第32講-不等式解法及應(yīng)用

1、高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第三十二講一不等式解法及應(yīng)用一知識整合：1不等式的解法解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時的重要手段，與“等式變形并列 的“不等式的變形，是研究數(shù)學(xué)的根本手段之一。高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識占相當(dāng)大的比例。1同解不等式 f(x) g(x)與 f(x) F(x) g(x) F(x)同解；2m 0, f (x) g(x)與 mf (x) mg(x)同解，m 0, f (x) g(x)與mf (x) mg(x)同解;g(x)0 與 f (x) g(x) 0 (g(x)0 同解;2.元一次不等式解一兀一次不等式組及一兀二次不等式組是解其他各類不等式的

2、根底，必須熟練掌握，靈活應(yīng)用。(1)a0ax b分(2)a0情況分別解之。(3)a03.一兀二次不等式ax21bx c0 (a0)或 ax2 bxc 0 (a 0) 分a 0及a 0情況分別解之，還要注意b24ac的三種情況，即0或0或0,最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象。4.分式不等式分式不等式的等價變形：f (x)>0f(x) g(x)>0 ,?0f(x)g(x) 0g(x)g(x)g(x)05.簡單的絕對值不等式絕對值不等式適用范圍較廣，向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對 值不等式。高考試題中，對絕對值不等式從多方面考查。解絕對值不等式的常用方法：討論法：討論絕對值中的式于

3、大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為第1頁共8頁一般不等式；等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形：2 2|x|<ax <a a<x<a(a>0),|x|>ax2>a2x>a 或 x< a(a>0)。一般地有：|f(x)|<g(x) g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或 f(x)<g(x)。6 指數(shù)不等式af (x)ag(x)(1)當(dāng) a 1時，f(x) g(x)；(2)當(dāng) 0a 1 時,f(x)g(x)；7 對數(shù)不等式ab Nb loga N(a 0

4、,0, logambn)mlogab.loga b1等, logbaloga f (x)loga g(x)1當(dāng) af (x)g(x)2當(dāng) 01時,f (x)0f (x)g(x)°&線性規(guī)劃1平面區(qū)域一般地，二元一次不等式Ax By Ax By C 0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域。 邊界直線。當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax By包括邊界直線，那么把直線畫成實線。C 0我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括C 0所表示的平面區(qū)域時，在平面直角坐標(biāo)系中表示此區(qū)域應(yīng)(x, y)代入 Ax(x°,y。)，從 Ax0特別地，當(dāng)C 0時，通常把By C，得By。C 的說明：由于直線 Ax

5、 By C 0同側(cè)的所有點的坐標(biāo) 到實數(shù)符號都相同，所以只需在直線某一側(cè)取一個特殊點 正負(fù)即可判斷Ax By C 0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。 原點作為此特殊點。2有關(guān)概念x4y3足條件3x5y25，求z的最大值和最x1小值。引例：設(shè)z 2x y，式中變量x, y滿由題意，變量x, y所滿足的每個不等式 都表示一個平面區(qū)域，不等式組那么表示這些 平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知，原點0,0不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)x 0, y 0時，2x y t，t R，可知：當(dāng)I在1°的右上方z 2x y 0 ,即點0,0在直線I。: 2x y 0上，作一組平行于I。的直線I : 時，直線I上的點x, y滿足2

6、x y 0,即t 0,而且，直線I往右平移時，t隨之增 大。由圖象可知，當(dāng)直線I經(jīng)過點A5,2時，對應(yīng)的t最大，當(dāng)直線I經(jīng)過點B1,1時，對應(yīng)的t最小，所以，zmax 2 5 212，Zmin 2 1 13。在上述引例中，不等式組是一組對變量 x,y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于 x, y 的一次不等式，所以又稱為線性約束條件。z 2x y是要求最大值或最小值所涉及的變量x, y的解析式，叫目標(biāo)函數(shù)。又由于z 2x y是x, y的一次解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性 規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解x,y叫做可行解，由所有可

7、行解組成的集合叫做可行 域。在上述問題中，可行域就是陰影局部表示的三角形區(qū)域。其中可行解5,2和1,1分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解。二典例精析x210例1 . 2002京皖春，1不等式組x2 3x的解集是0A . x |- 1 v xv 1B.x | 0vXV3 C. x | 0v xv 1D.x |- 1 v XV3 x 1例2 . 2001河南、廣東，1不等式 N>0的解集為x 3題型1 ：簡單不等式的求解問題B.x|x>3A. x|x<1C.x|x<1 或 x>3D.x|1<x<3題型2 :簡單的絕對值、涉及指數(shù)、

8、對數(shù)和三角的不等式的求解問題例 3 1 2002 全國,3不等式1 + x 1-| x |> 0的解集是A x | 0 < xv 1B. x | xv 0 且 xm 1C x |- 1 v xv 1x2 1997全國，14不等式組 33A. x | 0v xv2C. x | 0v xv '一 6 D. x | xv 1 且 xm 10x|2x1的解集是1x|21x1B. x | 0v xv2.5D. x | 0v xv 31y2 8例4 1 1995全國理，16不等式一x 8 > 3-2x的解集是。32 2002全國文5,理4在0,2n內(nèi)，使si nx> cos

9、x成立的x取值范圍為A. ，U n ,4 2 4B. , n 4C.,44x 12t ,x306 山東理，3設(shè) f(x)= Iogt(x253D. 一，nU4422,1), x 2,那么不等式f(x)>2的解集為(A)1, 23, + d(B)10 , +m(C)1, 210 , +8(D)1, 2題型3 :含參數(shù)的不等式的求解問題例5. 1設(shè)不等式x2- 2ax+a+2< 0的解集為 M，如果M 1, 4,求實數(shù)a的 取值范圍？2解關(guān)于x的不等式a(x 1) > 1( aM 1)。例 6. 1 06 重慶理，15設(shè) a >0,n1,函數(shù) f(x)=alg(x2-2n+

10、1)n(x2-5x+7) >0 的解集為?206重慶文，15設(shè)a 0,a 1，函數(shù)f (x) loga(x2 2x 3)有最小值，那么不等式loga(x 1) 0的解集為。題型4:線性規(guī)劃問題xy10例 7 .106安徽，10如果實數(shù)x、y滿足條件y10,那么2x y的xy10最大值為A . 2B.1 C .2D3y x206天津理，3設(shè)變量x、y滿足約束條件x y 2 ,那么目標(biāo)函數(shù)z 2x yy 3x 6的最小值為A . 2B. 3C. 4D. 9例8. 106四川理,8某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a1, ,生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a2,b2千克，甲、

11、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為 d1 ,d2元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料 A, B各Cj, c2千克，要方案本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額到達(dá)最大；在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克，y千克，月利潤總額為z元，那么，用于求使總利潤z d1x d2y 最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為Ca1x a2yQx b2yx 0y 0c2Da1x a2y b1x b2yx 0y 0qc2xy20,206浙江理，3在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組xy20,表示的平面區(qū)x2域的面積是 1319(A)-(B)-(C)(D)2288xy4306北京理，13點P x, y的坐標(biāo)滿足條件yx,點O

12、為坐標(biāo)原0Xa2yC1A取bYC2X 0a1Xbyc1Ba2Xb2yC2x 0y 0y 1,點，那么|P0|的最小值等于 ，最大值等于 。清洗前其清潔度含污題型5:不等式的應(yīng)用物體的清潔度定義為：1 物體質(zhì)量 含污物為0.8，要求清洗完后的清潔度為 物體質(zhì)量含污物例9. 06湖南理，20對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,0.99。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙 ：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?a1 a 3。設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是x 0.8 & a 1，用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是-aC，其x 1y a中c 0.8 c

13、 0.99是該物體初次清洗后的清潔度。I 分別求出方案甲以及c 0.95時方案乙的用水量，并比擬哪一種方案用水量較少;(n)假設(shè)采用方案乙，當(dāng) a為某固定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最??？并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。例 101998全國文 24、理 22如圖 6 1，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一 底寬為 2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從 A 孔流入，經(jīng)沉淀后從 B 孔流出，設(shè)箱體的長 度為a米，高度為ba、b的乘積ab60平方米.問當(dāng)a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的 水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小 A、 B 孔的面積忽略不計 ?三思維總結(jié)1在復(fù)習(xí)不等式

14、的解法時，加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí) 解不等式的過程是一個等價轉(zhuǎn)化的過程， 通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式 組，以快速、 準(zhǔn)確求解。加強分類討論思想的復(fù)習(xí) .在解不等式或證不等式的過程中，如含參數(shù)等問題，一般 要對參數(shù)進(jìn)行分類討論 .復(fù)習(xí)時，學(xué)生要學(xué)會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做 到不重不漏。加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分， 相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化 .如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要 方法 .在不等式的證明中，加強化歸思想的復(fù)習(xí)，證不等式的過程是一個把條件向要 證結(jié)論的一個轉(zhuǎn)化過程，既可考查學(xué)生的根底知識，又可考查學(xué)生分析問題和解決問題 的能力，正因為證不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起我們 的足夠重視。2強化不等式的應(yīng)用 突出不等式的知識在解決實際問題中的應(yīng)用價值，借助不等式來考查學(xué)生的應(yīng)用意 識。高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和 實際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應(yīng)用能力，是提高解綜合題能力 的關(guān)鍵 .因此，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加強這方面訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才 能提高解決問題的能力。如在實際問題應(yīng)用中，主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等