圓的極坐標方程

1、圓的極坐標方程1 .曲線的極坐標方程一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f（p,e）=0,并且坐標適合方程f（p,e）=0的點都在曲線C上，那么方程f（p,e）=0叫做曲線c的極坐標方程.2 .圓的極坐標方程（1）特殊情形如下表圓心位直極坐標方程圖形圓心在極點（0,0）p=r(0<e<2兀)圓心在點（r,0）p=2rcos8兀(一1.八兀e<2)兀圓心在點（r,）p=2rsin9(0we<兀)圓心在點（r,兀）p=2rcose(兀03兀)(；圓心在點（r,2）p=-2rsine(一<<8w0)©（2）一般情形：

2、設(shè)圓心qP0,00）,半徑為r,MP,0）為圓上任意一點，則|CM=r,/coivt|ee0|,根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標方程為p22p0pcos（e-e0）+p2-r2=0,1.極坐標方程P=4表示的曲線是（）A.過（4,0）點，且垂直于極軸的直線B.過（2,0）點，且垂直于極軸的直線C.以（4,0）為圓心，半徑為4的圓D解析：選D.由極坐標方程的定義可知，極坐標方程.以極點為圓心，半徑為4的圓p=4表不以極點為圓心，以4為半徑的圓.2.圓心在（1,0）且過極點的圓的極坐標（）A.p=1Bp=cos0C.p=2cos0D.p=2sin0解析：選C.經(jīng)過極點O且半徑為a的圓的極坐標方程為=2

3、acose,因圓心在（1,0）,所以半徑為1,所以極坐標方程為p=2cos0,故選C.3.極坐標方程兀=cos4表示的曲線是（）A.雙曲線橢圓解析:選D.P=cos兀T-e7171=coscos0+sinsine+*sie,所以pcose+斗即X2+y2=¥x+2122y.化簡整理得x平+y平=1,表示圓選D.4.極坐標方程p=2cos0表示的曲線所圍成的面積為解析：由p=2cos0=2X1xcos0知，曲線表示圓，且圓的半徑所以面積8=兀答案：Tt圓的極坐標方程例fl求圓心在C2,3處并且過極點的圓的極坐標方程，并判斷點5兀2,sin6是否在這個圓上.解如圖，由題意知,圓經(jīng)過極點O

4、OA為其一條直徑，設(shè)MP,0）為圓上除點OA以外的任意一點，則|OA=2r,連接AM則OMLMA,一3兀在RtOA汕,10M=|OAcos/AOM即p=2rcos-20所以p=4sin0,經(jīng)驗證，點0（0,0）,A4,2-的坐標滿足上式.所以滿足條件的圓的極坐標方程為p=-4sin9.因為sin5兀1所以p=-4sin9=-4sin-6-=2,5兀所以點一2,sin-在此圓上.6求曲線的極坐標方程的五個步驟（1）建立適當?shù)臉O坐標系（本題無需建）；（2）在曲線上任取一點mp,e）；（3）根據(jù)曲線上的點所滿足的條件寫出等式；（4）用極坐標（p,e）表示上述等式，并化簡得曲線的極坐標方程；（5）證明

5、所得的方程是曲線的極坐標方程.（一般只要對特殊點加以檢驗即可）.注意求曲線的極坐標方程，關(guān)鍵要找出曲線上的點滿足的幾何條件，并進行坐標表本.兇JR蹤訓(xùn)練求圓心在C版彳，半徑為1的圓的極坐標方程.解：設(shè)圓C上任意一點的極坐標為MP,8）,如圖，在OCMK由余弦定理，得|OM2+|OC22|OM|OC-cosZCOM|CM2,即p2-22pcos94+1=0.當O,C,M三點共線時，點M的極坐標后1,A也適合上式，所以圓的極坐標方程為p2-22pcos0-+1=0.圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化EE）進行直角坐標方程與極坐標方程的互化：y2=4x；(2)x2+y22x1=0;(3)1P=

6、71;r2cos0解(1)將x=pcos0,y=psin0代入y2=4x,得(Psin8)2=4pcos9.化簡，得psin20=4cos0.(2)將x=pcos0,y=psin0代入y2+x22x-1=0,得(psin0)2+(pcos0)22pcos01=0,2-化間，得p2pcos81=0.一、，1因為p=2TT'所以2ppcos9=1.所以242+y2x=1.化簡，得3x2+4y2-2x-1=0.在進行兩種坐標方程間的互化時應(yīng)注意的問題(1)互化公式是有三個前提條件的，即極點與直角坐標系的原點重合、極軸與直角坐標系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標系的單位長度相同.(2)由直角坐標求

7、極坐標時，理論上不是唯一的，但這里約定只在0We<2兀范圍內(nèi)求值.(3)由直角坐標方程化為極坐標方程，最后要注意化簡.(4)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性，通常要用p去乘方程的兩端，應(yīng)該檢查極點是否在曲線上，若在，是等價變形，否則，不是等價變形.QJR蹤訓(xùn)練1.把下列直角坐標方程化為極坐標方程.1 1)y=*x；(2)x2-y2=1.解：(1)將x=pcos0,y=psin0代入y=>/3x得psin8=43pcos0,從而化簡，得21cos29.(2)將x=pcos0,y=psine代入x2-y2=1,得p2cos20p2sin20=1,2 .把下列極坐標方程化

8、為直角坐標方程.(1) p2cos20=1;一一八兀(2) p=2cos0-.解：(1)因為p2cos20=1,所以p2cos20-p2sin20=1.所以化為直角坐標方程為x2-y2=1.一.兀兀L-.21(2)因為p=2cos0cos+2sin0sin=cos0+2sin0,所以p="pcos8+，2psin0.所以化為直角坐標方程為x2+y2，2xJ2y=0.求相關(guān)動點的極坐標方程例3)從極點O作圓C：p=2acos0的任意一條弦ON求各弦的中點M的極坐標方程.解法一：如圖所示，圓C的圓心qa,0),半徑r=|OC=a,因為M為弦ON的中點，連接CM所以CMLON故M在以。的直

9、徑的圓上，所以動點M的極坐標方程是p=acos9.因為所以因為所以法二：設(shè)MP,0),NP1,81).N點在圓p=2acos0上，p1=2acos01.M是ON勺中點，P1=2p,91=9.將它代入式得2p=2acos0,故M的極坐標方程是p=acos0.將本例中所求得的中點M的極坐標方程化為直角坐標方程.2解：因為p=acos0,所以p=a-pcos0,所以x2+y2=ax,所以中點M的直角坐標方程為x2+y2ax=0.本例所涉及的問題有相關(guān)的兩個動點，其中一個動點的軌跡方程已知，求另一個動點的軌跡方程.求解時找出等量關(guān)系，代入化簡即可.蹤訓(xùn)練從極點O弓I定圓p=2cos0的弦OP延長OP到

10、Q使祟|,求點Q的PQ3極坐標方程，并說明所求的軌跡是什么圖形?解：設(shè)Qp,9),P(p0,80),貝U8=80,=2,所以P0=|p,因為pp035它表不一個圓.=2cos80.所以：p=2cos8,即p=5cos51 .曲線的極坐標方程與直角坐標方程的區(qū)別由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一",即（p,8）,（P,2ti+8）,（p,兀+e）,（p,兀+e）都表示同一點的坐標，這與點的直角坐標的唯一性明顯不同，所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例,.,一，、一一.兀兀.兀兀，、兀兀，、如對于極坐標方程p=8,點M,可以表不為,+2%或

11、,2%或1,等多種形式，其中，只有,的極坐標滿足方程p=0.2 .曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互相轉(zhuǎn)化與點的極坐標與直角坐標的互相轉(zhuǎn)化一樣，以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位.平面內(nèi)的曲線（含直線）的極坐標方程與直角坐標方程也可以進行互相轉(zhuǎn)化.3 .求曲線的極坐標方程求解步驟與直角坐標系中求曲線方程的步驟基本相同.較簡單曲線的極坐標方程可直接求，較復(fù)雜曲線的極坐標方程可以先求直角坐標方程，然后再轉(zhuǎn)化.4 .極坐標方程表示的曲線形狀的判斷方法極坐標方程對應(yīng)曲線的形狀往往不易看出，通常是先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程后再分析形狀.1 .極坐標方程p=1表木

12、（）A.直線B.射線C.圓D.半圓解析：選C.因為p=1,所以p2=i,所以x?+y2=l.所以表示圓.2 .極坐標方程p=asin0（a>0）所表示的曲線的圖形是（）設(shè)MP,0）是圓上任意一點，則/ONMZMOx=0,在RtANMCO3,|OM=|ONsinZONM即p=2rsin9=asin9.,圓心的0代入得3 .把圓C的極坐標方程p=2cos0轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為直角坐標為.解析：因為p=2cos0,所以p2=2pcos8,將p2=x2+y2,x=pcos直角坐標方程為x2+y2=2x,其圓心坐標為(1,0).答案：x2+y2=2x(1,0)4 .寫出圓心在(1,-1)處，且過原

13、點的圓的極坐標方程.解：圓的半徑為r=圓的直角坐標方程為(x1)2+(y+1)2=2.變形得x2+y2=2(x-y),用坐標互化公式得p2=2(pcos0-psin0),即p=2cos02sin0.A基礎(chǔ)達標1 .在極坐標系中，圓心在A.p=2a/2cos0C.p=2/2sin0(也，兀)且過極點的圓的方程為()B.p=2/2cos0D.p=-272sin0解析：選B.如圖所示，P(2,兀)，在圓上任找一點M(P,8),延長OP與圓交于點Q則/OMQ90,在RtAOM（J,10M=|OQ-cos/QOM所以p=2，2cos（兀-9）,即P=2小cos0.選B.2.x1圓心分別為2，°

14、，。，2，圓心距d=、/4+T=*，故選D.+y24x=0的極坐標方程為（）A.p=2cos0B.p=2sin0解析：選C.把x=p-cos9,y=p-sinC.p=4cos0D.p=4sin09,x2+y2=p2代入得p24pcose=0,所以p=0或p=4cos9.又極點也在p=4cos0上，故選C.3.圓p=5cos05，3sin0的圓心坐標是（）A.5,B.5,7C.5,yD.5,三3333解析：選D.因為p=5cos0-53sin0,所以p2=5pcos05/3psin8,所以x2+y2=5x5g3y,所以x-|+y+52-=25,所以圓心八y_八5兀tan9=*/3,9=2,X3所

15、以圓心C的極坐標為C5,粵.3p=sin0的兩個圓的圓心距是（）2.1D.三24.極坐標方程分別為p=cos9和A.2B.啦C解析：選D.兩圓的直角坐標方程分別為1 2,212,121X2+y=-,X+y2=4，5.極坐標方程p=cos(7t8）表木的曲線是（）A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.圓解析：選D.因為p=cos彳，即P=¥(cos8+sin8),2：2.一.一所以P=弓Pcos0+psin0),所以x2+y2=x+-y,即x+y=7.224446 .在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為p=2sin0,則曲線C的直角坐

16、標方程為.解析：因為p=2sin8,所以p2=2psin8,所以x2+y2=2y,即x2+y2-2y=0.答案：x2+y22y=07 .圓心在點（3,兀）處，半徑為3的圓的極坐標方程為.解析：如圖所示C（3,兀），A（6,兀），設(shè)M（P,0）為圓上異于QA的任一點，連接OMAM則OMLAM|OA=6為圓C的直徑，在RtOMM,/AO隨兀0或0兀，因為|OM=|OAcos（兀一e）,所以p=6cos（兀-9）,即p=6cos0,驗證知OA也適合，所以所求圓的極坐標方程為p=-6cos8（_2"W0<2）.答案：p=6cos0(_2-&0&-2-)8.在極坐標系中，

17、若過點A（3,0）且與極軸垂直的直線交曲線p=4cos0于A、兩點，則|AB=.解析：由題意知，直線方程為x=3,曲線方程為（x2）2+y2=4,將x=3代入圓的方程，得y=土水，則|AB=23.答案：239.把下列直角坐標方程與極坐標方程進行互化.（1） x2+y2-2x=0;（2） p=cos92sin9;p2=cos28.解：(1)因為x2+y22x=0,2所以p2Pcos9=0.所以p=2cos0.(2)因為p=cos02sin0,所以p2=pcos02psin0.所以x2+y2=x2y,即x2+y2-x+2y=0.因為p2=cos20,所以p4=p2cos20=(pcos0)2.所以

18、(x2+y2)2=x2,即x2+y2=x或x2+y2=x.10.若圓C的方程是p=2asin0,求：(1)關(guān)于極軸對稱的圓的極坐標方程；(2)關(guān)于直線0=34對稱的圓的極坐標方程.解：設(shè)所求圓上任意一點m的極坐標為（p,e）.點Mp,e）關(guān)于極軸對稱的點為（p,e）,代入圓C的方程P=2asin0,得p=2asin（e）,3P,28，代入圓C的方程p=即p=2asin0為所求.（2）點mp,e）關(guān)于直線e=34L對稱的點為32asin8,得p=2asin9，即p=2acos0為所求.B能力提升11.以極坐標系中的點（1,1）為圓心，1為半徑的圓的方程是（）p=2sinC.p=2cos(01)Dp=2sin(81)解析：選C.在極坐標系中，圓心在（p。，00）,半徑為r的圓的方程為:222r=p。+p2pp0cos(880),所以可得p=2cos(01).2兀兀12.在極坐標系中，已知點P2,可，點Q是圓p=2cos0+上的動點，則|PQ的最小值是_.5解析：