勾股定理知識點與常見題型總結

1、。第 18章勾股定理復習一知識歸納勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為 c ，那么 a 2b2c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了 “勾三，股四，弦五 ”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 . 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，

2、沒有空隙，面積不會改變 根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 4 1 ab (b a)2c2 ，化簡可證2DCHEGFbaAcB方法二：baaccbcbcaab四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為1ab22S 4c2ab c2大正方形面積為S(a b) 2a22abb 2222所以 a bc方法三： S梯形1( ab ) (ab) ， S梯形2S ADES ABE21ab1c2 ，化簡得證222-可編輯修改 -Aa。Dbcc E aBbC . 勾

3、股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形 . 勾股定理的應用 已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在ABC 中，C90 ，則 ca2b2， bc2a2 ， ac2b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系可運用勾股定理解決一些實際問題. 勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a ， b ， c 滿足 a2b2c2 ，那么這個三角形是直角三角形，其中c 為斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形

4、 ”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和22與較長邊的平方2abc 作比較，若它們相等時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2 ，時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若222，時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是銳角三角形；abc 定理中 a ， b ， c 及 a 2b 2c2 只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a ， b ， c滿足 a2c2b2 ，那么以 a， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方

5、和時，這個三角形是直角三角形. 勾股數能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即a 2b 2c2 中， a ， b ， c 為正整數時，稱 a ， b ， c 為一組勾股數 記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等 用含字母的代數式表示n 組勾股數：n21,2n, n21 （ n2,n 為正整數）；2n1,2n22n,2n 22 n1 （ n 為正整數）m2n2 ,2 mn, m2n 2 （ mn, m ， n 為正整數）勾股定理的應用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明

6、問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線） ，構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解 . 勾股定理逆定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體-可編輯修改 -。推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論 . 勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形

7、，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：CCC30°AABADBBDCBDA題型一：直接考查勾股定理例.在ABC中，C90 已知 AC6， BC8求 AB的長已知 AB17， AC15 ，求 BC 的長分析：直接應用勾股定理a2b2c2解： AB2210ACBC BCAB2AC28題型二：應用勾股定理建立方程例 .在 ABC 中，ACB90，AB5 cm ， BC3 cm ， CD AB 于 D ， CD 已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4 ，斜邊長為 15，則這個三角形的面積為已知直角三角形的周長為30 cm ，斜邊長為 13cm ，則這個三角形的

8、面積為分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積有時可根據勾股定理列方程求解解：22ACBC ACABBC4，CD2.4ADBC-可編輯修改 -。設兩直角邊的長分別為3k ， 4k(3k)2(4k )2152 ，k3 ，S54設兩直角邊分別為 a ， b ，則 ab17 ， a2b2289，可得 ab60 S1ab 302例.如圖ABC中，C 90，12，CD，BD2.5，求AC的長1.5CD1A2EB分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結合起來解：作 DEAB于 E，1 2，C90DE CD 1.5 在 BDE中BED90 ,BEBD 2DE22Rt

9、ACDRt AEDACAE在 Rt ABC 中， C 90AB2AC 2BC2， (AEEB)2AC 24 2AC 3例 4. 如圖 Rt ABC ， C 90AC3,BC4 , 分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積CAB2cm答案： 6題型三：實際問題中應用勾股定理例 5. 如圖有兩棵樹，一棵高8 cm ，另一棵高 2 cm ，兩樹相距 8 cm ，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數的樹梢，至少飛了mAEDBC-可編輯修改 -。分析：根據題意建立數學模型，如圖AB8 m ， CD2 m ， BC8 m ，過點 D 作 DEAB ，垂足為 E ，則 AE6 m ， DE 8 m在 RtADE

10、 中，由勾股定理得 ADAE 2DE 210答案： 10 m題型四：應用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三邊長為a ， b ， c ，判定ABC 是否為 Rt a1.5， b2， c2.5 a5 ， b1， c243解：a 2b21.52226.25 ， c22.526.25ABC是直角三角形且C90b2c213 ， a225 ， b2c2a2ABC 不是直角三角形916例 7.三邊長為 a ， b ， c 滿足 ab10 ， ab18 ， c8 的三角形是什么形狀？解：此三角形是直角三角形理由：a 2b2(ab) 22ab64，且 c264a 2b 2c2所以此三角形是直角三角形題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應用例 8. 已知 ABC 中， AB 13 cm ， BC 10 cm ， BC 邊上的中線 AD 12 cm ，求證： AB AC 證明：