李秋鳳的直角三角形

1、單位：河北省樂亭縣姜各莊鎮(zhèn)姜各莊初級中學姓名：李秋鳳 性別：女 職稱：中學一級 電話郵編:063608 郵箱: 545570682 QQ:545570682高線搭橋，化“斜”為“直”【引言】數(shù)學家做消防員一天，數(shù)學家覺得自己已經(jīng)受夠了數(shù)學，于是他跑到消防隊去宣布他想當消防員消防隊長說：“您看上去不錯，可是我得先給您一個測試”消防隊長帶數(shù)學家到消防隊后院小巷，巷子里有一個貨棧，一只消防栓和一卷軟管消防隊長問：“假設貨棧起火，您怎么辦？”數(shù)學家回答：“我把消防栓接到軟管上，打開水龍頭，把火澆滅”消防隊長說：“完全正確！最后一個問題：假設您走進小巷，而貨棧沒有起火，您怎么辦

2、？”數(shù)學家疑惑地思索了半天，終于答道：“我就把貨棧點著”消防隊長大叫起來：“什么？太可怕了！您為什么要把貨棧點著？”數(shù)學家回答：“這樣我就把問題化簡為一個我已經(jīng)解決過的問題了” “把貨棧點著，”這就是轉化，這就是數(shù)學家常用的方法這一句話就把問題從未知領域轉化到了已知領域當然了，這只是為了加深我們對轉化思想的理解而編撰的笑話而已下面請同學們用這道題體會一下轉化的妙處吧！題目：如圖，港口B在觀測站A的正東方向，AB=4km，某船從港口B出發(fā)，沿北偏東30°方向航行一段距離后到達P處，此時從觀測站A處測得該船位于北偏東60°的方向，求該船與觀測站之間的距離（即AP的長）主講：河北

3、省樂亭縣姜各莊初中一級教師李秋鳳 思維導引：首先將實際問題正確地轉化為數(shù)學模型，即：在ABP中，AB=4km， PAB=30°，PBA=120°求AP這是一道非直角三角形問題，關鍵是將其轉化為解直角三角形問題，如何轉化呢？通常是作出高線，三角形有三個頂點，過哪一點作高線呢？答案是：都可以因此就有三種解決問題的思路了思路一：過點B作高線【名師指路】題中已知兩個角的度數(shù)，于是利用三角形的內(nèi)角和求出P=30°，會得到PAB=P，由等角對等邊可知ABP是等腰三角形，看到等腰三角形，自然想到等腰三角形的三線合一，于是有了下面的解題思路：解法1：PAB=30°，PB

4、A=120°，P =30°PAB=P BP=AB=4過點B作BDAP于D，AD=AP在RtABD中，cos30°=，AD=ABcos30°= AP=即該船與觀測站之間的距離為km【名師指路】需要說明的是：過鈍角頂點作出高之后出現(xiàn)了兩個直角三角形，當原三角形不是等腰三角形時，就只能分別在兩個三角形中用三角函數(shù)求解了思路二：過點A作高線【名師指路】過點A作ADPB交PB的延長線于D，得到RtADB和RtADP，這兩個直角三角形有公共邊AD因此先在RtADB中用三角函數(shù)求得公共邊AD的長，就可以在RtADP中用三角函數(shù)（或用直角三角形中30°角所對的

5、直角邊等于斜邊的一半）求得AP的長了解法2：過點A作ADPB交PB的延長線于D，PBA=120°，ABD=60°PAB=30°，P =30°在RtABD中，sin60°,AD=ABsin60°= 4×sin60°=在RtAPD中，ADP=90°，P=30°,AP= 2AD=即該船與觀測站之間的距離為km思路三：過點P作高線【名師指路】過點P作PDAB交AB的延長線于D，得到兩RtPDB和RtPDA），這兩個直角三角形有公共邊PD, 已知條件AB=4并不是這兩個直角三角形的邊，因此并不能直接利用三

6、角函數(shù)求得，此時需設未知數(shù)利用方程求解.設哪條邊為x呢？這又有幾種不同的方向.設PD為x或設AP為x或設BD為x都可以的，但對于這道題來說，設PD為x比較簡單.接下來分別在RtBPD、RtAPD中含x的代數(shù)式表示出BD,AD，由AD-BD=AB得方程，解出x的值后，在RtADP中用三角函數(shù)（或用直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）求得AP的長即可解法3（通法）：過點P作PDAB交AB的延長線于D，PBA=120°，PBD=60°設PD為x在RtBPD中,tan60°,BD；在RtAPD中, tan30°，AD=得方程4,解得x=.A

7、P=2PD =即該船與觀測站之間的距離為km【名師指路】還是有些繁瑣，有沒有更簡潔的方法呢？AB不是這兩個直角三角形的邊，能不能轉化成直角三角形的邊呢？前面我們得到ABP是等腰三角形，通過BP=AB=4，順利實現(xiàn)了轉化就可以直接求解了解法4（簡單解法）：PBA=120°，PBD=60°PAB=30°，P =30°PAB=P BP=AB=4在RtBPD中，PD=BPsin60°=4×sin60°=在RtAPD中，AP=2PD =即該船與觀測站之間的距離為km【名師指路】這種利用等腰三角形求解的方法是這道題最簡單的解法需要說明的

8、是，并不是所有這樣的題都可以找到等腰三角形，只有題中出現(xiàn)30°角，60°角時，等腰三角形才可能出現(xiàn)的解后反思通過以上例題，可以看出解決這類問題要掌握轉化的思想方法解題時一般有以下四個步驟：1把實際問題轉化為數(shù)學模型，畫出圖形，并將已知條件轉化為圖中的邊、角 或它們之間的關系；2若沒有現(xiàn)成的直角三角形，可通過作高線產(chǎn)生直角三角形； 3.若條件中給出的是直角三角形的邊，利用三角函數(shù)直接求解；若給出的不是直角三角形的邊，一般列方程求解；若題中有30°，60°角，利用里面的等腰三角形求解會更便捷；4.檢驗所求出的解是否合理我們可用下面的順口溜來記憶：實際轉化為模

9、型，沒有直角作出高； 給出Rt的邊，三角函數(shù)直接套；不是Rt的邊，列出方程來搭橋； 找出等腰三角形，解題快速又高效解題高手1.如圖，一艘核潛艇在海面下500米A點處測得俯角為30°正前方的海底有黑匣子信號發(fā)出，繼續(xù)在同一深度直線航行3000米后，再次在B點處測得俯角為60°正前方的海底有黑匣子信號發(fā)出，求海底黑匣子C點處距離海面的深度？（保留根號）提示：本題沒有直角三角形，需作高線，因為所求為黑匣子距離海面的深度，所以過點C 作CFAB，交AB的延長線于E點，并交海面于F點，則CF即為所求深度然后得到下面兩種解法：（1）由題中的角度易證BAC=BCA，所以有BA=BC然后在

10、RtBCE中，利用正弦函數(shù)求出CE，最后再加上線段EF的長度即可；（2）設CE為x，分別在RtBCE、RtACE中表示出BE,AE，由AE-BE=3000得方程解出就行了解法：過點C 作CFAB，交AB的延長線于E點，并交海面于F點BAC=30°，EBC=60°，BCA=EBC-BAC=30°BAC=BCABC=BA=3000在RtBCE中，EC=BCsin60°=3000×=CF=CE+EF=+500（米）答：海底黑匣子C點處距離海面的深度約為（+500）米解法：過點C 作CFAB，交AB的延長線于E點，并交海面于F點設CE為x，在RtBCE

11、中，BE=ECtan60°=xRtACE中AE= ECtan30°=3000,解得x=CF=CE+EF=+500答：海底黑匣子C點處距離海面的深度約為（+500）米2.（2013高淳縣二模）如圖，某時刻飛機A、B處于同一高度，此時從地面雷達C測得飛機A的仰角DCA=40°，與雷達C的距離CA=90千米；測得飛機B的仰角DCB=35°，與雷達C的距離CB=100千米則此時飛機A、B相距多少千米？（精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：cos40°=0.77，sin40°=0.64，cos35°=0.82，sin35°=0.5

12、7）提示：（1）過點C作CMBA交BA的延長線于點M，分別在RtBMC、RtAMC中求出BM、AM， 用BM-AM即得AB(2) 過點A作AMCD于點M，過B作BNCD于點N在RtAMC、RtBNC中求出CM、CN,再利用矩形得AB=MN 解法1圖 解法2圖解法1：過點C作CMBA交BA的延長線于點MA、B處于同一高度，ABCDMBC=DCB=35°, MAC=DCA=40°在RtBMC中，cosMBC=，BM=100×cos35°=82在RtAMC中，cosMAC =，AM=90×cos40°=69.3AB=BM-AM=12.7即此

13、時飛機A、B相距12.7千米解法2：過點A作AMCD于點M，過B作BNCD于點N在RtAMC中，cosMCA=，CM=90×cos40°=69.3在RtBNC中，cosNCB=，CN=100×cos35°=82MN=CN-CM=12.7由已知，AM=BN，AMCD，BNCDAMNB為矩形AB=MN=12.7即此時飛機A、B相距12.7千米 3.（2014鄂州）小方與同學一起去郊游，看到一棵大樹斜靠在一小土坡上，他想知道樹有多長，于是他借來測角儀和卷尺如圖，他在點C處測得樹AB頂端A的仰角為30°，沿著CB方向向大樹行進10米到達點D，測得樹AB

14、頂端A的仰角為45°，又測得樹AB傾斜角1=75°（1）求AD的長；（2）求樹長AB提示：（1）過點A作AECB交CB延長線于點E，得到三個直角三角形，但RtABE中的75°角并不是特殊角，所以不能用RtABE求解，因此設AE=x，在RtACE、RtADE中分別表示出CE、DE，再由CD=10，可得方程，解出x的值，在RtADE中可求出AD；（2）因75°角并不是特殊角，故仍不能用RtABE求解，需重新構建含AB邊的直角三角形，為此過點B作BFAC于點F，設BF=y，在RtCBF、RtBFA中分別表示出CF、AF，用CF+AF=AC=2AE列出方程，解出y的值后，在RtABF中可求出AB的長度解：（1）過點A作AECB交CB延長線于點E，設AE=x，在RtACE中，C=30&#