3.3函數的微分及其應用(一)

1、表 JX-2授課日期授課班級課題3.3 函數的微分及其應用（一）計劃 學時2 課時教學目標1. 理解 微分的概念，了解微分的幾何意義以及微分與可導的關系； 2. 熟悉微分的運算法則；3. 掌握微分在近似計算中的應用，會用微分進行近似計算.教學重點 解決措施教學重點：微分的概念 解決措施：講授、演示教學難點 解決措施教學難點：微分與可導的關系 解決措施：講授、演示教學設計 教學手段 教學方法多媒體教學、板書演示板書設計 授課提綱一、復習二、新授3.3 函數的微分及其應用（一）微分的概念（二）微分運算法則（三）微分在近似計算中的應用三、練習四、小結五、作業(yè)第頁教學過程設計時間 分配教師 活動學生

2、活動【復習提問】5 分鐘提問復習1. 函數的和、差、積、商的求導法則；回答2 復合函數的求導法則；3. 隱函數的求導法則.【新課講授】§3.3 函數的微分及其應用(一)(一)、微分的定義1. 實例 ：一個正方形的邊長由x0 變到x0x，面積改變25 分了多少？鐘用 x 表示正方形的邊長，A 表示面積A=x2 ，當2 x=x0 ， A0 =x0 . 所以須知可導和可A (x022x)x02x0 x ( x)=微是同A x o( x) ，一概念 (一元可見，當x很小的時候，A 2x0 x.微積分2. 定 義 ：若y f (x) 在 x0 處 的 增 量 y 可 表 示 為中)在 今后的y

3、 Axo(x) ，其中A 為不依賴于x 的數，則稱多元微y f (x)在 x0處可微，稱A x為 f(x) 的微分. 記為 dy，積分中 不是這即 dy Adx.樣3. 可微與可導的關系： 可微可導證必 要 性 ： 若 y f (x) 在x0 處 可 微y A x o(x) ； 則y A o( x)xx教案紙第頁教學過程設計lixm0 yx A f (x0) . 充分性：若 lixm0 xy f (x0)y f (x0 ) x xy f(x) 在x0 處 可 導y f (x0 ) x f (x0 ) x o( x)y f (x) 在 x0 處可微由此可見 ，若 y f (x) 在 x0 處微分

4、dy f (x0)dx .注 ： y dy是x的高階無窮小、微分的幾何意義時間分配教師學生活動活動dy f (x) x tan x PQ x PQ MQ所以幾何上dy表示曲線在點(x0, f (x0)處切線的增量第頁教學過程設計時間 分配教師 活動學生 活動例 1 用微分定義一和定義二計算函數y x2在 x01 處兩種的微分不同解 用定義一：y' 2x, y' 12 ， 所以 dy y' 1 dx 2dx方法用定義二：求微y f 1 x f 11 x 2 12 2 x2x2.其中x2是x的高階無窮小量，即x2lixm0x 0dy 2 x 2dx所以，顯然用定義一求微分簡

5、明.但定義二對認識微分本質是有好處的.例 2 設 y ln 1 2x ，求在x0 1 處的微分dy22解y，y1 2x32所以dy y ' 1 dx dx3如果是求任意一點X 處的微分，則'2dy y dxdx1 2x例 3 設 y cos1 3x ，求 dy（即任意一點的微分）分。表 JX-2教案紙第頁教學過程設計時間 分配教師 活動學生 活動解y' sin 1 3x 3所以dy 3sin 1 3x dx(三)、微分運算的法則1. 運算法則 d(u v) du dv； d(uv) udv vdu；u vdu udv d( )2；vv df ( (x) f ( (x)

6、(x)dx.2. 一階微分形式不變性設 y f (u) ，不論u 是自變量還是中間變量都有dy f (u)du .證 若 u 是自變量，則dy f (u)du；若u是中間變量，則dy f ( (x) (x)dx f (u)du .2例 4 設 y，求 dy。ln x解212222xln xdx x dxxln xd x x d ln xxdy d2x=2 xln xlnln xx 2ln x 1 dxln 2 x15 分 鐘教案紙第頁教學過程設計時間 分配教師 活動學生 活動例 5 設 y cos 3x e x，求 dy解dy d cos3x e x=cos3x d e x e x sin3x

7、 d 3x=cos3x e xd x e x sin3x d 3x=cos3x e x 1 dx e x sin 3x 3dx= e x cos3x 3sin3x dx1例 6 設 y ln sin ，求 dy x11111解dyd sincos dI x1 xxsinsinxxII=2 cot dxxx例 7 設方程y5 2y x 3xx 0確定了函數y y x ，求 x 0 處的導數，即dydx x 0解 方程兩邊求微分dy5 2dy dx 3dx 7 05y4 dy 2dy dx 21x6dx 0dy 21x6 1整理得4dx 5y 2利用 微分 形式 的不 變性， 計算 隱函 數的 導

8、數 有它 的方 便之 處， 我 們可 不必 認定 誰是 自變 量， 誰 是函 數， 而 只需 分清 誰是 變量， 誰是 常量。第頁教學過程設計時間 分配教師 活動學生 活動當 x 0 時，由原方程求得y o ，所以dy21x6 11dx x o 5y4 2 0,0 2例 8 已知 y 1 xey，求dy .解dy d(1 xey) = eydx xey dy所 以ydyy1 xe(四)、參數方程所表示的函數的微分法設 參 數 方 程 為 x (t), ，t, 顯 然 若y (t).x (t)存在反函數t 1(x)則 y 1(x)為 x的復合函數，若x (t) ， y (t) 可導，且(t) 0

9、，則由復合函數求導法則有：dydydy dtdt(t)=，dxdt dxdx(t)dt例 8 設 x Rcost R 為常數，求y' xy Rsint解利用微分得dx Rsin tdtdy R costdt20 分 鐘在理 解的 基礎教案紙第頁教學過程設計時間 分配教師 活動學生 活動所以，y'xdy RcostdtcottdxR sin tdt1 xt例 9設t求y'xy t 1t11解dx 12 dt,dy 12 dtt2t2112 dt2所以dyt12 tdx 112 dt t2 1t2例 10 求三葉玫瑰線r asin 3 在處的切線方3程x asin3 cos , 解：先將其化為參數方程在y asin3 sin .上掌 握公 式。第頁教學過程設計時間 分配教師 活動學生 活動處對應點為(0,0) ,3k ddyx3acos3 sin asin3 cos333 3acos3 cos asin3 sin所以所