矩形、菱形、正方形

1、初二特優(yōu)生輔導(dǎo)矩形、菱形、正方形【知識(shí)梳理】 姓名_ （一）【知識(shí)結(jié)構(gòu)】 （二）【幾種特殊四邊形的性質(zhì)】邊角對(duì)角線平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相平分矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相平分且相等菱形對(duì)邊平行四邊相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角正方形對(duì)邊平行四邊相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角（三）【幾種特殊四邊形的常用判定方法】平行四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）兩組對(duì)邊分別相等；（3）一組對(duì)邊平行且相等；（4）兩條對(duì)角線互相平分；（5）兩組對(duì)角分別相等。矩形（1）有三個(gè)是直角；（2）是平行四邊形且有

2、一個(gè)角是直角；（3）是平行四邊形且兩條對(duì)角線相等。菱形（1）四條邊都相等；（2）是平行四邊形且有一組鄰邊相等；（3）是平行四邊形且兩條對(duì)角線互相垂直。正方形（1）是矩形，且有一組鄰邊相等；（2）是菱形，且有一個(gè)角是直角。（4） 【幾個(gè)重要結(jié)論】1同底(等底)同高(等高)的三角形面積相等2同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等3菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半或邊長(zhǎng)乘以高4直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半5直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°,那么30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半6. 連接三角形任意兩邊中點(diǎn)所得線段叫三角形中位線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于

3、第三邊的一半二、精典題例巧解點(diǎn)撥例1、（1）對(duì)角線_的平行四邊形是菱形，對(duì)角線_的四邊形是菱形；（2）、對(duì)角線_的平行四邊形是矩形，對(duì)角線_的四邊形是矩形。（3）、對(duì)角線_的平行四邊形是正方形，對(duì)角線_的矩形是正方形，對(duì)角線_的菱形是正方形，對(duì)角線_的四邊形是正方形。(4)、順次連接平行四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是_形，順次連接菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是_形，順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是形，順次連接正方形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是_形.(5)、順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是_形，順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形的四邊中點(diǎn)所得四邊形是_形，順次連接對(duì)角線相等的四邊形的四邊中點(diǎn)所得四邊形是

4、_形，順次連接對(duì)角線互相垂直并且相等的四邊形的四邊中點(diǎn)所得四邊形是_形。3、(1)、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作BPOC，且BP=OC，連接CP，試說(shuō)明：四邊形CODP的形狀并證明你的結(jié)論。（2）、如果題目中的矩形變?yōu)榱庑危ㄈ鐖D），結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？_.(3)、如果題目中的矩形變?yōu)檎叫危ㄈ鐖D），結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？_.如果題目中的矩形變?yōu)榱庑危ㄈ鐖D），結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？_.FEOBACD例2.在矩形ABCD中DF平分ADC，交AC于E，交BC于F，BDF=15°，求COF的度數(shù)。例3、如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AB、B

5、C邊上的中點(diǎn), 則MP+NP的最小值是_練習(xí)：(1).如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BAD=60°，點(diǎn)M是AB邊上的中點(diǎn)，求MP+BP的最小值是_.（2）、如圖，G是矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，BG=DG ,P 是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，PEBG于E，PFAD于F。求證：PE+PF=AB例4、如圖，P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC于E，PFDC于F，連接EF。求證：（1）AP=EF （2）APEF跟蹤練習(xí)：1、（2004黑龍江）已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN最小值為_(kāi).2、如圖，正方形A

6、BCD中，E是AD中點(diǎn)，EC交BD于F,與EB交于G。求證：AFBE3.如圖，E是已知正方形ABCD的BC邊沿長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交DC于H，交BD于F，G是HE的中點(diǎn)。連接FC、GC。求證：FCGC例5：已知，ABC中，點(diǎn)O是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC，MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F。CBEODNFAM（1）求證：EO=FO。（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？證明你的結(jié)論。練習(xí)：如圖，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD，等邊ACE、等邊BCF(1)試說(shuō)明：四邊形DAEF是平行四邊形；(2)探究下列問(wèn)題：(只填滿足的條件

7、，不需證明)當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在例6.如圖：ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=12cm，AC=6cm，點(diǎn)E在線段BO上從點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段OD上從點(diǎn)O以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).（1）若點(diǎn)E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形.（2）在（1）的條件下，當(dāng)AB為何值時(shí)，四邊形AECF是菱形；四邊形AECF可以是矩形嗎？為什么？例7（2010河南）（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將ABE沿BE

8、折疊后得到GBE，且點(diǎn)G在舉行ABCD內(nèi)部小明將BG延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說(shuō)明理由（2）問(wèn)題解決保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求的值；（3）類比探求保持（1）中條件不變，若DC=nDF，求的值例8、已知，正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N。當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，（如圖1），易證BM+DN=MN;(1) 當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，（如圖2），線段BM、DN、MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想并證明。1. ）（3）DNCMBA）(2)M）C）D）N）A）B）（1）

9、DNCMBA）(2) 當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3時(shí)，線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想?！井?dāng)堂檢測(cè)】一、填空、選擇1矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)為P，且DPC為直角，則AD：BA2已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于O點(diǎn)，AOB=2BOC，AC=18cm，則AD=cm.3.矩形的邊長(zhǎng)為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角平分線分長(zhǎng)邊為兩部分，這兩部分為_(kāi).4菱形ABCD中，BAD=120°，AB=10cm，則AC=_cm5若一條對(duì)角線平分平行四邊形的一組對(duì)角，且一邊長(zhǎng)為a時(shí)，周長(zhǎng)為_(kāi)6若菱形的兩條對(duì)角線的比為3：4，且周長(zhǎng)為20cm，它的一組對(duì)邊的距離為2.

10、4cm，它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為_(kāi)7.如圖,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對(duì)角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是_.8已知正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4cm，則它的面積是_cm28.E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CECA，AE交CD于F，則AFC _ .9.如圖是一塊矩形ABCD的場(chǎng)地，長(zhǎng)AB=102 m，寬AD=51 m，從A、B兩處入口的中路寬都為1 m，兩小路會(huì)合處路寬為2 m，其余部分為草坪，則草坪面積為_(kāi)10.下列說(shuō)法中正確的是( )A.一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B.四個(gè)角都相等的四邊形是矩形C.菱形的對(duì)角線相等且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角D

11、.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形11.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是( )A.對(duì)角線互相平分 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相平分且相等 D.對(duì)角線互相垂直二、解答題：11（北京市競(jìng)賽題）、將邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD折疊，使得A點(diǎn)落在邊CD上的E點(diǎn)，然后壓平得折痕FG，若FG的長(zhǎng)為13，求線段CE的長(zhǎng)。FABDECGH課后作業(yè)姓名_1.等邊AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，則B的度數(shù)是_.2.正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在、上，BAE30°,DAF15°, 則AEF的面積為_(kāi).a123S4S1S2S33、（2010 菏澤）如圖，在直

12、線a上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放的三個(gè)正方形的面積分別為1、2、3。則。4(重慶市競(jìng)賽題)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P為AB上的動(dòng)點(diǎn)，PEAC于E，PFBD于F，求：PE+PF=_.5、如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AD、AB邊上的中點(diǎn)，CE、DF交于G，連結(jié)BG。求證：BG=B C6、如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，E是BC邊上一點(diǎn)，連接FD、FE。若AE=DF。求證：EFC是等腰直角三角形。7. 在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=12，BD=16，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，若POE為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)P共有_個(gè)8. 如圖, 正方形 ABCO放