2019北京中考專題復(fù)習(xí)--幾何綜合

1、你的態(tài)度決定你的能力幾何綜合幾何綜合·專題精講Page 7 of 25知識(shí)框架幾何綜合題型一般以基本圖形（正方形、特殊平行四邊形、等邊、等腰、直角三角形等）為載體，考查運(yùn)用圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）分析圖形中基本量之間的數(shù)量關(guān)系的探究過(guò)程。涉及初中數(shù)學(xué)九大幾何模型：1、中點(diǎn)類輔助線2、角平分線、垂直平分線類輔助線3、相似模型4、旋轉(zhuǎn)之手拉手模型5、旋轉(zhuǎn)之對(duì)角互補(bǔ)模型6、旋轉(zhuǎn)之半角模型7、旋轉(zhuǎn)之構(gòu)造等邊三角形8、旋轉(zhuǎn)之費(fèi)馬點(diǎn)模型9、最短距離問(wèn)題解題思路：從復(fù)雜的圖形中“抽”出簡(jiǎn)單圖形，在簡(jiǎn)單圖形中進(jìn)行邏輯推導(dǎo)，應(yīng)用相關(guān)幾何模型，找到解題思路。知識(shí)梳理見中點(diǎn) -倍長(zhǎng)中線：凡是出現(xiàn)中線

2、或類似中線的線段，都可以考慮倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。在 ABC 中 , AD 是 BC 邊中線。方式1：直接倍長(zhǎng)，（圖 1）： 延長(zhǎng) AD 到 E，使DE=AD ，連接BE長(zhǎng) BE 交 AC 于 F，求證：AF=EF例：如圖，ABC 中，E、 F 分別在 AB、 AC 上，DE DF，BE+CF 與 EF的大小 .方式3：平行線間線段有中點(diǎn)D 是中點(diǎn)，試比較例：已知在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 上一點(diǎn)，且BE=AC，延方式2：間接倍長(zhǎng)1） （圖2）作CF AD 于 F，作BE AD 的延長(zhǎng)線于E, 連接 BE2）

3、 （圖3）延長(zhǎng)MD 到 N，使DN=MD ，連接 CD如圖： AD BE， F為 DE 中點(diǎn)?？蓸?gòu)造8字全等 ADFHEF例：如圖，在矩形ABCD 中，BD=BE， F為 DE 中點(diǎn)。試探究AF 與 CF之間的位置關(guān)系。ABCD 中， BC=2AB ， M 為 AD 中點(diǎn)，CE AB求證：EMD=3 MEA。見多個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線：已知三角形的兩邊有中點(diǎn)，可以連接這兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線；已知一邊中點(diǎn)，可以在另一邊上取中點(diǎn)，連接構(gòu)造中位線；已知一邊中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)作平行線可構(gòu)造相似三角形.例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD， E、 F 分別是BC、 AD的中點(diǎn)，BA、 CDEF的延長(zhǎng)線G、 H。求

4、證：BGE= CHE。連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)，構(gòu)造三線合一： 直角三角形中，有斜邊中點(diǎn)時(shí)常作斜邊中線；有斜邊的倍Rt ABC 中， D 為斜邊 AB 的中點(diǎn)，連接CD，則得CD=AD=BD ，從角平分線、垂直平分線類輔助線角平分線 ：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的題目輔助線的作法，一般有四種。 由角的平分線上的一點(diǎn)向角的一邊或兩邊作垂線，利用角平分線性質(zhì)。 以角的平分線為軸，將圖形翻折，在角的平分線兩側(cè)構(gòu)造全等三角形。 當(dāng)題設(shè)有角平分線及與角平分線垂直的線段，可延長(zhǎng)這條線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的“三線合一 ” 過(guò)角的一邊上的點(diǎn)，作另一邊的

5、平行線，構(gòu)成等腰三角形 “ 角平分線 +平行，必出等腰交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.垂直平分線：a、對(duì)稱性；b、垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。例：如圖，Rt ABC中，ACB=90°，AD平分BAC， 作 AD的垂直平分線EF交 AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H1）依題意補(bǔ)全圖形2）求證：BAD= BFG3）試猜想AB， FB和 FD之間的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行證明你的態(tài)度決定你的能力平行 A 字型、 8 字型：相似模型幾何綜合·專題精講Page 5 of 25斜交 A 字型、 8 字型：共享型（母子型）你的態(tài)度決定你的能力幾何綜合·專題

6、精講Page 13 of 25雙共享型：雙 A 字型：旋轉(zhuǎn)之手拉手模型 手拉手全等特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論： （ 1） ABC AB C （ 2）BOB = BAB （ 3） OA平分 BOC例： 如圖在直線ABC 的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABD 與 BCE ， 連結(jié) AE 與 CD ，證明： （ 1）（ 2）ABE DBCAE DC3）AE 與 DC 之間的夾角為604）5）6）7）AGB DFBEGB CFBBH 平分 AHCGF / AC手拉手相似特點(diǎn)：由兩個(gè)相似三角形所組成，并且一組等角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論： （ 1）AOC BOD （ 2）A

7、EB= AOB例： 如圖，兩個(gè)正方形ABCD 與 DEFG,連結(jié)CE、 AG,二者相交于點(diǎn)H。求： （ 1） AG=CE （ 2） AG 與 CE 之間的夾角為多少度？（ 3） HD 平分 AHE旋轉(zhuǎn)之對(duì)角互補(bǔ)模型條件 】 ：AOB= DCE=9°；0OC平分AOB1：CD=C；E OD+OE=2 OC；S DCE S OCDS OCE OC2你的態(tài)度決定你的能力當(dāng)DCE的一邊交AO的延長(zhǎng)線于D時(shí)：幾何綜合·專題精講1CD=C；E OE-OD= 2 OC；S OCE S OCD 1 OC2 120°)：AOB=2 DCE=120°；OC平分 AOB：CD

8、=CE；OD+OE=OC；S DCES OCD S OCE 3 OC24對(duì)角互補(bǔ)模型總結(jié)：常見初始條件：四邊形對(duì)角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線；初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；注意OC平分AOB時(shí)，CDE= CED= COA= COB如何引導(dǎo)？你的態(tài)度決定你的能力幾何綜合·專題精講Page 25 of 25旋轉(zhuǎn)之半角模型角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等【條件】 ：正方形ABCD；EAF=45°；【結(jié)論】 ： EF=DF+BE；CEF的周長(zhǎng)為正方形ABCD 周長(zhǎng)的一半；也可以這樣：【條件】 ：正方形ABCD；EF=DF+BE；【結(jié)論】 ：EAF=45&#

9、176;；：正方形ABCD；EAF=45： EF=DF-BE；若 DAE 旋轉(zhuǎn)到 ABC 外部時(shí)，結(jié)論BD 2 CE2 DE2仍然成立旋轉(zhuǎn)之構(gòu)造等邊三角形等邊三角形是一個(gè)具有豐富性質(zhì)的完美圖形,這些性質(zhì)為我們解幾何題提供,所以尋找、發(fā)現(xiàn)等邊三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵.例： 在四邊形ABCD 中， ABC=60 °， AB=BC， ADC=30222證明： AD CD BD 。分析： 待證結(jié)論讓我們聯(lián)想到勾股定理，需要通過(guò)添加輔助線將AD 、 CD（作為直角邊）和BD（作為斜邊）集中到一個(gè)直角三角形中。例 : 如圖，ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點(diǎn)，且AD =CE，連

10、接BD，AE相交于點(diǎn)F（ 1 ）BFE的度數(shù)是（ 2）如果 AD 1 ，那么 AFAC 2 BF（ 3）如果 AD 1 時(shí)，請(qǐng)用含n 的式子表示AF， BF的數(shù)量AC n關(guān)系，并證明例 : 如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CE，連接DE， AE， BD交于點(diǎn) F（ 1 ）求AFB的度數(shù)2）求證：BF=EF3）連接CF，直接用等式表示線段AB ， CF， EF的數(shù)量關(guān)系旋轉(zhuǎn)之費(fèi)馬點(diǎn)模型“費(fèi)馬點(diǎn) ”是指 位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn).若給定一個(gè)三角形 ABC 的話，從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P 到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、 C 的距離之和比從其它點(diǎn)

11、算起的都要小.這個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)于每個(gè)給定的三角形都只有一個(gè).問(wèn)題： 如圖 1，如何找點(diǎn)P 使它到 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC 最??？圖文解析：如 圖 1，把APC 繞 C 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到APC， 連 接 PP則CPP為等邊三角形，CP= PP， PA =PA，PA+PB+PC= PA +P B+ PP B C點(diǎn)A可看成是線段CA 繞 C 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得到BA為定長(zhǎng)。B、 P、 P、 A 四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC 最小。APC= A PC=180°- CPP=180°-60°=120°，BPC =

12、180° - PPC=180° -60° =120° ，APC=360°- BPC- APC=360° -120° -120° =120°.因此， 當(dāng) ABC 的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P 對(duì)三角形每邊的張角都是120°， 所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心.當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P 點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問(wèn)題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換 例：四邊形ABCD 是正方形， ABE 是等邊三角形，

13、M 為對(duì)角線BD（不含B 點(diǎn)） 上任意一點(diǎn)，將 BM 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600 得到 BN， 連接EN、 AM 、CM.1）求證: AMB ENB；2）當(dāng)M 點(diǎn)在何處時(shí)，AM BM CM 的值最小，并說(shuō)明理由；最短距離問(wèn)題三角形兩邊之和大于第三邊型1.直線l 和 l 的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l 上求作一點(diǎn)P，2 .直線l 和 l 的同側(cè)兩點(diǎn)PA+PB最小。3 .點(diǎn) P是MON 內(nèi)的一點(diǎn)，分別在使 PAB的周長(zhǎng)最小。兩點(diǎn)之間的距離線段最短型A、 B，在直線l 上求作一點(diǎn)P，使OM ， ON 上作點(diǎn)A， B。使 PA+PB最小。你的態(tài)度決定你的能力4 .點(diǎn) P， Q為 MON 內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在O

14、M， ON 上作點(diǎn)A， B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。點(diǎn)到直線的距離垂線段最短型5 . .如圖，點(diǎn)A是 MON 內(nèi)的一點(diǎn)，在射線OM 上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線ON 的距離之和最小。典例精講【 2018 西城期末】如圖1，在Rt AOB 中，AOB=90°，OAB=30°，點(diǎn)C在線段 OB 上，OC=2BC， AO 邊上的一點(diǎn)D 滿足OCD=30°將OCD 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 度(90°< <180°)得到OC D ， C， D 兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) C ， D ，連接AC ， BD ，取( 1)如圖2，當(dāng)C D AB 時(shí)，幾何

15、綜合·專題精講AC 的中點(diǎn)M，連接OM =°，此時(shí) OM 和 BD 之間的位置關(guān)系Page 15 of 25你的態(tài)度決定你的能力2）畫圖探究線段OM 和 BD 之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并加以證明幾何綜合·專題精講Page 35 of 252018海淀期末】在ABC 中， A 90°，AB AC（ 1）如圖1， ABC 的角平分線BD， CE 交于點(diǎn)Q，請(qǐng)判斷“QB2QA”是否正確：（填“是”或“否”） ；2）點(diǎn)P 是 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA， PB，且PB2 PA如圖2，點(diǎn)P 在 ABC 內(nèi)， ABP 30°，求PAB 的大?。蝗?/p>

16、圖3，點(diǎn)P 在 ABC 外，連接PC，設(shè)APC ， BPC ，用等式表之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論1圖2圖32018昌平期末】已知，ABC 中，ACB=90°，AC=BC，點(diǎn) D 為 BC邊上的.（ 1）以點(diǎn) C 為旋轉(zhuǎn)中心，將ACD 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到BCE，請(qǐng)你畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（ 2）延長(zhǎng)AD 交 BE 于點(diǎn) F，求證：AF BE；（ 3）若AC=5 ， BF=1，連接CF，則 CF 的長(zhǎng)度為.備用圖【 2018豐臺(tái)期末】如圖，BAD=90°，AB=AD， CB=CD，一個(gè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與BA， DA 交于點(diǎn)M，

17、 N，與BA， DAE， F，連接AC.1) 在FCE 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng) FCA= ECA時(shí)， 如圖 1， 求證：AE=AF；2)在 FCE 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)FCAECA 時(shí)，如圖2，如果B=30°，CB=2，用等式表示線段AE， AF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.2018門頭溝期末】如圖27- 1 有兩條長(zhǎng)度相等的相交線段AB、 CD，它們相交60°，為了探究AD、 CB 與 CD（或 AB）之間的關(guān)系，小亮進(jìn)行了如下嘗試：1）在其他條件不變的情況下使得AD BC ，如圖27- 2，將線段AB 沿 AD 方向平移 AD 的長(zhǎng)度， 得到線段DE, 然后聯(lián)結(jié)BE, 進(jìn)而利用所學(xué)知

18、識(shí)得到AD、CB 與 CD（或 AB）之間的關(guān)系：； （直接寫出結(jié)果）2）根據(jù)小亮的經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)對(duì)圖27-1 的情況（ AD 與 CB不平行）進(jìn)行嘗試，寫出 AD、 CB 與 CD（或 AB）之間的關(guān)系，并進(jìn)行證明；圖 27-1圖 27-23）綜合（1） 、 （ 2）的證明結(jié)果，請(qǐng)寫出完整的結(jié)論: _【 2018 懷柔期末】在等腰ABC 中，AB=AC，將線段BA 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BD，使BD AC于 H，連結(jié) AD 并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.( 1) 依題意補(bǔ)全圖形；( 2)若 BAC=2，求 BDA的大小(用含 的式子表示)；( 3) 小明作了點(diǎn)D 關(guān)于直線BC 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E， 從而用等式表示線段DP 與 BC 之間的數(shù)量關(guān)系. 請(qǐng)你用小明的思路補(bǔ)全圖形并證明線段DP 與 BC 之間的數(shù)量關(guān)系.你的態(tài)度決定你的能力2018朝陽(yáng)期末】【 2018平谷期末】如圖，在Rt ABC 中，BAC=90°，AB=AC在平面內(nèi)任取一點(diǎn)D，連結(jié)AD（ AD< AB） ，將線段AD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連結(jié)DE， CE， BD（ 1）請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；（ 2）猜測(cè)BD 和 CE 的數(shù)量關(guān)系