圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

1、第十講圖形的平移與旋轉(zhuǎn)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家'舊格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科.幾何變換是指把一個幾何圖形E變換成另一個幾何圖形區(qū)的方法,假設(shè)僅改變圖形的位置,而不改變圖形的形狀和大小,這種變換稱為合同變換,平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.如圖1,假設(shè)把平面圖形尺上的各點(diǎn)按一定方向移動一定距離得到圖形艮后,那么由的變換叫平移變換.平移前后的圖形全等,對應(yīng)線段平行且相等,對應(yīng)角相等.如圖2,假設(shè)把平面圖邑繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度得到圖形邑,那么由F：到F：的變換叫旋轉(zhuǎn)變換,其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中央,定角叫旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中央

2、的距離相等.通過平移或旋轉(zhuǎn),把局部圖形搬到新的位置,使問題的條件相對集中,從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化,促使問題的解決.注合同變換、等枳變換、相似變換是根本的幾何變換.等積變換,只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換,只保存線段間的比例關(guān)系,而線段本身的大小要改變.例題求解【例1】如圖,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA：PB：PC=1：2：3,那么NAPD二.思路點(diǎn)撥通過旋轉(zhuǎn),把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個三角形.【例2】如圖,在等腰RtZABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M,N,使NMCN=45°,記AM=m,MN=x,DN=n,那么以線段x、m、n為邊長的

3、三角形的形狀是A.銳角三角形B.直角三角形八央C.鈍角三角形D.隨x、m、n的變化而改變/次思路點(diǎn)撥把ACN繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)45°,得ACBD,這樣NACM+/BCN=45°就集中成一個與NMCN相等的角,在一條直線上的限X、n集中為DNB,只需判定口處的形狀即可.注以下情形,常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換:圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形,把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；圖形中有線段的中點(diǎn),將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,構(gòu)造中央對稱全等三角形;圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段,將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn),旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合.【例3】如圖,六邊形A

4、DCDEF中,ANDE,BCEF,CDAF,對邊之差BC-EF=EDAB=AFCD>0,求證：該六邊形的各角相等.全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題思路點(diǎn)撥設(shè)法將復(fù)雜的條件BC-FF=ED-AB=AF-D>0用一個根本圖形表示,題設(shè)中有平行條件,可考慮實(shí)施平移變換.注平移變換常與平行線相關(guān),往往要用到平行四邊形的性質(zhì),平移變換可將角,線段移到適當(dāng)?shù)奈恢?使分散的條件相對集中,促使問題的解決.例4如圖,在等腰AABC的兩腰AB.AC上分別取點(diǎn)E和F,使AE=CF.己知BC=2,求證:EF21.西安市.競賽題思路點(diǎn)撥本例實(shí)際上就是證實(shí)2EF2BC,不便直接證實(shí),通過平移把BC與EF集中到同一個三角

5、形中.注三角形中的不等關(guān)系,涉及到以下根本知識:兩點(diǎn)間線段最短,垂線段最短:2三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊:3同一個三角形中大邊對大角大角對大邊,三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.例5如圖,等邊AABC的邊長為匚三,點(diǎn)P是AABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA:W=PC:,假設(shè)PC=5,求PA、PB的長.“希望杯邀請賽試題思路點(diǎn)撥題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA4PB'=PC二的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形,不能直接應(yīng)用,通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個三角形中,這是解本例的關(guān).鍵.學(xué)歷練習(xí)1 .如圖,P是正方形是正內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)將4ABP繞點(diǎn)B顧時針方向旋轉(zhuǎn)能與CBP'重合,

6、假設(shè)PB=3,那么PP'2 .如圖,P是等邊aABC內(nèi)一點(diǎn),PA=6,PB=8,PC=10,那么NAPB假設(shè)AD二a,AB=b,那么CD的長為4.如圖,把逐1電RC第2題分即圖中陰影局部的面積是AABC的3 .如圖,四邊形ABCD中,ABCD,ZD=2ZB,第4局第5題第6題面積的一半,假設(shè)AB二回,那么此三角形移動的距離獨(dú)'是A.SB.0C.1D.32002年荊州市中考題5 .如圖,AABC中,AB=AC,NBAC=90°,直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F,給出以下四個結(jié)論：AE二CF：AEPF是等腰直角三角形；Sm學(xué)產(chǎn)弓S.；

7、EF=AP.當(dāng)NEPF在aABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)E不與A、B重合,上述結(jié)論中始終正確的有A.1個B.2個C.3個D.4個2003年江蘇省蘇州市中考題6 .如圖,在四邊形用BCD中,AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,BELAD于E,SW板,gd=8,那么BE的長為A.2B.3C.aD.a2004年武漢市選拔賽試題7 .如圖,正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為因和囚,對角線BD、FH都在直線J上,0八0二分別為正方形的中央,線段0的長叫做兩個正方形的中央距,當(dāng)中央0：在直線W上平移時,正方形EFGH也隨之平移,在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有變化.1計算：0：D=,

8、0于二：2當(dāng)中央0：在直線W上平移到兩個正方形只有一個公共點(diǎn)時,中央距0,0:二:3隨著中央0二在直線W上平移,兩個正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)還有哪些變化?并求出相對應(yīng)的中央距的值或取值范圍不必寫出計算過程.徐州市中考題8 .圖形的操做過程此題中四個矩形的水平方向的邊長均為a,豎在方向的邊長均為b：在圖a中,將線段A盤;向右平移1個單位到B息,得到封閉圖形AABB二即陰影局部：在圖b中,將折線AAA,向右平移1個單位到得到封閉圖形AAABBBs即陰影局部;1在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影：（2） 請你分別寫出上述三個圖形中除去

9、陰影局部后剩余局部的而積：Sk,.S廣,S尸一（3） 聯(lián)想與探索：如圖d,在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路小路任何地方的水平寬度都是1個單位,請你猜測空白局部表示的草地面積是多少并說明你的猜測是正確的.2002年河北省中考題9 .如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),ACM、4CBN是等邊三角形,求證：AN=BM.說明及要求：此題是?幾何?第二冊幾15中第13題,現(xiàn)要求：1將繞C點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°,使A點(diǎn)落在CB上,請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形不寫作法,保存作圖痕跡.2在所得的圖形中,結(jié)論“AN=BM是否還成立?假設(shè)成立,請證實(shí)：假設(shè)不成立,請說明理由.3在得到的圖形中,

10、設(shè)MA的延長線與BN相交于D點(diǎn),請你判斷AABD與四邊形MDXC的形狀,并證實(shí)你的結(jié)論.10 .如圖,在RtZkABC中,ZA=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中央,把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至ADEF,那么旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形重疊局部的面積是cm:.11 .如圖,在梯形ABCD中,ADBC,ND=90.,BC=CD二12,ZABE=45G,點(diǎn)E在DC上,AE、BC的延長線交于點(diǎn)F,假設(shè)AE=10,那么Srw+Sfe的值是.紹興市中考題第題<«11(.第12 .如圖,在AABC中,NBAC=120°,

11、P是ABC內(nèi)一點(diǎn),那么PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是A.PA+PB+POAB+ACB.PA+PB+PCXAD+ACC.PA+PB+PC=AB+ACD.無法確定13 .如圖,設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3,那么PC所能到達(dá)的最大值為A.3B.叵1C.5D.6rr/2004年武漢市選拔賽試題第13題14 .如圖,AABC中,AB=AC,D為AB上一點(diǎn),E為AC延長線上一點(diǎn),BD二CE,連DE,求證：DE>DC.15 .如圖,P為等邊aABC內(nèi)一點(diǎn),PA、PB、PC的長為正整數(shù),且PA:+PBJPC*設(shè)PA=m,n為大于5的實(shí)數(shù),滿!,求AABC的面積.16 .

12、如圖,五羊大學(xué)建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河,目回表示小河甲,回因表示小河乙,A為校本部大門,B為分校大門,為方便人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.圖中的尺寸是：甲河寬8米,乙河寬10米,A到甲河垂直距離為40米,B到乙河垂直距離為20米,兩河距離100米,A、B兩點(diǎn)水平距離與小河平行方向120米,為使A、B兩點(diǎn)間來往路程最短,兩座橋都按這個目標(biāo)而建,那么,此時A、D兩點(diǎn)間來往的路程是多少米“五羊杯競賽題17 .如圖,ABC是等腰直角三角形,NC=90",0是AABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)0到AABC各邊的距離都等于1,將.竊(：繞_點(diǎn)0順時針旋轉(zhuǎn)45°,得

13、ABC*,兩三角形公共局部為多邊形KLMNPQ.(1)證實(shí)：AKL、BMN、4CPQ都是等腰直角三角形；(2)求AABC與ABQ公共局部的而積.(山東省競賽題)18 .(1)操作與證實(shí)：如圖1,0是邊長為a的正方形ACBD的中央,將一塊半徑足夠長,圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在0點(diǎn)處,并將紙板繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn),求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋局部的總長度為定值.(2)嘗試與思考：如圖2,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中央0點(diǎn)處,并將紙板繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn),.當(dāng)扇形紙板的圓心角為一時,正三角形的邊被紙板覆蓋局部的總長度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為時,正五邊形的邊被紙板

14、覆蓋局部的總長度也為定值a.(3)探究與引申：一般地,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中央0點(diǎn)處,并將紙板繞.點(diǎn)旋轉(zhuǎn).當(dāng)扇形紙板的圓心角為時,正n邊形的邊被紙板覆蓋局部,的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋局部的面積是否也為定值?假設(shè)為定值,寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；假設(shè)不是定值,請說明理由.(江蘇省連云港巾中考題)E(例5圖)?例,四)圖圖形的平移與旋轉(zhuǎn)【例題求解】例1把APAB筑B點(diǎn)順時什族豺90博產(chǎn)BC,財PABSAP'BC也PA=*P8=2,PC=3連P,得等展RtPB產(chǎn),PP=21*+2*=8/PP'b=45"又PL=P&

15、#39;+P'C得ZP/C=90°.故,4PB=/CPB"4$+90=135二例2逸BACMaBCD./4CM-NBCD.CMCD./MCNH/NCD=45,又CN=CN,tH4MN慳&DNC、MN=ND-人八M-BD-nt,又/DBN-45*+45,-90,財m?十"-F.匕圖.分訊過A點(diǎn)作AMEF、mC點(diǎn)作CPAB、過E臣ENAF.它們分別交于N.M、P點(diǎn),得LI7ABCM、aCDEP.CJEFAN.剜EFAN.人8&CM.CD=PEBC=AM.AB=CMCP=DE,AF=NE,由條件博NMP為等邊三角形可投得六邊形的位命均為1ZO：如

16、圖,過E點(diǎn)作ED2BC連CD.FD,那么四邊形EBCD為平行四邊形.8£=CD=AF./A=/DCF又AE=CF,那么AE24CFD,褥EF-DF,在ADEF中,DF4EFAED,即2EF>BC=2,所以EF>1,特別地,當(dāng)E、F分料為466；中點(diǎn)時石尸-1,故EF>1.例5如圖.IEABPC繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60瑪8PzA.WaBPC&ABP'A1/-BP.P/A-PC,又/P'BP=60'得P'BP為等邊三角形.尸尸=8尸.VPC=P/A,-PB,+PA,*PZP,-PA.ZAPP/«9OZAPB*150延長八P過

17、H作BQJ_AP交AP延長找于Q,iftPA=T.PB=y.WBQ=yy.PQ=yy.Q=什冬在RiZxABQ中奴+人QAff,即4J+工+空J(rèn)-/25+12>又PImPA'-PB,即/+=25jr»3|l3或i故PA=4.PB-3«PA-3.PB-4y=3ly=4【學(xué)力練習(xí)】一1.3a2.150*工b-a4.AS.C6.D7 .lOID=2.QF=li2O1Q=2+l«3i(3)當(dāng)2-1VQQ<2+l時,即l<QtQ<3時.兩個正方形有兩個公共點(diǎn),當(dāng).=271時,兩個正方形有無數(shù)個公共點(diǎn),當(dāng)01a<2一,即5G<1時,

18、兩個正方形沒有公共點(diǎn),或.>3時兩個正方形沒有公共點(diǎn).8 .(1)如圖.(2).方一.6,一(3)猜測,依據(jù)前因的有關(guān)計算可以第想單地的面租仍然是“一A方案,將"小路沿看左右兩個邊界.剪去.將左側(cè)的單炮向右平修一個單位,得到一個新的矩形(如圖).理由：在簫得到的矩形中9其縱向1E仍然是6,其水平方向的長變成了«1,所以草地的面租就是Ha-l)=ab-瓦9 .(1)略j(2)-結(jié)論AN=8A仍然成立,(3)AAB&是等邊三角形四邊形MDNC是平行四邊形,1«.1.44由/版“人.,火PS-1.5cm,FS-0.5cm,由FPQMCAB,磴黑=(券)&#

19、39;T：ScFFQ=1.5.同理可求.0.06.10 .48或30過8作BGJ»AD交D人延長線于G,得四邊形BCDG為正方形,又把RtZkBCE故點(diǎn)B逆時針處轉(zhuǎn)900得BGE劃BE-BE且/EB£-90,A£-AE一】0,諛CEsi.WJAG=10I,DE=12-1.AD=DG-AG=h+2在RtZiADE中由32“尸+«+2尸=102,得工=4或千=6.12.A把8AP燒點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60,詢BDQ,連PQ.ADADBA、aQ8P均為正三角形,可證實(shí)D.A、C三點(diǎn)共找.PA+PB+PC=DQ+PQ+PODC-DA+AC=AB+AC.B.C旋轉(zhuǎn)AB使

20、ARAC重合P旋轉(zhuǎn)到P'/PAB=NP'AC.NPAP'=60.PP/=PA=PA,Z.P'CmPB=3,PC?PP+PC=5.U.作DF4BC,那么四邊形DBCF為平行四邊形.設(shè)法證實(shí)/DFF>NDEF.15 .由條件得一舞-5-6加力-5+9川一5<0.«-5m3'£0.ff>5./.y»=3,參見例5,可求得A8=25+12"島*=#A秒邛25+12=9+苧(16Sffl>16 ,218米設(shè)在小河甲上建了橋CD,小河乙上建了橋EF那么A,8網(wǎng)點(diǎn)間來往路徑是折級ACDEFB.作AA

21、9;«L河岸Tl_河岸,方向是對看小河,使八八'=小河甲寬度B&-小河乙寬度,連A'D,B'E,那么折城ACDEFB的長度等于折線人人'DEB'8的長度等于折線A'DEB的長度加上兩河寬度和.為使A.B來往路程僅短需使折戰(zhàn)A'DEB'的長度到達(dá)酷小值.因此連結(jié)A'B'.交Z,于.交/,于£",格橋IDIEF,那么折線A'DEB'成為線段A'D'E'B''K度最小.兩座橋/.,干尸符合要求.此時所求的路程為xN8+】0+A'b'=18+/120'十十.十20十】00尸=18+200=218*.17 .1連結(jié)OC、DG分別交PQ.NP于點(diǎn).