無窮級數(shù)習(xí)題及答案

1、word第十一章 無窮級數(shù)(A)用定義判斷以下級數(shù)的斂散性1 ；2；3。判斷以下正項級數(shù)的斂散性4；5；6；7；8；9；10。求以下任意項級數(shù)的斂散性，收斂時要說明條件收斂或絕對收斂11；12；13；14；求以下冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間15；16；17；18；19；20；求以下級數(shù)的和函數(shù)21；22；將以下函數(shù)展開成的冪的級數(shù)23，；24，；25，；26，；將以下函數(shù)在區(qū)間上展開為付里葉級數(shù)27，。28，29將函數(shù)展開成付里葉級數(shù)。30將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。(B)用定義判斷以下級數(shù)的斂散性1；2；3；判斷以下正項級數(shù)的斂散性4；5；6，()；7，其中()，均為正數(shù)；8，()；9

2、；判斷以下任意項級數(shù)的斂散性，收斂時要說明條件收斂或絕對收斂10；11；12；求以下冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域13；14，(,)；15；16；求以下級數(shù)的和函數(shù)17；18；19；20求證：；將以下函數(shù)展開成的冪的級數(shù)21，；22，；23，；24證明偶函數(shù)的付里葉級數(shù)數(shù)僅含余弦項；25寫出函數(shù)，的付里葉級數(shù)，并討論收斂情況。26設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為，將展開成付里葉級數(shù)。27將函數(shù)，()分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。(C)1用定義判斷以下級數(shù)的斂散性2設(shè)，判斷級數(shù)的斂散性。判斷以下正項級數(shù)的斂散性3；4；5；6判斷級數(shù)的斂散性。求以下冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間7；8；求以下級數(shù)的和

3、910展開為冪級數(shù)，并推出。11求級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。12設(shè)函數(shù)，試分別將展成為以為周期的區(qū)弦級數(shù)和余弦級數(shù)。13將周期函數(shù)，展為付氏級數(shù)，并據(jù)此求周期函數(shù)，的付氏級數(shù)，求下面級數(shù)。第十一章 無窮級數(shù)(A)1解：，(),原級數(shù)發(fā)散。2解：，()，原級數(shù)收斂且和為。3解： ，()，原級數(shù)收斂且和為。4解：，由比值判別法知原級數(shù)發(fā)散。5解：，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。6解：，原級數(shù)發(fā)散。7解：，而發(fā)散，由比擬判別法知原級數(shù)發(fā)散。8解：，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。9解：，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。10解：，而，故，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。11解：，由正項級數(shù)的比值判別可知，此級數(shù)收斂，

4、故原級數(shù)絕對收斂。12解：，而發(fā)散，故發(fā)散。因此原級數(shù)非絕對收斂，又，顯然，且，故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂。13解：，原級數(shù)發(fā)散。14解：此為交錯級數(shù)，()而級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂，顯然單調(diào)遞減且趨向于零，故原級數(shù)條件收斂。15解：，當(dāng)時，級數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時，級數(shù)為收斂。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。16解：，收斂區(qū)間為。17解：，。18解：，。故當(dāng)，即時收斂，當(dāng)或時發(fā)散，當(dāng)時，級數(shù)為，收斂；當(dāng)時，級數(shù)為，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。19解：，當(dāng)時，即時收斂，當(dāng)，即或時發(fā)散，。當(dāng)時原級數(shù)為，發(fā)散，故收斂區(qū)間為。20解：，當(dāng)時，原級數(shù)，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。21解：設(shè)，。22解：設(shè)，那么 ，即

5、，。23解：，。24解： ，。25解：， 。26解：，即27解：為偶函數(shù)， ，令，得，且在上連續(xù)，。28解：由于是奇函數(shù)，故， 。29解： ，時，。 時， ，所以除上均成立。30解：1正弦級數(shù)，注意到，作奇延拓，使在上恒有。再將周期延拓得，是一個以為周期的連續(xù)函數(shù)，計算付氏系數(shù)如下：，() ,.2)余弦函數(shù)作偶延拓設(shè)，使在上恒有。再將周期延拓得，是一個以為周期的連續(xù)函數(shù)，計算付氏系數(shù)如下： ,.(B)1解：, ，原級數(shù)收斂且和為。2解：，原級數(shù)收斂且和為。3解：，原級數(shù)收斂且和為。4解：，由比值判別法知原級數(shù)收斂。5解：，由根值判別法知原級數(shù)收斂。6解：當(dāng)充分大時有，而，故，由根值判別法知原級

6、數(shù)收斂。7解：，當(dāng)，即 時，原級數(shù)收斂；，即 ，原級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時不定。8解：當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時，()，而收斂，級數(shù)發(fā)散。9解：，收斂，由比擬判別法知級數(shù)收斂。10解：，故也發(fā)散，故也非條件收斂。11解：，而發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂，原級數(shù)為交錯級數(shù)，顯然數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于零，故由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)條件收斂。12解：，而發(fā)散，發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂。記原級數(shù)為為交錯級數(shù)，又，即，故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂。13解：，故對，原級數(shù)收斂，所以收斂半徑為，收斂區(qū)間為。14，當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為，其中。15解：，當(dāng)，即時，原級數(shù)收斂，當(dāng)，即或時，

7、原級數(shù)發(fā)散，當(dāng)，原級數(shù)收斂，當(dāng)時原級數(shù)也收斂。故原級數(shù)收斂半徑為2，收斂區(qū)間為。16解：，當(dāng)，即，原級數(shù)收斂。當(dāng)時，原級數(shù)收斂，當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。17解：，但 ，故有，。18解：，而 ，。19解：， ，故，。20證明：考慮級數(shù)，逐項微分得：，。，取，得。21解：， 。，。22解： ，()。23解： ，。25解： ，。由于對，有，所以。因此 以周期的周期函數(shù)，并且顯然只有當(dāng)，時是及 第一類間斷點，所以符合狄利克雷收斂定理的條件，故付氏級數(shù)在處處收斂， ，有。26解：奇函數(shù)，所以。 所以，除均成立，()。27解： 又函數(shù)展成正弦級數(shù)為，又 展開成余弦級數(shù)為，。(C)1解： ,

8、故原級數(shù)收斂，且和為。2證：，由比擬判別法知原正項級數(shù)收斂。3解：，由比值判別法知，原級數(shù)發(fā)散。4解：考慮函數(shù)，由得，易知時的最大值，所以當(dāng)?shù)?，但為收斂的幾何級?shù)，原級數(shù)也收斂。5解：，有；而當(dāng)時，有，當(dāng)時，而級九可判別其是收斂的，原級數(shù)收斂。6解：因為級數(shù) 條件收斂的級數(shù)。設(shè)其局部和數(shù)極限為，那么有，而級數(shù)，取其前項，其和與的局部和相等且為，當(dāng)時，故原級數(shù)收斂且和為。7解：，當(dāng)，即時，收斂；當(dāng)時發(fā)散。故，當(dāng)時，級數(shù)為發(fā)散，故原級數(shù)收斂域為。8解：，由于，而當(dāng)，故；當(dāng)時，原級數(shù)為，由于通項不以零為極限，故發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域為。9解：當(dāng)時，級數(shù)收斂。設(shè)，那么，兩邊積分得：，()；再積分一次 ，()；，即原級數(shù)的和。10解：， 因為當(dāng)時，又當(dāng)時，故展開式對所有的均成