線性代數(shù)在通信中的應(yīng)用實(shí)例分析

1、線性代數(shù)在通信中的應(yīng)用實(shí)例分析（西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，西安710126）摘要從理論與實(shí)踐相結(jié)合的角度論述了線性代數(shù)在保密通信中的應(yīng)用及其存在的問(wèn)題與計(jì)謀等。1基于線性代數(shù)的保密通信模型加密保密通信發(fā)送方采納某種算法將明文數(shù)據(jù)加密轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)后發(fā)送給接收方，接收方那么能夠采納相對(duì)應(yīng)的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密轉(zhuǎn)換成明文數(shù)據(jù)。線性代數(shù)的應(yīng)用顯然一種加密技術(shù)是不是有效，關(guān)鍵在于是密文可否還原成明文。設(shè)有矩陣方程C=AB,其中B為未知矩陣.咱們明白，若是A為可逆矩陣,那么方程有唯一解B=A人-1=C,其中A-1是A的逆矩陣。因此，可逆矩陣能夠有效地應(yīng)用于加密技術(shù).設(shè)A為可逆矩陣，B為明文矩陣，C

2、為密文矩陣.1.2.1加密算法加密時(shí)，采納下面的矩陣乘法：C=BA«£C=ABo例如，設(shè)加密密鑰矩陣A為3-20-T02211-2-3-2<0121,明文矩陣B為'32114'252154-34-26,12337,那么密文矩陣C等于飛-20-P32114、，4-6-4-2-5、022125215136151291-2-3-24-34-26-15-3-21-1-38121>2337)113024,1.2.2解密算法解密時(shí)，采納下面的矩陣乘法：B=CAA-1或B=A人-1C其中，A人-1為A的逆矩陣.例如，針對(duì)上面的加密密鑰矩陣A,解密密鑰矩陣八人-

3、1為若是密文矩陣C為'1 1-2-4、010-1-1 -136<21-6-io>(1 78 96、5766913212J2111,那么相應(yīng)的明文矩陣B應(yīng)等于7896、飛0676694553212-37-22111;1 3-17097 '58-6 -38 -1>2密鑰的生成如何快速而有效地構(gòu)造一個(gè)可逆矩陣作為加密密鑰和求出其逆矩陣作為解密密鑰是利用可逆矩陣實(shí)現(xiàn)保密通信的關(guān)鍵.加密密鑰的生成初等矩陣都是可逆的，而且初等矩陣的乘積仍然是可逆的.因此，咱們能夠考慮利用假設(shè)干個(gè)初等矩陣的乘積作為加密密鑰.這種做法的益處是，咱們能夠自由地選擇初等矩陣的數(shù)量和每一個(gè)初等矩陣

4、的類型，和由單位矩陣取得初等矩陣的具體初等變換.在實(shí)際應(yīng)用中，能夠通過(guò)對(duì)單位矩陣持續(xù)施加一序列所選擇的初等變換取得加密矩陣.解密密鑰的生成設(shè)A=PIP2P3Pn,其中只是初等矩陣，那么A人1二Pn八-1P3人-1P2人-1P1人-1,設(shè)Pi對(duì)單位矩陣】做初等變換K取得的初等矩陣，那么只需對(duì)單位矩陣I做K的逆變換即可取得P"-l.顯然，在實(shí)際應(yīng)用，生成解密密鑰只需要再次利用生成加密密鑰時(shí)的變換矩陣對(duì)單位矩陣做一序列的初等逆變換即可.3其它問(wèn)題除密鑰矩陣的生成這一大體問(wèn)題之外，在利用可逆矩陣實(shí)現(xiàn)保密通信時(shí)，還有一些問(wèn)題值得咱們探討.明文矩陣的選擇若是明文矩陣B為方陣，那么當(dāng)B為可逆矩陣時(shí)

5、有：A=BA-1C<A=CBA-1,其中B'l為B的逆矩陣.因此，若是竊密者以某種方式竊取到一對(duì)明文和相應(yīng)的密文，可巧其中的明文矩陣可逆，那么竊密者能夠輕而易舉地破解密文.鑒于以上考慮，在實(shí)際應(yīng)歷時(shí)，明文矩陣不要采納方陣.另外，在實(shí)際應(yīng)用中，明文并非老是恰好能夠分成整數(shù)個(gè)矩陣，顯現(xiàn)這種情形時(shí)需要補(bǔ)充一些數(shù)據(jù).補(bǔ)充的數(shù)據(jù)能夠是成心義的，也能夠是無(wú)心義的.有時(shí),咱們能夠利用這些附加數(shù)據(jù)來(lái)達(dá)到某種特殊的成效，比如數(shù)據(jù)的完整性查驗(yàn)等.加密矩陣的選擇設(shè)C=AB,依照矩陣乘法的概念，乘積矩陣C中第i行第j列的元素等于矩陣A中第i行的所有元素與矩陣B中第j列的對(duì)應(yīng)元素之積的累加和.因此，利用可

6、逆矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)保密通信的另一個(gè)問(wèn)題是，若是加密矩陣選擇得不行，密文矩陣的元素長(zhǎng)度會(huì)急劇膨脹.為了幸免顯現(xiàn)這種情形，加密矩陣A最好知足以下條件：對(duì)任意的明文矩陣B,密文矩陣C中的每一個(gè)元素的長(zhǎng)度都不超過(guò)明文矩陣B中對(duì)應(yīng)位置上的元素的長(zhǎng)度.或退而求第二：對(duì)任意的明文矩陣B,密文矩陣C中所有元素的總長(zhǎng)度不超過(guò)明文矩陣B中所有元素的總長(zhǎng)度.若是能找到一個(gè)加密矩陣，使得對(duì)任意的明文矩陣，密文矩陣中所有元素的總長(zhǎng)度在一個(gè)比較理想的程度上小于明文矩陣中所有元素的總長(zhǎng)度，那么這時(shí)的加密算法同時(shí)也是一種較好的緊縮算法.算法優(yōu)化設(shè)加密矩陣A為n階矩陣，明文矩陣B為n階m列矩陣，利用“向量”的有關(guān)知識(shí)，密文矩陣C的第

7、i行(行向量)能夠表示為Ci二Ai1B1+Ai2B2+AmBn,其中Aij(j=l,2，,n)為矩陣A的第i行第j列位置上的元素，而Bn那么為矩陣B的第n行(行向量).顯然，密文矩陣的每一個(gè)行向量都是明文矩陣的所有行向量的一種線性組合，其組合系數(shù)正好是加密矩陣的相應(yīng)行上的所有元素.依照矩陣乘法的概念直接計(jì)算密文矩陣時(shí),計(jì)算密文矩陣的每一個(gè)元素需要做n次乘法和n-1次加法,因此計(jì)算整個(gè)密文矩陣總共需要mnA2次乘法和mn(n-l)次加法.利用上述線性組合關(guān)系來(lái)計(jì)算密文矩陣時(shí)，計(jì)算密文矩陣的每行元素需要做mn次乘法和m(n-l)次加法，因此計(jì)算整個(gè)密文矩陣也總共需要mnA2次乘法和mn(n-l)次加法.可是，若是加密矩陣中含有必然數(shù)量的0元素，那么利用線性組合來(lái)計(jì)算密文矩陣就有較大的優(yōu)勢(shì)