矩陣可對角化的充分必要條件論文

1、 學(xué)號 20080501050116 密級 蘭州城市學(xué)院本科畢業(yè)論文蘭州城市學(xué)院本科畢業(yè)論文矩陣可對角化的充分必要條件學(xué) 院 名 稱：數(shù)學(xué)學(xué)院專 業(yè) 名 稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 生 姓 名：練利鋒 指 導(dǎo) 教 師：李旭東 二一二年五月BACHELORS DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College : MathematicsSubject : Mathematics and Applied MathematicsNam

2、e : Lian LifengDirected by : Li Xudong May 2012鄭鄭 重重 說說 明明 本人呈交的學(xué)位論文，是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的，所以數(shù)據(jù)、資料真實可靠。盡我所能，除文中已經(jīng)注明應(yīng)用的內(nèi)容外，本學(xué)位論文的研究成果不包含他人享有的著作權(quán)的內(nèi)容。對本論文所涉及的研究工作做出的其他個人和集體，均已在文中以明確的方式標(biāo)明。本學(xué)位論文的知識產(chǎn)權(quán)歸屬于培養(yǎng)單位。 本人簽名 : 日期 : 摘摘 要要矩陣是否可以對角化，是矩陣的一條很重要的性質(zhì)。對相似可對角化的充分必要條件的理解，一直是線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的一個困難問題。本文給出了矩陣可對角化的幾個充分必要條件和

3、相應(yīng)的證明。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：方陣；特征值；特征向量；對角化ABSTRACTMatrix diagonalization is a very important nature of matrixUnderstanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebraIn this paper, several necessary and sufficient conditions and the co

4、rresponding proofs of matrix diagonlization have been givenKey words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization 目 錄第 1 章 緒論.1第 2 章 矩陣可對角化的概念.22.1 特征值、特征向量的概念 .22.2 矩陣可對角化的概念 .2第 3 章 矩陣可對角化的充分必要條件.43.1 矩陣可對角化的充分必要條件及其證明.43.2 可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟 .8第 4 章 矩陣可對角化的應(yīng)用.9第 5 章 結(jié)論.11參考文獻(xiàn).12致 謝.130第第 1 1 章章

5、緒論緒論矩陣是高等代數(shù)中的重要組成部分，是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具。而對角矩陣作為矩陣中比較特殊的一類，其形式簡單，研究起來也非常方便。研究矩陣的對角化及其理論意義也很明顯，矩陣相似是一種等價關(guān)系，對角化相當(dāng)于對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡單的等價形式，這對理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì)，比如特征多項式、特征根、行列式如果只關(guān)心這類性質(zhì)，那么相似的矩陣可以看作是沒有區(qū)別的，這時研究一個一般的可對角化矩陣，只要研究它的標(biāo)準(zhǔn)形式一個對角形矩陣就可以了。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣，研究起來非常方便。線性代數(shù)中矩陣是否可以對角化,是矩陣的一條很重要的性質(zhì)。矩陣對角化也是高等代數(shù)

6、和線性代數(shù)中矩陣?yán)碚撨@一部分的主要內(nèi)容。人們對此研究得出了很多有用的結(jié)論。諸如一些充要條件：階方陣可以對角化的充要nA條件是它有個線性無關(guān)的特征向量；方陣可以對角化的充要條件是它的最小nA多項式?jīng)]有重根；還有復(fù)方陣可以酉相似于對角形矩陣的充要條件是它為正A規(guī)矩陣，此外,還有一些充分條件。然而,所有這些結(jié)論都相對比較抽象,特別是對于大學(xué)一年級的新生，抽象化的結(jié)論不便于學(xué)生的理解和記憶，因此,一些學(xué)生在學(xué)完高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的相關(guān)知識后不久,便相繼忘掉了一些重要的結(jié)論。但是,一個普遍的現(xiàn)象是這些學(xué)生對高中、初中的數(shù)學(xué)知識比較熟悉,且記憶深刻，因此,若能將一些大學(xué)數(shù)學(xué)知識和高中、初中的一些知識進(jìn)行類

7、比,則這些新的數(shù)學(xué)知識與理論便會易于理解和記憶。在本課題中通過閱讀參考文獻(xiàn)、查閱相關(guān)資料，初步總結(jié)出了矩陣可對角化的若干充分必要條件，并給予了相應(yīng)的證明過程。1第第 2 2 章章 矩陣可對角化的概念矩陣可對角化的概念2 2.1.1 特征值、特征向量的概念特征值、特征向量的概念 定義 1 設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個線性變換, 如果對于數(shù)域中的APVP一個數(shù)存在一個非零向量使得,那么稱為的一個特征值，而 00A0A稱為的屬于特征值的一個特征向量。A0求方陣的特征值與特征向量的步驟：A(1)由特征方程=0 求得的個特征值，設(shè)是的互異特征值,其AE Ant,21A重數(shù)分別為則。tnnn,21nnnnt2

8、1(2)求解齊次線性方程組,其基礎(chǔ)解系(0XAEiti, 2 , 1siiippp,21)就是所對應(yīng)特征值的線性無關(guān)的特征向量。tinsii, 2 , 11，Ai2.22.2 矩陣可對角化的概念矩陣可對角化的概念定義 2 設(shè)是矩陣上一個階方陣，如果存在數(shù)域上的一個可逆矩陣AFnF,使得為對角形矩陣，那么就說矩陣可以對角化。PAPP1A任意方陣的每一個特征值都有一個與之相對應(yīng)的特征向量滿足AiiP，則這個方程可以寫成iiiPAPn,1,2,i , （1） nnPPPPPPA,2121n21我們定義矩陣,則（1）式可寫成,nPPPP,21ndiagB,21PBAP 若矩陣是可逆陣，則有Pndiag

9、BAPP,211引理1 設(shè)、都是階矩陣,則有秩 秩+秩 。ABnAB A nB 引理2 設(shè)()為階方陣的所有互異特征值，則矩陣的s,21ns nAA線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為。IArIArIArsns21證明 設(shè)()為階方陣的所有互異特征值，因為特征值s,21ns nA相應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)即為線性方程組is ,1,2,i的基礎(chǔ)解析所含向量的個數(shù)，所以特征值 相應(yīng)的0XIAinss,21線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)分別為，IArniIArn22，而矩陣的不同特征值的線性無關(guān)的特征向量并在一起仍然線性IArnsA無關(guān)，從而,矩陣線性無關(guān)的特征向的最大個數(shù)為A。IArIArIArs

10、ns21引理3 設(shè)為階方陣,是任意兩兩互異的數(shù),則Ans,21。 nsIArIArIArIAIAIArss12121 3第第 3 3 章章 矩陣可對角化的充分必要條件矩陣可對角化的充分必要條件3.1 矩陣可對角化的充分必要條件及其證明矩陣可對角化的充分必要條件及其證明定理1 數(shù)域上階方陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)PnAAn的特征向量。證明（1）充分性 假設(shè)是矩陣的個線性無關(guān)的特征向量，nPPP,21An即有,令矩陣由特征向量組成，iiiPAPn,1,2,inPPPP,21nPPP,21因為是線性無關(guān)的，因此矩陣是非奇異矩陣，其逆矩陣記為，nPPP,21P1P根據(jù)逆矩陣的定義有=，另一

11、方面，由易知,PP1nPPPPPP12111,iiiPAP =,給此式左乘矩陣，則有nAPAPAPAP,21nnPPP,22111P=，nIAPP1n21n21即充分性得證。 （2）必要性 令矩陣和對角形矩陣相似，即存在可逆矩陣使得ADP,則有,于是記=()，則DAPP1PDAP PnPPP,21TndddD,21可以寫成=()即有PDAP nAPAPAP,21nnPdPdPd,2211iiiPdAP ,這說明矩陣的列向量是矩陣的特征向量，而已知是可逆n,1,2,iPiPAP陣，故的個列向量線性無關(guān)，必要性得證。PnnPPP,21定理2 設(shè) ，則可以對角化的充分必要條件是：nnPAA(1)的特

12、征根都在數(shù)域內(nèi),AP(2)對的每個特征根,有，A，其中是的重數(shù)。kAEn秩k條件(2) 也可改述為：特征根的重數(shù)等于齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)(簡稱為代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù))。0XAE條件(2)還可改述為：令有，即屬于的不同特征根的nAnrii1-E秩A線性無關(guān)的特征向量總數(shù)是。n4條件(1)，(2)還可改述為:的屬于不同特征值的特征子空間的維數(shù)之和等A于。n證明 設(shè)是的所有不同的特征根,是齊次線性方程r,21Ajjtj,1組的一個基礎(chǔ)解系，則的特征向量0XAEjrj, 2 , 1A一定線性無關(guān)。rrrtrtt,111111如果, 則有個線性無關(guān)的特征向量, 從而可以對角ntttr2

13、1AnA化。若可以對角化, 則屬于的不同特征根的線性無關(guān)的特征向量總數(shù)一定AA是。若不然, 則由定理1可設(shè)的個線性無關(guān)的特征向量為,設(shè)nAnn,21是屬于特征根的特征向量，則可由線性表出，從而可由向量jjjjtjj,1組線性表出，于是，rank rankrrrtrtt,111111n,21 =與線性無關(guān)矛ttrtr, 11111ntttr21n,21盾。定理3 設(shè)是階復(fù)矩陣, 則與對角形矩陣相似的充分必要條件是的AnAA最小多項式無重根。 m證明 充分性 因無重根,由| 知,的每個不變因 )(ndm)(id)(1idA子都不能有重根，從而特征矩陣作為復(fù)數(shù)域上的矩陣,其初等因)(idAE 子全為

14、一次式，故必與對角陣相似。A必要性 因與對角陣相似,特征矩陣的初等因子必均為一次式,故AAE 最后一個不變因子也只能是不同的一次因式之積，這就證明了最小多項式 nd無重根。 )(ndm此定理3所給出的判別矩陣與對角矩陣相似的條件,形式上還可削弱,我有:定理4 設(shè)是維向量空間的一個線性變換，的矩陣可以對角化的充nV分必要條件是可以分解為個在之下不變的一維子空間的直和。VnnWWW,21 證明 必要性若可以對角化，則存在的一組基使得在Vn,21這5組基下的矩陣為， n21令,則 ， nnLWLWLW,2211nWWWV21事實上：（1），則，Vnnkkk2211又, ，iiiWkn,1,2,inW

15、WW21即。nWWWV21（2）,，niiiWWWWWW1121n,1,2,i且，iWniiWWWWW1121且, ，inii1121njWjj, 2 , 1,又，,jjWn,1,2,jjjjWLn,1,2,j,iinniiiiLLLLLL11112211即又iinniiiiiiLLLLLLL11112211線性無關(guān)=0,n,21jLn,1,2,j即=0。充分性若可分解為個在之下不變的一維子空間的直和,VnnWWW,21即,設(shè)的基分別為則可構(gòu)nWWWV21nWWW,21n,21n,21成的一組基。V令， nnn,222111在基下的矩陣為 ， n,21n21即可以對角化。定理5 設(shè)是數(shù)域上的一

16、個階矩陣，的特征根全在內(nèi)，若AFnAF是的全部不同的特征根，其重數(shù)分別為，則可對角化n,21Anrrr,21A6的充要條件是秩。jjiirAIk,1,2,j證明 設(shè)可對角化，則存在可逆矩陣,使AT這里右邊是分塊對角矩陣，為階單位陣，于nnIIIdiagATT,22111iIir是有秩 jiiAI=秩TAITjii1=秩jiiATTI1 =秩 jikkiIIIdiagI,2211 =秩 jikkiiIIIdiag,22111 =秩 jijjiIdiag0 , 0 , 0 , 0 =。jr反之，若秩=， jiiAIjrk,1,2,j則反復(fù)用本文引理 1 可得： nkAIrijij2秩 nkrnji

17、i2=，jjiirrn于是有=。AIiji秩irn從而 =，這樣可對角化。AIiirnk,1,2,iA 定理 6 設(shè)為階方陣,則可以對角化的充要條件為存在兩兩互異的AnA使得。s,21 021IAIAIAs證明 必要性 設(shè)階方陣可以對角化,()為的所有互nAs,21ns A異特征值,由引理 2 及定理 1，從而有個線性無關(guān)的特征向量,即An7故nIArIArIArsns21， 0121nsIArIArIArs再由引理 3 得0，21IAIAIArs從而有。021IAIAIAs充分性設(shè)為階方陣且存在兩兩互異的數(shù)使得Ans,21，記為=。021IAIAIAs AfIAIAIAs21設(shè)為的特征值，則

18、必為的特征A sf21 Af值，從而。 0Af所以,因此矩陣的特征值的取值范 021sfA圍為，顯然當(dāng)可逆時，不是的特征值；當(dāng)可逆s,21IAiiAIAi時，是的特征值。因為線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的iA0XIAi個數(shù)即為的特征值的重數(shù) (當(dāng)可逆時, IArniAis ,1,2,iIAi不是的特征值,此時)。從而矩陣線性無關(guān)的特征向量的iA0IArniA最大個數(shù)為。IArIArIArsns21再由引理 3，當(dāng)時021IAIAIAs， nsIArIArIArs121所以 ，即階方陣有個nIArIArIArsns21nAn線性無關(guān)的特征向量,從而可以對角化。A3.2 可對角化矩陣的相似對角陣的

19、求法及步驟可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟 具體步驟 設(shè)，求可逆矩陣，使為對角矩陣的步nnPAnnPXAXX1驟是:(1) 求矩陣的全部特征根；A(2) 如果的特征根都在數(shù)域內(nèi)(否則不可對角化), 那么對每個特征根, APA求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系；0XAI(3) 如果對每個特征根,的基礎(chǔ)解系所含解向量個數(shù)等于的重0XAI數(shù)(否則不可對角化), 那么可對角化,以所有基礎(chǔ)解系中的向量為列即得AA階可逆陣, 且是對角陣, 而對角線上的元素是的全部特征根。nXAXX1A8第第 4 4 章章 矩陣可對角化的應(yīng)用矩陣可對角化的應(yīng)用例 1 判斷矩陣是否可以對角化。163222123A解 的特征

20、多項式=AAI 163222123 =16123xx = 422xx解得的特征值是（重） ，（ 重） ，A212421對于特征根-4，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，000363222127321xxx1,32,31 對于特征根2，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解000363242121321xxx系，1, 0, 1,0, 1, 2由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于對應(yīng)的特征根的重數(shù)，所以可以對角化。A取,那么10101321231T2000200041ATT例2 設(shè)是兩個不同的數(shù)，又階矩陣滿足21,nA，證明相似于對角陣。021nnIAIAA2211證明 若，或則或結(jié)論顯然成立。01nIA02

21、nIAnIA1nIA29故可設(shè)，此時首先證明是的特證值。由于nnIAIA21,21,A，故有，使得,又nIA101nIA，于是是的屬于特征值的特征00211nnnIAIAIAA1向量，同理是的特征值。2A又設(shè)是的基礎(chǔ)解，因而是的屬于的線性無關(guān)的t,2101AXInA1特征向量 ，設(shè)是的線性無關(guān)的特征向量，故可知s,2102XIAn線性無關(guān)，設(shè)是任一維向量，有，令st,2121nnI1，則有，211112nIA212121nIA21，因此有，故011nIA022nIAtiiik11jsjjk12可被線性表示，于是為基，令st,2121st,2121則。stP,212122111APP 10第第 5 5 章章 結(jié)結(jié) 論論隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是電子計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，為矩陣?yán)碚摰难芯窟M(jìn)一步開辟了更加廣闊的前景，因此學(xué)習(xí)和掌握矩陣論的基本理論與方法，對于工程技術(shù)人員、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的，并且有著重要的意義和應(yīng)用價值。矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，而矩陣的對角化是矩陣論中的一個重點內(nèi)容。本文論述了矩陣可對角化的基本理論，在此基礎(chǔ)上探