為平均量賦予意義――深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

1、為平均量賦予意義為平均量賦予意義深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)1 1、以往平均量概念教學(xué)的缺憾、以往平均量概念教學(xué)的缺憾2 2、在實際問題中還原各種平均量的意義、在實際問題中還原各種平均量的意義3 3、在數(shù)據(jù)觀察中構(gòu)建平均量的概念、在數(shù)據(jù)觀察中構(gòu)建平均量的概念4 4、應(yīng)用對平均量概念的理解做出解釋、應(yīng)用對平均量概念的理解做出解釋5 5、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)整理、描述、分析并做出決策的過程、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)整理、描述、分析并做出決策的過程6 6、用本原性問題驅(qū)動概念教學(xué)的思想、用本原性問題驅(qū)動概念教學(xué)的思想為平均量賦予意義為平均量賦予意義深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)1 1、

2、以往平均量概念教學(xué)的缺憾、以往平均量概念教學(xué)的缺憾在教材中，表示數(shù)據(jù)平均水平的量（簡稱為平均量）在教材中，表示數(shù)據(jù)平均水平的量（簡稱為平均量）“平均數(shù)、截尾平平均數(shù)、截尾平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)”等統(tǒng)計量分等統(tǒng)計量分2 23 3節(jié)課教學(xué)。節(jié)課教學(xué)。通常的做法是：呈現(xiàn)幾組數(shù)據(jù)通常的做法是：呈現(xiàn)幾組數(shù)據(jù)引出概念的含義引出概念的含義給出概念的文字給出概念的文字定義定義按照定義練習(xí)計算平均量按照定義練習(xí)計算平均量練習(xí)更多題目鞏固計算平均量的練習(xí)更多題目鞏固計算平均量的方法。方法。如何讓學(xué)生在有限教學(xué)時間內(nèi)通過實際問題的驅(qū)動如何讓學(xué)生在有限教學(xué)時間內(nèi)通過實際問題的驅(qū)動來體驗平均量的意義所在

3、？來體驗平均量的意義所在？如何讓學(xué)生通過平均量概念的學(xué)習(xí)理解數(shù)據(jù)統(tǒng)計的如何讓學(xué)生通過平均量概念的學(xué)習(xí)理解數(shù)據(jù)統(tǒng)計的實質(zhì)所在？實質(zhì)所在？問題問題“講概念講概念”、“背概念背概念”、“練概念練概念”中專畢業(yè)的小杰得到兩家公司的普通員工錄用通知書。中專畢業(yè)的小杰得到兩家公司的普通員工錄用通知書。A A公司稱公公司稱公司員工的月平均工資為司員工的月平均工資為20002000多元，多元，B B公司稱員工工資的中等水平為公司稱員工工資的中等水平為18001800元，兩家公司均歡迎小杰的加入。小杰看了之后，認(rèn)為在元，兩家公司均歡迎小杰的加入。小杰看了之后，認(rèn)為在A A公公司工作每個月至少可以比司工作每個月至

4、少可以比B B公司多拿公司多拿200200元，就選擇到元，就選擇到A A公司工作。公司工作。工作一個月后，小杰僅拿到工作一個月后，小杰僅拿到18001800元的工資，并不是他所期望的元的工資，并不是他所期望的20002000多元，于是他找經(jīng)理理論。經(jīng)理說：多元，于是他找經(jīng)理理論。經(jīng)理說：“我們確實每人月平均工資為我們確實每人月平均工資為20002000多元，我沒有說謊。可是你的工資也確實是多元，我沒有說謊。可是你的工資也確實是18001800元，符合我公元，符合我公司大多數(shù)員工的工資水平，不信你可以看我們整個公司的工資收入司大多數(shù)員工的工資水平，不信你可以看我們整個公司的工資收入表表”。職務(wù)職

5、務(wù)總經(jīng)理總經(jīng)理副總經(jīng)理副總經(jīng)理業(yè)務(wù)經(jīng)理業(yè)務(wù)經(jīng)理設(shè)計員設(shè)計員業(yè)務(wù)員業(yè)務(wù)員文秘文秘合計合計人數(shù)人數(shù)1241013333人工資工資700050004000250018001000合計合計700010000160002500023400300084400元問題：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為小杰的工問題：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為小杰的工資應(yīng)該定為多少？資應(yīng)該定為多少？2 2、在實際問題中還原各種平均量的意義、在實際問題中還原各種平均量的意義實際上，這四個表示平均水平的量，實際上，這四個表示平均水平的量，一旦出現(xiàn)在一個具體的決策問題當(dāng)中時，一旦出現(xiàn)在一個具體的決策問題當(dāng)中時，它們所表達的不同意義就會一起涌現(xiàn)，

6、它們所表達的不同意義就會一起涌現(xiàn)，而且在對它們的相互比較中而且在對它們的相互比較中更能體驗每個量所表達的獨特意義。更能體驗每個量所表達的獨特意義。 真實的生活問題果然緊緊吸引了學(xué)生的注意力，學(xué)生們議真實的生活問題果然緊緊吸引了學(xué)生的注意力，學(xué)生們議論紛紛，發(fā)表了各自的想法：論紛紛，發(fā)表了各自的想法：【學(xué)生【學(xué)生1 1】錄取通知書里沒有寫明應(yīng)聘職位，因此小杰只能】錄取通知書里沒有寫明應(yīng)聘職位，因此小杰只能自認(rèn)倒霉自認(rèn)倒霉【學(xué)生【學(xué)生2 2】既然說平均工資為】既然說平均工資為20002000多元，而且錄用通知書上多元，而且錄用通知書上也沒有說明應(yīng)聘的職位，那么就應(yīng)該按照平均工資也沒有說明應(yīng)聘的職位

7、，那么就應(yīng)該按照平均工資25582558元元發(fā)給小杰（平均數(shù)）發(fā)給小杰（平均數(shù)）【學(xué)生【學(xué)生3 3】就應(yīng)該拿】就應(yīng)該拿18001800元這個老板發(fā)的工資，因為元這個老板發(fā)的工資，因為“在這在這張表格中可以看到公司里一共有張表格中可以看到公司里一共有3333個人，但是其中個人，但是其中1313個人個人的工資都是的工資都是18001800元，那么就可以用很多人的工資水平元，那么就可以用很多人的工資水平18001800元來代表這個公司的平均工資元來代表這個公司的平均工資”（眾數(shù)思路）（眾數(shù)思路）【學(xué)生【學(xué)生4 4】老板給小杰】老板給小杰18001800元是正常的，因為既然是平均工元是正常的，因為既然

8、是平均工資，那么就說明了工資有高有低，小杰既然不是老板，那資，那么就說明了工資有高有低，小杰既然不是老板，那么拿低工資是很正常的，小杰應(yīng)該有這樣的生活常識么拿低工資是很正常的，小杰應(yīng)該有這樣的生活常識【學(xué)生【學(xué)生5 5】“從這張表格中我們可以看到總經(jīng)理的工資相對從這張表格中我們可以看到總經(jīng)理的工資相對較高，他一個人的工資對平均工資的影響很大，如果這樣較高，他一個人的工資對平均工資的影響很大，如果這樣覺得多給了小杰，那么可以將最高工資和最低工資去掉，覺得多給了小杰，那么可以將最高工資和最低工資去掉，算出這樣的平均數(shù)后，按照這個平均數(shù)發(fā)給小杰算出這樣的平均數(shù)后，按照這個平均數(shù)發(fā)給小杰”（截尾（截尾

9、平均數(shù)思路）平均數(shù)思路）【學(xué)生【學(xué)生6 6】應(yīng)該拿】應(yīng)該拿25002500元，因為工資的中間值是元，因為工資的中間值是25002500元（中元（中位數(shù)思路），而且接近平均數(shù)，小杰應(yīng)該用上面大家的觀位數(shù)思路），而且接近平均數(shù)，小杰應(yīng)該用上面大家的觀點和老板心平氣和地談。點和老板心平氣和地談。從學(xué)生們發(fā)表的不同的看法中，我們可以看到那從學(xué)生們發(fā)表的不同的看法中，我們可以看到那些表示平均水平的量在實際問題中的樸素面目，些表示平均水平的量在實際問題中的樸素面目，也可以看出不同學(xué)生在使用數(shù)據(jù)時所站的老板或也可以看出不同學(xué)生在使用數(shù)據(jù)時所站的老板或小杰的立場，也可以發(fā)現(xiàn)他們對這個情境所表現(xiàn)小杰的立場，也可

10、以發(fā)現(xiàn)他們對這個情境所表現(xiàn)出的消極或積極態(tài)度。出的消極或積極態(tài)度。3 3、在數(shù)據(jù)觀察中構(gòu)建平均量的概念、在數(shù)據(jù)觀察中構(gòu)建平均量的概念 面對學(xué)生們的各種解釋，老師沒有直接給出評定反而面對學(xué)生們的各種解釋，老師沒有直接給出評定反而在學(xué)生急切想知道答案的心情中讓學(xué)生觀察工作單上在學(xué)生急切想知道答案的心情中讓學(xué)生觀察工作單上的數(shù)據(jù)表，要求學(xué)生通過觀察、思考、討論來理解中的數(shù)據(jù)表，要求學(xué)生通過觀察、思考、討論來理解中位數(shù)、眾數(shù)、截尾平均數(shù)的本質(zhì)含義和計算方法。位數(shù)、眾數(shù)、截尾平均數(shù)的本質(zhì)含義和計算方法。 使用下面給出的每組數(shù)據(jù)，推測平均數(shù)、眾數(shù)、截尾平均數(shù)和中位數(shù)的意義使用下面給出的每組數(shù)據(jù)，推測平均數(shù)

11、、眾數(shù)、截尾平均數(shù)和中位數(shù)的意義A: 2, 5, 12, 10, 16B: 1, 2, 2, 6, 7, 18C: 7, 6, 8, 10, 9, 11D: 1, 20, 5, 8, 1平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：9無無910平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：624.34平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：8.5無無8.58.5平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：714.75E: 8, 6, 7, 8, 9, 10F: 8, 0, 5, 0, 5, 12G:

12、 6, 9, 9, 6, 8, 5, 9, 4H: 3, 15, 21, 9, 18, 12平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：8888平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：50, 54.55平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：797.27平均數(shù)：平均數(shù)：眾數(shù)：眾數(shù)：截尾平均數(shù)：截尾平均數(shù)：中位數(shù)：中位數(shù)：13無無13.513.5數(shù)據(jù)表的重點是眾數(shù)和中位數(shù)概念的構(gòu)建，但隱含的重要目標(biāo)是：數(shù)據(jù)表的重點是眾數(shù)和中位數(shù)概念的構(gòu)建，但隱含的重要目標(biāo)是：通過比較一組數(shù)據(jù)中不同平均量，讓學(xué)生體驗每個平均量所表示的

13、通過比較一組數(shù)據(jù)中不同平均量，讓學(xué)生體驗每個平均量所表示的意義之間的差異；通過比較不同數(shù)據(jù)組之間各種平均量的一致程度，意義之間的差異；通過比較不同數(shù)據(jù)組之間各種平均量的一致程度，理解不同的平均量在不同的數(shù)據(jù)組里表現(xiàn)平均水平的合理性。理解不同的平均量在不同的數(shù)據(jù)組里表現(xiàn)平均水平的合理性。看看學(xué)生如何通過觀察數(shù)據(jù)表逐步構(gòu)建眾數(shù)的概念。沒有眾數(shù)看看學(xué)生如何通過觀察數(shù)據(jù)表逐步構(gòu)建眾數(shù)的概念。沒有眾數(shù)出出現(xiàn)兩次的數(shù)（反駁）現(xiàn)兩次的數(shù)（反駁）出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)可以同時有幾個?？梢酝瑫r有幾個。4 4、應(yīng)用對平均量概念的理解做出解釋、應(yīng)用對平均量概念的理解做出解釋 對于數(shù)據(jù)表所隱含的重要的理解性

14、和體驗性目標(biāo)，教師通過回對于數(shù)據(jù)表所隱含的重要的理解性和體驗性目標(biāo)，教師通過回應(yīng)授課開始的情境問題得到了檢視。應(yīng)授課開始的情境問題得到了檢視。生生1 1：我算出了公司（工資）的平均數(shù)是：我算出了公司（工資）的平均數(shù)是25582558元，也就是平均工資。眾元，也就是平均工資。眾數(shù)也就是多數(shù)人是數(shù)也就是多數(shù)人是18001800元，截尾平均數(shù)是元，截尾平均數(shù)是24652465元，中間工資也就是元，中間工資也就是中位數(shù)是中位數(shù)是25002500元。我認(rèn)為元。我認(rèn)為25002500元比較合理。元比較合理。師：他計算的數(shù)據(jù)你們同意嗎？（齊聲同意）能說說理由嗎？師：他計算的數(shù)據(jù)你們同意嗎？（齊聲同意）能說說

15、理由嗎？生生1 1：我就是感覺眾數(shù)低了些，其它平均水平的量都比較靠近：我就是感覺眾數(shù)低了些，其它平均水平的量都比較靠近25002500元。元。生生2 2：我認(rèn)為如果我是老板，當(dāng)然要以多數(shù)人的：我認(rèn)為如果我是老板，當(dāng)然要以多數(shù)人的18001800元作為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)工資，元作為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)工資，如果我是小杰，當(dāng)然要求發(fā)平均工資的標(biāo)準(zhǔn)如果我是小杰，當(dāng)然要求發(fā)平均工資的標(biāo)準(zhǔn)25582558元。元。生生3 3：哪種更合理很難說，要看站在誰的立場上。比如剛才的數(shù)據(jù)表：哪種更合理很難說，要看站在誰的立場上。比如剛才的數(shù)據(jù)表E E組的各個數(shù)據(jù)好像比較組的各個數(shù)據(jù)好像比較“均勻均勻”，所以平均數(shù)眾數(shù)等四個量都是，所以平均數(shù)

16、眾數(shù)等四個量都是8 8，這樣類型的沒有爭議。象這樣類型的沒有爭議。象C C組，三個量都是組，三個量都是8.58.5也還好說；其中也還好說；其中A A、F F、G G、H H組中有三個量比較接近，好像也能說出個組中有三個量比較接近，好像也能說出個“合理合理”的值也還容的值也還容易，和這個公司的情況差不多。但是象易，和這個公司的情況差不多。但是象B B、D D組類型的數(shù)據(jù)，就不可組類型的數(shù)據(jù)，就不可能說哪個合理了能說哪個合理了所以所以（說不下去了）（說不下去了）師：同學(xué)們的回答很好！現(xiàn)在看來，做出一個判斷不那么容師：同學(xué)們的回答很好！現(xiàn)在看來，做出一個判斷不那么容易。哪個平均量更能代表平均水平與給

17、定的數(shù)據(jù)組本身的易。哪個平均量更能代表平均水平與給定的數(shù)據(jù)組本身的特點有關(guān)系，比如平均數(shù)反映的是總體的平均水平，截尾特點有關(guān)系，比如平均數(shù)反映的是總體的平均水平，截尾平均數(shù)反映的是去掉異常值后的平均水平，眾數(shù)是用大多平均數(shù)反映的是去掉異常值后的平均水平，眾數(shù)是用大多數(shù)人情況代表平均水平，中位數(shù)是用中間值反映平均水平。數(shù)人情況代表平均水平，中位數(shù)是用中間值反映平均水平。所以我們不但要會計算今天學(xué)習(xí)的幾個量，更要學(xué)會從多所以我們不但要會計算今天學(xué)習(xí)的幾個量，更要學(xué)會從多個角度解釋你的計算結(jié)果。個角度解釋你的計算結(jié)果。 這段師生對話充分表明了學(xué)生對于各個平均量的意義、以這段師生對話充分表明了學(xué)生對于

18、各個平均量的意義、以及它們在不同類型數(shù)據(jù)中表達的整體意義的深刻理解。數(shù)及它們在不同類型數(shù)據(jù)中表達的整體意義的深刻理解。數(shù)據(jù)統(tǒng)計中的概念定義不是干癟的教條、也不僅僅是計算的據(jù)統(tǒng)計中的概念定義不是干癟的教條、也不僅僅是計算的公式，而是具有活力的理解數(shù)據(jù)和解釋數(shù)據(jù)的方式。公式，而是具有活力的理解數(shù)據(jù)和解釋數(shù)據(jù)的方式。100%110%120%130%140%150%160%1984年1985年1986年工資（元）利潤（元）5 5、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)整理、描述、分析并做出決策的過、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)整理、描述、分析并做出決策的過程程 在一次跳繩比賽中，全班在一次跳繩比賽中，全班4747名同學(xué)被分成兩組，女生組和

19、男生組。下名同學(xué)被分成兩組，女生組和男生組。下面這張統(tǒng)計表分別記錄了兩組同學(xué)的一分鐘跳繩成績。面這張統(tǒng)計表分別記錄了兩組同學(xué)的一分鐘跳繩成績。如果請你做裁判，如果請你做裁判，你會宣布是男生還是女生的跳繩水平好一些？你會宣布是男生還是女生的跳繩水平好一些？和全班同學(xué)交流一下你的和全班同學(xué)交流一下你的理由。理由。 組別組別跳繩成績跳繩成績女生組女生組（21人）人）92，40，91，138，87，43，118，92，51，55，132，63，70，79，82，85，92，91，91，131，88男生組男生組（26人）人）117，70，67，112，74，38，89，106，62，90，92， 78，

20、94，75，88，76，85，81，96，92， 108，92，112，92，67，70女生組平均數(shù)女生組平均數(shù)86.286.2、截尾平均數(shù)、截尾平均數(shù)85.985.9、眾數(shù)、眾數(shù)9191和和9292、中位數(shù)、中位數(shù)8888；男生組平均數(shù)男生組平均數(shù)85.585.5、截尾平均數(shù)、截尾平均數(shù)86.286.2、眾數(shù)、眾數(shù)9292、中位數(shù)、中位數(shù)88.588.5。 在平均量被賦予有意義的理解后，教師又呈現(xiàn)了一個情境在平均量被賦予有意義的理解后，教師又呈現(xiàn)了一個情境問題，要求學(xué)生做出判斷，實際是對所學(xué)平均量的應(yīng)用，目的問題，要求學(xué)生做出判斷，實際是對所學(xué)平均量的應(yīng)用，目的是讓學(xué)生完整經(jīng)歷一次數(shù)據(jù)整理、描述、計算并做出判斷分析是讓學(xué)生完整經(jīng)歷一次數(shù)據(jù)整理、描述、計算并做出判斷分析的過程的過程而這正是統(tǒng)計學(xué)的基本思想。而這正是統(tǒng)計學(xué)的基本思想。6 6、用本原性問題驅(qū)動概念教學(xué)的思想、用本原性問題驅(qū)動概念教學(xué)的思想“定義（概念）定義（概念）性質(zhì)性質(zhì)定理定理應(yīng)用應(yīng)用”的演繹體系呈現(xiàn)概念，希望的演繹體系呈現(xiàn)概念，希望學(xué)生學(xué)習(xí)概念后再解決問題，這樣的演繹體系雖然有利于學(xué)生知識系統(tǒng)的學(xué)生學(xué)習(xí)概念后再解決問題，這樣的演繹體系