GPS高程擬合模型誤差的最小二乘配置補(bǔ)償

1、GPS高程擬合模型誤差的最小二乘配置補(bǔ)償李沖季靈運(yùn)張冬菊(長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪工程學(xué)院西安710054)摘要：運(yùn)用常規(guī)的擬合模型求解大范圍高程異常必然存在較大的模型誤差，鑒于模型誤差的不確定性，可以將模型誤差看作信號(hào)采用最小二乘配置法來處理，本文給出了具體模型和計(jì)算方法，并對(duì)一個(gè)大測(cè)區(qū)的GPSK準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行解算，獲得了滿意的結(jié)果。最后通過算例分析了先驗(yàn)中誤差對(duì)模型精度的影響。關(guān)鍵詞：高程異常模型誤差最小二乘配置信號(hào)協(xié)方差1引言GPS測(cè)量已廣泛應(yīng)用于實(shí)踐，采用GPS技術(shù)進(jìn)行控制網(wǎng)觀測(cè)，可達(dá)到優(yōu)于12Ppm的基線精度，轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)，可得到高精度的大地高。但我國(guó)用的高程系統(tǒng)是基于似大地水準(zhǔn)面的正常高系

2、統(tǒng)。因此，如何求取高精度的高程異常成為GPS代替?zhèn)鹘y(tǒng)水準(zhǔn)的關(guān)鍵。目前常用的方法有多項(xiàng)式擬合法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，樣條函數(shù)法，移去恢復(fù)法等。多項(xiàng)式擬合法具有程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，直觀，易操作等優(yōu)點(diǎn)。但是由于其沒有顧及到似大地水準(zhǔn)面的物理性質(zhì)，擬合函數(shù)始終只能是高程異常的趨勢(shì)面，與高程異常的實(shí)際值必然會(huì)有一定差異，由于似大地水準(zhǔn)面是一個(gè)非常復(fù)雜且不規(guī)則的曲面，這種差異可以解釋為擬合模型的不準(zhǔn)確造成，理論上講，由于地殼的不均衡和地形起伏的影響，擬合模型在不同點(diǎn)的高程異常擬合誤差可以看作是隨機(jī)函數(shù)，即所謂的信號(hào)，采用最小二乘配置法來處理。2最小二乘配置原理2.1 數(shù)學(xué)模型L=AX+BY+V(1)(X為系統(tǒng)性參數(shù)，丫

3、為隨機(jī)性參數(shù))E(V)=0,£v=E(VVT)E(Y)=0£Y=EYTY)(2)(3)、L=B'yBT二；2.2 估值公式V=AX?BY?-LVTPM+Y?tfyy?=MIN(4)構(gòu)造極值函數(shù)12V=VTP/V+?YTYPY2TK?AX?B,LV(5)令抻=2VTPV-2KT=0有.:V_1，、V=P&K(6)?EpP丫+2KTB=0有yY?=-fy、tk(7)-=2KTA=0(8)(6),(7),(8)式結(jié)合(3)式得tT1T/=(APlA)APlL(9)Y?=Py，BTPL(L-AX?)(10)V=_PaXPl(L-AX?)(11)顧及221D.=；：.

4、-0QaP一221Dy=C-°Qyy=APy一TDL=BDYB-D.得計(jì)算X,Y平差值得實(shí)用公式：父TAT(BDyBT+Dd，A/T(BDyBT(12)=DyBT(BDyBT+D1工(L_A*)(13)3協(xié)方差函數(shù)的確定由(12),(13)式可以看出，求解X?,Y?的關(guān)鍵是確定Dy。嚴(yán)格來說，協(xié)方差陣各元素應(yīng)該通過大量觀測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得出。介于實(shí)際條件的限制，這不可能實(shí)現(xiàn)。通常采用協(xié)方差函數(shù)來確定。使用比較廣泛的有高斯函數(shù)f=b0e*23(d為兩點(diǎn)之間的距離，b0,k為參數(shù))。由于經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)不具有物理意義且其參數(shù)的選取還沒有成熟的理論依據(jù)。本文的思想是將配置模型中的信號(hào)看作與模型誤

5、差有關(guān)的量，由于Y是隨機(jī)性參數(shù)，其主要作用是將高程異常趨勢(shì)面與實(shí)際高程異常的差異作為信號(hào)參與模型平差，而模型誤差產(chǎn)生原因未知，但其主要反映的也是擬合高程異常趨勢(shì)面與實(shí)際高程異常的差異，所以當(dāng)模型誤差存在時(shí)可以近似的認(rèn)為Dy=kD&4k=<?02/tT02表1gps測(cè)區(qū)數(shù)據(jù)點(diǎn)號(hào)X)坐標(biāo)(Y)高程異常點(diǎn)號(hào)坐標(biāo)(X)Y高程異常GZ013898355.158503545.680-9.889GZ133896869.951502721.508-9.920GZ023897853.977503127.228-9.909GZ143897504.722503382.053-9.904GZ033897

6、430.090502766.579-9.867GZ153898421.693504078.446-9.812GZ043897108.797502474.698-9.885GZ163896942.654503224.419-9.797GZ053896787.254502196.288-9.891GZ173897933.797504234.854-9.840GZ063896762.544504972.870-9.905GZ183897658.140504004.216-9.881GZ073896809.491504234.074-9.968GZ193897240.237503526.748-9.9

7、14GZ083896648.477503835.243-9.986GZ203896805.849503073.362-9.942GZ093896374.216503364.758-10.013GZ213896637.104502950.636-9.975GZ103895917.833503242.197-10.081GZ223896374.865502658.821-9.985GZ113896265.768502757.228-10.046GZ233896398.945503098.644-10.055GZ123896436.015502411.624-9.865GZ243896786.061

8、503357.630-9.952GZ253898391.822504597.136-9.9684算例某地區(qū)的GPS網(wǎng)共有25個(gè)GPS點(diǎn)，全部聯(lián)測(cè)三等水準(zhǔn)，表1列出了所有GPS點(diǎn)的平面位置和計(jì)算所的高程異常。、二=0.01m由于本地區(qū)地勢(shì)比較平坦，故采用平面擬合法。1)采用常規(guī)平面擬合時(shí)，其模型為二a0axa?y米用最小：乘法得：采用最小二乘法得：a0=-286.20148;a1=0.00007396;a2=-0.00002376。其模型為：L=BX-S.-：(X=a。，a1,azT)由此求得的擬合殘差及中誤差見表2表2常規(guī)擬合殘差表點(diǎn)號(hào)殘差(m)點(diǎn)號(hào)殘差(m)點(diǎn)號(hào)殘差(m)點(diǎn)號(hào)殘差(m)擬合中

9、誤差(m)GZ010.050GZ080.013GZ15-0.035GZ220.02c?=0.058GZ020.042GZ090.031GZ16-0.139GZ230.082GZ03-0.022GZ100.069GZ17-0.047GZ240.001GZ04-0.021GZ110.071GZ18-0.021GZ250.106GZ05-0.032GZ12-0.089GZ19-0.007GZ06-0.086GZ13-0.01GZ20-0.001GZ07-0.002GZ140.006GZ210.0232)將模型誤差看作隨機(jī)函數(shù)的最小二乘配置法顧及下列三式及(12)、(13)式Ds=KD.K=?02/二

10、0222D1二00P-；0I解得a0=-286.2015a1=0.00007a2=-0.000024擬合殘差、中誤差及信號(hào)值見表3。表3最小乘配置擬合結(jié)果點(diǎn)號(hào)信號(hào)S殘差(m)點(diǎn)號(hào)信號(hào)S殘差(m)點(diǎn)號(hào)S信號(hào)S殘差GZ01-0.0480.001GZ10-0.0670.002GZ190.0070.000GZ02-0.0410.001GZ11-0.0690.002GZ200.0010.000GZ030.022-0.001GZ120.087-0.003GZ21-0.0220.001GZ040.021-0.001GZ130.009-0.0003GZ22-0.0190.001GZ050.031-0.001G

11、Z14-0.0050.0002GZ23-0.0790.002GZ060.084-0.003GZ150.034-0.001GZ24-0.0010.000GZ070.0020.0002GZ160.135-0.004GZ25-0.1030.003GZ08-0.0130.0004GZ170.046-0.001GZ09-0.030.001GZ180.020-0.001擬合中誤差(m):二？=0.0017m3）兩種方法的殘差比較圖如下:由上表3及殘差比較圖可看出，將模型誤差看作信號(hào)的最小二乘配置法解算的結(jié)果非常理想。擬合殘差最大僅4mm,很多點(diǎn)的擬合殘差都不足1mm。擬合中誤差不到2mm。而系統(tǒng)性參數(shù)的解

12、算結(jié)果沒有多大變化，這說明模型誤差被大幅度削減。4）考慮到本地區(qū)的高程異常數(shù)據(jù)先驗(yàn)中誤差比較小，為了找出起始誤差對(duì)本模型的影響，人為的令先驗(yàn)中誤差分別為m1=0.03m,m2=0.05m,m3=0.08m進(jìn)行解算。發(fā)現(xiàn)擬合系數(shù)基本沒有變化，擬合中誤差分別為RQIZm,ff2=0.025m,。3=0.038m,擬合殘差圖見下圖。殘差比較圖0151r11-02111110510152025點(diǎn)號(hào)從擬合中誤差及上面殘差比較圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)先驗(yàn)中誤差越大時(shí)，擬合效果越差，但仍比常規(guī)擬合模型效果要好。5結(jié)論1）由以上算例可知，即使比較平坦的地區(qū)，運(yùn)用常規(guī)的平面擬合模型仍會(huì)含有較大模型誤差。運(yùn)用最小二乘配置法處理后，其解算精度大幅度提高。最小二乘配置模型中信號(hào)的協(xié)方差陣的確定是關(guān)鍵問題，將模型誤差視作信號(hào)，使用D仔&2/所2)*D人來確定信號(hào)的協(xié)方差函數(shù)方法，計(jì)算簡(jiǎn)口一'0'0/便，經(jīng)算例驗(yàn)證，獲得了滿意的結(jié)果。2)隨著擬合數(shù)據(jù)先驗(yàn)中誤差的增大，最小二乘配置模型的解算精度逐漸降低，但仍優(yōu)于常規(guī)模型。當(dāng)先驗(yàn)中誤差小于5個(gè)厘米時(shí)，其解算精度很高。目前應(yīng)用GPS方法解算大地高的精度已經(jīng)可以輕松達(dá)到厘米級(jí)，條件好時(shí)可以達(dá)到毫米級(jí)，這說明運(yùn)用最小