保姆招聘問題研究(數(shù)學(xué)模型)

1、關(guān)于招聘保姆問題的模型姓名：霍泳珊班級： 20101116 班 學(xué)號： 2010111621摘要本文主要討論了某保姆服務(wù)公司一年度的招聘計劃問題，在滿足市場需求的前提下， 設(shè)計一個合理的招聘計劃，為公司創(chuàng)造最大的利益。本文將采用數(shù)學(xué)優(yōu)化模型， 根據(jù)公司的不同要求和市場需求等約束條件，以全年公司工資的總支出為目標函數(shù)來解決問題。針對問題一：公司不允許解雇保姆，結(jié)合市場的需求量、新保姆的培訓(xùn)時間和每個保姆的工作天數(shù)，即有可能使得公司有過剩的人力資源，為求最優(yōu)的招聘計劃， 明確公司工資支出和保姆數(shù)量之間的線性關(guān)系。建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，使用LINGO軟件，求解出最優(yōu)的保姆招聘數(shù)量為；春季0人，夏季15人

2、，秋季0 人，冬季 59 人；分析LINGO 結(jié)果，由松弛度可知，4個季度可以增加的需求量為：春季 1800 人，夏季30 人，秋季964 人，冬季34 人。針對問題二：公司允許解雇保姆，結(jié)合市場條件，新舊保姆的各種情況可知公司的人力資源能夠得到最大的利用。但是， 每個季度的剩余人力是否解雇還有待檢驗。 設(shè)出每個季度開始時公司招聘的保姆數(shù)，招聘的保姆數(shù)和季度結(jié)束后解雇的保姆數(shù)，建立以公司工資支出最少為目標函數(shù)（即每個季度開始時，公司擁有保姆的總數(shù)量最少），結(jié)合各種約束條件，用LINGO軟件求解出最優(yōu)的保姆解雇數(shù)量為：夏季解雇14 人，其他季節(jié)不解雇。從而求解出保姆總數(shù)的最小值。關(guān)鍵詞：保姆招聘

3、計劃數(shù)學(xué)優(yōu)化模型線性關(guān)系LINGO軟件一、問題重述與分析根據(jù)我國現(xiàn)階段城鎮(zhèn)化、家庭小型化、人口老齡化、生說現(xiàn)代化的發(fā)展特點，對家政服務(wù)的需求正日趨旺盛。由相關(guān)的數(shù)據(jù)顯示，許多家政服務(wù)公司還開展嬰兒月嫂、老人護理、病人護理、家庭保潔等方面的技能培訓(xùn), 我國家政服務(wù)業(yè)發(fā)展勢頭強勁。故而家政服務(wù)人員數(shù)量與公司工資支出成為了家政分公司要解決的主要問題。現(xiàn)有一家政服務(wù)公司下一年的保姆需求量為：春季6000 人日，夏季7500人日，秋季5500 人日，冬季9000 人日，但是春季開始時，公司已經(jīng)擁有120名保姆，而且在每個季度結(jié)束后，將有15%的保姆自動離職。另外，公司新招聘的保姆必須經(jīng)過5 天的培訓(xùn)才能

4、上崗，每個保姆每季度工作（新保姆包括培訓(xùn)）65 天。保姆從該公司而不是雇主那里得到報酬，每人每月工資800 元。（ 1）如果公司不允許解雇保姆，為公司制定下一年的招聘計劃，并根據(jù)制定好的招聘計劃分析，哪些季度需求量增加卻不影響招聘計劃。（ 2）如果公司在每個季度結(jié)束后允許解雇保姆，請為公司制定下一年的招聘計劃。針對問題一：1、在滿足市場需求的條件下，以公司的利益達到最大值，即公司支出的總工資達到最小值為目標函數(shù)，由每個季度保姆人數(shù)和每個季度保姆工作天數(shù)的限制，建立優(yōu)化模型。根據(jù)題意可知，每個保姆每季度所得的工資為800*3=2400元， 要使公司和雇主達到雙贏，就要通過控制使保姆的數(shù)量最小和保

5、姆的工作強度最大。即設(shè)每個季度招聘的保姆數(shù)量分別為X1、 X2、 X3、 X 4，每個季度開始時公司擁有保姆的總數(shù)量分別為A1、 A2、 A3、 A4，每個季度保姆的最大工作強度分別為： 老保姆 65天， 新保姆 60 天。 列出公司每季度擁有保姆總數(shù)為和每季度保姆人日限制，運用LINGO軟件，優(yōu)化得出最小的總工資支出。2、在不改變招聘計劃的前提下，即每季度招聘人數(shù)一定（具體人數(shù)上題已求出） ，假設(shè)保姆每個季度工作日都不得缺勤，那么可得本季度的最大人日，即每季度保姆可提供服務(wù)的上限，連立題目中市場需求量的下限，可確定需求量變化的范圍，問題得以解決。針對問題二：因為公司允許解雇保姆人員，所以不僅

6、可以滿足市場每季度保姆服務(wù)需求的變化， 而且也不會在淡季造成勞動力剩余的情況。那么在其他約束條件都不變時，設(shè)出 每個季度開始時公司擁有保姆的總數(shù)量分別為A1、 A2、 A3、 A4 公司每季度新招，聘的保姆數(shù)量分別為：X1、 X2、 X3、 X4，每季度結(jié)束時解雇的保姆數(shù)量分別為Y1、 Y2、 Y3、 Y4，列出每個季度公司擁有保姆數(shù)量的線性關(guān)系式和每季度保姆人日的線性關(guān)系式，運用LINGO軟件， 優(yōu)化求解得解雇后公司工資的最小工資支出。二、基本假設(shè)1、不考慮實際突發(fā)狀況對保姆人數(shù)的影響；2、每個保姆都必須達到最多工作日，即新保姆60 天，老保姆65 天；3、新保姆招聘結(jié)束后即可上崗；4、新保

7、姆應(yīng)聘人數(shù)總能滿足公司需求。三、符號說明：X1 春季招聘的保姆人數(shù)X 2 夏季招聘的保姆人數(shù)X 3 秋季招聘的保姆人數(shù)X 4 冬季招聘的保姆人數(shù)A1保姆公司一年支出的保姆總工資A2 春季保姆公司的需求增量A3 夏季保姆公司的需求增量A4 秋季保姆公司的需求增量Y1春季結(jié)束后公司解雇的保姆人數(shù)Y2 夏季結(jié)束后公司解雇的保姆人數(shù)Y3 秋季結(jié)束后公司解雇的保姆人數(shù)四、模型的建立本文建立了兩種模型，區(qū)別在于公司是否要解雇保姆，其他的約束條件均相同。模型一建立：由于老保姆每季度可工作65 天，而新保姆智能工作60 天，并且每季度有15%的保姆會自動離職所以決策變量：每個季度開始時，公司擁有保姆的總數(shù)量。

8、分別記為A1、 A2、 A3、 A4每個季度開始時，公司新招聘的保姆數(shù)量分別為X1、 X 2、 X 3、 X 4目標函數(shù)：公司年度保姆要支付的總報酬最少，即每個季度開始時，公司擁有保姆的總數(shù)量最少）記為ZminA1A2A3 A43 800約束條件：根據(jù)條件可列出每季度招聘人數(shù)與市場需求的約束條件：一、 每個季度保姆人數(shù)的限制：（ Ai、 Xj 0）A1120 X1A20.85A1 X2A30.85A2 X3A40.85A3 X4每個季度保姆工作天數(shù)的限制：Ai、 Xj065A160005X165A2 7500 5X265A3 5500 5X365A4 9000 5X 4模型二建立:公司允許解雇

9、保姆人員，所以設(shè)計的招聘計劃不僅可以滿足市場每季度保姆服務(wù)需求的變化，而且也不會在淡季造成勞動力剩余的情況?？紤]在每季度解雇一部分的保姆可使公司獲得最大收益，建立滿足市場需求的模型。決策變量: 每個季度開始時，公司新招聘的保姆數(shù)量分別為X 1、 X2、 X3、 X4每個季度結(jié)束時，公司解雇的保姆數(shù)量分別為Y1、 Y2、 Y3、 Y4目標函數(shù) : 公司年度保姆要支付的總報酬最少，記為PminA1 A2 A3 A43 800約束條件：根據(jù)條件可列出每季度招聘人數(shù)與市場需求的約束條件：1、 每個季度保姆人數(shù)的限制：（ Ai、 X j、 Yi 0）A1120 X 1A20.85A1 Y1 X2A30.

10、85A2 Y2 X 3A40.85A3 Y3 X42、 每個季度保姆工作天數(shù)的限制：Ai、 Xj 065A160005X165A2 7500 5X22265A3 5500 5X365A4 9000 5X 4五、 模型求解：問題一：公司不允許解雇保姆的條件下，根據(jù)上面的討論，使用LINGO軟件的出一下運行結(jié)果：運行結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value:1148426.Total solver iterations:1VariableValueReduced CostA1120.00000.000000A2116.50000.000000

11、A399.025000.000000A4142.98570.000000X10.0000002095.735X214.500000.000000X30.0000002230.000X458.814480.000000RowSlack or Surplus Dual Price11148426.-1.00000021800.0000.00000030.000000-71.591674936.62500.00000050.000000-40.0000060.000000-2095.73570.000000357.958380.000000-2230.00090.000000200.0000利用LI

12、NGO軟件求解可得最優(yōu)解：模型一結(jié)果季度 人數(shù)第一季度第二季度第三季度第四季度計劃招聘人數(shù)015059工作總?cè)藬?shù)120117100143年度公司保姆工資總支出：1148426公司允許解雇保姆的條件下，使用LINGO軟件運行得出結(jié)果如下：Global optimal solution found.Objective value:1116292.Total solver iterations:0VariableValueReduced CostA1120.00000.000000A2116.50000.000000A384.615380.000000A4144.00640.000000X10.00

13、00002230.000X214.500000.000000X30.000000171.5385X472.083330.000000Y10.000000200.0000Y214.409620.000000Y30.000000200.0000RowSlack or Surplus Dual Price11116292.-1.00000021800.0000.00000030.000000-40.0000040.000000-34.3076950.000000-40.0000060.000000-2230.00070.000000200.000080.0000000.00000090.000000

14、200.0000利用 LINGO 軟件可求得最優(yōu)解：模型二的結(jié)果度季人數(shù)第一季度第二季度第三季度第四季度招聘人數(shù)015073工作人數(shù)12011785115解雇人數(shù)0150年度公司保姆總支出：1116292六、模型結(jié)果分析對問題一的結(jié)果分析：1 、根據(jù)目前的結(jié)論分析，在不解雇保姆的前提下，對上述結(jié)果取整，該公司在春季和秋季不需要招聘新保姆，在夏季招聘15 人和冬季招聘59 人， 即可滿足市場需求，這樣保姆公司支出工作最少為1148426元。 上面的模型中沒有要求X 1、 X 2、 X 3、 X 4， A1、 A2、 A3、 A4為整數(shù)，是因為保姆數(shù)量較大。可以近似看作實數(shù)處理。此外由于非整數(shù)因子

15、0.85 的影響，如果要求X 1、 X 2、 X3、 X4，A1、 A2、 A3、 A4為整數(shù)，則可能使得新招聘的保姆數(shù)量遠遠超出實際需要的數(shù)量， 從而難以找到合理的整數(shù)解。由運行的結(jié)果可以看出，當(dāng)?shù)谝缓偷谌径日衅傅谋Ｄ啡藬?shù)變化一個單位時，目標函數(shù)值得減少量分別為：2095.735 和 2230元。在模型結(jié)果中還可以了解到每季度保姆需求增量的變化范圍2、對于需求增加而不影響確定的招聘計劃。需要將最終求得的最優(yōu)招聘人數(shù)及工作人數(shù)帶入約束條件，求出在公司支付工資最少的條件下所能提供的最大工作量，故可由以上結(jié)果條件的松弛（或剩余）的數(shù)據(jù)知道，春季和秋季需求的增加不影響招聘計劃，可以分別增加1800

16、 和 936 人日對問題二結(jié)果的分析：分析程序運行結(jié)果，因為公司允許解雇保姆，避免在淡季時出現(xiàn)剩余勞動力的情況， 對上述結(jié)果取整，該公司在春季和秋季不需要招聘新保姆，而在夏季和秋季分別應(yīng)招保姆人數(shù)為15 人和 73 人。并且在夏季結(jié)束時解雇15 人，在其他季度均不用解雇保姆。如此制定的招聘計劃可以使得公司獲得的收益最大，即目標函數(shù)值為1116292。而且，由程序運行的結(jié)果可知，當(dāng)春季和秋季每新增一個保姆時， 則對目標函數(shù)的增加量分別為2230 和 171.5385 元。 同樣的， 當(dāng)春季和秋季每增加解雇一個保姆，目標函數(shù)的增加量分別為200和 200元。 包補公司可以通過采取解雇多余保姆的措施

17、，來節(jié)省公司的開支，但是在之后季度需要保姆式， 新保姆不僅需要培訓(xùn)而且每季度的最大工作強度也比老保姆少。所以， 綜合以上的分析，最優(yōu)的裁員方案應(yīng)該是在夏季解釋時解雇15 人七、模型的評價與改進模型的優(yōu)點：本模型分步對招聘問題進行分析，給出了在招聘問題上供求與需求的關(guān)系。利用線性規(guī)劃的方法對數(shù)據(jù)進行分析，并通過計算機對數(shù)據(jù)進行整合，得到較符合實際的數(shù)據(jù)，將理論與實際想結(jié)合起來建立模型合理可行。模型的缺點：但是在建立模型的過程中考慮的影響因數(shù)有限，使得模型過于簡單，應(yīng)用范圍受到局限。線性規(guī)劃中需用整形規(guī)劃，但本模型程序利用LINGO使用的是實型。模型的改進：針對此模型在實際應(yīng)用過程中的不足之處，需

18、要對其進行如下改進：可以逐步增加影響因數(shù)，例如員工在未滿工作日之時自動離職或者被解雇；公司在季度期間進行招聘等。八、模型推廣在現(xiàn)代生活中，各行各業(yè)都離不開市場，更離不開人員招聘。作出合理的招聘計劃不僅可以節(jié)約資源創(chuàng)造出最大的效益，而且可以對下一年開支做出合理的計劃， 保證公司的持續(xù)運轉(zhuǎn)。所以此模型可以應(yīng)用到各個行業(yè)領(lǐng)域，根據(jù)不同的情況對模型進行微小修改即可應(yīng)用。九、參考文獻1 姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學(xué)模型（第四版），第4章：131頁2（ 美 ） 米爾斯切特，數(shù)學(xué)建模方法與分析，北京：機械工業(yè)出版社，2009.5十、附錄問題一的LINGO程序：min=( A1+A2+A3+A)4 *3*800

19、;65*A1=6000+5*X1;65*A2=7500+5*X2;65*A3=5500+5*X3;65*A4=9000+5*X4;A1=120+X1;A2=0.85*A1+X2;A3=0.85*A2+X3;A4=0.85*A3+X4;endLINGO程序：min=( A1+A2+A3+A)4 *3*800;65*A1=6000+5*X1 65*A2=7500+5*X2 65*A3=5500+5*X3 65*A4=9000+5*X4 A1=120+X1;A2=0.85*A1-Y1+X2;A3=0.85*A2-Y2+X3;A4=0.85*A3-Y3+X4; end人與人之間的距離雖然摸不著，看不見

20、，但的的確確是一桿實實在在的秤。真與假，善與惡，美與丑，盡在秤桿上可以看出；人心的大小，胸懷的寬窄，撥一撥秤砣全然知曉。人與人之間的距離，不可太近。與人太近了，常常看人不清。一個人既有優(yōu)點，也有缺點，所謂人無完人，金無赤足是也。初識時，走得太近就會模糊了不足，寵之；時間久了，原本的美麗之處也成了瑕疵，嫌之。與人太近了，便隨手可得，有時得物，據(jù)為己有，太過貪財；有時得人，為己所用，也許貪色。貪財也好，貪色亦罷，都是一種貪心。與人太近了，最可悲的就是會把自己丟在別人身上，找不到自己的影子，忘了回家的路。這世上，根本沒有零距離的人際關(guān)系，因為人總是有一份自私的，人與人之間太近的距離，易滋生事端，恩怨

21、相隨。所以，人與人相處的太近了，便漸漸相遠。人與人之間的距離也不可太遠。太遠了，就像放飛的風(fēng)箏，過高斷線。太遠了，就像南徙的大雁，失群哀鳴。太遠了，就像失聯(lián)的旅人，形單影只。人與人之間的距離，有時，先遠后近；有時，先近后遠。這每次的變化之中，總是有一個難以忘記的故事或者一段難以割舍的情。有時候，人與人之間的距離，忽然間近了，其實還是遠；忽然間遠了，肯定是傷了誰。人與人之間的距離，如果是一份信箋，那是思念；如果是一個微笑，那是寬容；如果是一句問候，那是友誼；如果是一次付出，那是責(zé)任。這樣的距離，即便是遠，但也很近。最怕的，人與人之間的距離就是一句失真的讒言，一個不屑的眼神，一疊誘人的紙幣，或者是一條無法逾越的深谷。這樣的距離，即便是近，但也很遠。人與人之間最美的距離，就是不遠不近，遠中有近，近中有遠，遠而不離開，近而不相丟。太遠的距離，只需要一份寬容，就不會走得太遠而行同陌人；太近的距離，只需要一份自尊，就不會走得太近而丟了自己。不遠不近的距離，多像一朵艷麗的花，一首悅耳的歌，一首優(yōu)美的詩。人生路上，每個人的相遇、相識，都是一份緣，我們都是相互之間不可或缺的伴。人與人之間的距離雖然摸不著，看不見，但的的確確是一桿實實在在的秤。真與假，善與惡，美與丑，盡在秤桿上可以看出；人心的大小，胸懷的寬窄，撥一撥秤砣全然知