)園區(qū)，AB丄BC, OA / BC,且AB= BC = 2AO = 4 km,曲線段0C是以點(diǎn)0為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在 AB、BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段0C上，問(wèn)應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積(km2).解析：以0為原點(diǎn)，0A所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如下列圖.依題意可設(shè)拋物線方程為y2= 2px(p>0)，且C(4,2).1因?yàn)?2= 2 p 4,所以p = 2.故曲線段CO的方程為y2= x(0 < x< 4, y> 0).設(shè)P(y2, y)(0 w yw 2)是曲線段OC上的任

16、意一點(diǎn),那么|PQ|= 2+ y, |PN|= 4 y2,所以工業(yè)園區(qū)面積 S= |PQ| |PN|= (2 + y)(4 y2)= y3 2y2 + 4yS' = 3y2 4y+ 4.2令 S' = 0,得 y1 = 3, y2= 2.又因?yàn)?<y<2，所以當(dāng)y (0, f)時(shí)，S' >0, S是y的增函數(shù)；當(dāng)y (3, 2)時(shí)，S' <0, S是y的減函數(shù).所以y=彳時(shí)，S取到極大值.832此時(shí) |PQ|= 2+ y = 3, |PN|= 4- y2=.8、, 32256所以S= 8X 32=古95又因?yàn)?y = 0 時(shí)，S= 8; y= 2 時(shí)，S= 0,所以 Smax(km2).3282所以把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長(zhǎng)為km，寬為3 km2.6.如下列圖，有一塊半橢圓形鋼板，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，方案將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸、 上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記 CD = 2x，梯形面積為S.(1)求S以x為自變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫出其定義域； 求S的最大值.解析：依題意，以AB的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系 xOy,那么點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y滿足方程孑+ 4r2= 1(y?0),解得 y= 2 : r2-x2(0<x&l