圓錐曲線中的最值及范圍問題

1、圓錐曲線中的最值及范圍問J橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.解析幾何與代數(shù)方法的綜合.新題型分類例析熱點(diǎn)題型1：重要不等式求最值(05浙江理17)如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)”，鳥在x軸上，長(zhǎng)軸AA的長(zhǎng)為4,左準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)為M.網(wǎng)：以£=2：1.(I)求橢圓的方程；(II)若直線x=MI加>1),尸為h上的動(dòng)點(diǎn)，使用最大的點(diǎn)尸記為。，求點(diǎn)。的坐標(biāo)(用s表示).本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角，點(diǎn)的坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.)2解：(【)設(shè)橢圓方程為二+二cr2-a=2(a-c)

2、c由題意，得2a=4/.a=2,b=6,c=1a2=b2+c2故橢圓方程為千+,1.(II)設(shè)P(7,yo),l7l>l,當(dāng)先>0時(shí)，/"尸鳥=0；當(dāng)兒工0時(shí)，0v/F?PF2</PRM<三,2/.只需求tanNKPA的最大值即可.一設(shè)直線尸寫的斜率人=5二，直線P居的斜率3=阻，in+1m-1，tan4PF2=|X|=,工。+女#2|m-1+%2vw-I-Iy0Iyjnr-1當(dāng)且僅當(dāng)，/-1=1%I時(shí)，最大,Q（in,土-1）,Iml>1變式新題型1：=1的兩條漸近線為/112,己知橢圓C的方程是二+=1®>人>0）,雙曲線二一二

3、crb.crb-過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線/,使/又/與的交于P點(diǎn)，設(shè)/與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B（如圖）（1）當(dāng)人與乙的夾角為60。，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及離心率,（2）若工=24萬(wàn)，求丸的最大值.啟思熱點(diǎn)題型2：利用函數(shù)求最值點(diǎn)A、B分別是橢圓+=1長(zhǎng)軸的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn).點(diǎn)3620P在橢圓上，且位于X軸上方，PAYPF.（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于“必可，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.解：（1）由己知可得點(diǎn)月（-6,0）,尸（0,4）設(shè)點(diǎn)F（x,y）,則AP-肝6,y,FP=X一4,y,由已知可得

4、1)廠工廠<3620(x+6)(x-4)+y2=0-3則2父+9X一18=0,解得萬(wàn)一或看一6.2由于y>0,只能看;，于是產(chǎn)二;-.點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（3,出）22直線臚的方程是丫一C.K6=0.設(shè)點(diǎn)M見0),則"到直線臚的距離是也回2于是=舊+q,又一6曲6,解得團(tuán)2.橢圓上的點(diǎn)(8y)到點(diǎn)"的距離d有.5.49d-(x2)"+y=x4x+4+20a'=(x)-+15,992由于一6W0W6,，當(dāng)戶2時(shí)，d取得最小值Ji1.2變式新題型2-:>如圖，B(-c,0),C(c,0),AHLBC,垂足為H,且BH=3HC°(I)若盛*=

5、(),求以B、C為焦點(diǎn)并且經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率：-7(11) D分有向線段A3的比為4,A、D同在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上，當(dāng)一5«幾一一時(shí),2求橢圓的離心率e的取值范圍.解：(I)因?yàn)锽H=3HC,所以H(£,0)1分2又因?yàn)樵O(shè)A(二汽)2CC由AB-AC=0,得(c5凡)(cy0)=0即寸=3分所以1481=舊工+?=岳，IAQ=尸+?=c橢圓長(zhǎng)軸2a=ABMAC=(0+l)c4分所以，e=£=、Ql5分y（H）設(shè)D（m，乃），因?yàn)镈分有向線段A8的比為-c2,所以玉=2_）、=_*_7分1+A1+2設(shè)橢圓方程為二十二=1（。>人>0）,將A、D點(diǎn)

6、坐標(biāo)代入橢圓方程crlr+髭*青號(hào)L8分由得”=i-u,代入，整理的/=三±=/_+110分力42-12-17011因?yàn)橐灰灰唬訨h一，-12分232又0<e<1,所以金彥13分32草C如圖5熱點(diǎn)題型3：利用導(dǎo)數(shù)求最值在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖5所示）.將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DCh.（I）若折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程；（II）求折痕的長(zhǎng)的最大值.解（1）當(dāng)女=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程），=,一（2（2）當(dāng)女W0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落

7、在線段CD上的點(diǎn)為G（a）所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有koGk=-l,Lk=-lna=-ka故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（kJ）.k1從而折痕所在的直線與0G的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段OG的中點(diǎn)）為加（-一,一）221 Lk2k折痕所在的直線方程=k（x+-），即y=kx+-2 222由（1）（2）得折痕所在的直線方程為：1k2kk=0時(shí)，y=：ZH0時(shí)y=kx+222（H）（1）當(dāng)女WO時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2;（1）當(dāng)&W0時(shí)，折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為-,0）22k/公+1/公+1（4+1）3y=PN=（廠+（廠=22k'4k2/3（父+1）22八4女2一（/+1）3.弘L697令<

8、;=0解得八一十-PyVmax=f-<221O所以折痕的長(zhǎng)度的最大值2.熱點(diǎn)題型4：利用判別式求參數(shù)范圍設(shè)4（/，為）.夙,打）兩點(diǎn)在拋物線）=2/上，/是A8的垂直平分線.（1）當(dāng)且僅當(dāng)王+取何值時(shí)，直線/經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)尸？證明你的結(jié)論：（2）當(dāng)直線/的斜率為2時(shí)，求/在y軸上截距的取值范圍.注：本小題主要考察直線與拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考察邏輯推理能力和綜合分析、解決問題的能力.解法一：（1）fe/o|E4|=|goA、8兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等因?yàn)椋簰佄锞€的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y,>0（/=1,2）,依題意為、為不同時(shí)為0所以，上述條件等價(jià)于兌=力=x1=x；=（七+七）（

9、占-4）=。；注意到：王金公，所以上述條件等價(jià)于$+£=°.即：當(dāng)且僅當(dāng)玉+=0時(shí)，直線/經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)廠.（2）設(shè)/在y軸上的截距為，依題意得/的方程為y=2x+/八過點(diǎn)A、8的直線方程可寫為）,=一14+?，所以王、/滿足方程Zx'+x-?=0,即11+X2=-122A、8為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式=，+8?>0,也就是:4"7設(shè)A3的中點(diǎn)的坐標(biāo)為為（孔,凡），則有：演）1yn=_+1=一+in9320216由“e/得：+m="-+/?>于是：b=+m>-1641616329即：/在y軸上截距的取值范圍是一

10、,一132.解法二：（I）拋物線y=2/,即1=£,=2_2.焦點(diǎn)為尸（0,1）81分截距為b222X|+2X2-h一廣/2十I222$2。；1=無(wú)一Mk（1）直線/的斜率不存在時(shí)，顯然有再+=03分（2）直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)為k,即直線/：產(chǎn)kx+b由已知得：'匚七=hW2+4_z.225分.乂一乂1,=xrxi卜X；+X：=h七）|1A,人22/分=>Y*="1+/?>0=>/?>-尢人244、乂+尤=-八即/的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過焦點(diǎn)尸（0,1）8分8所以當(dāng)且僅當(dāng)王+二。時(shí)，直線/經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F9分（H）解:設(shè)直線/的方程為：y方x+b,故有過AB的直線的方程為y=x+m,代入拋物線方程有2x'+：x-m=0,得x,+x尸-；.由A.B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，于是上述方程的判別式=L+8m>0,即432由直線AB的中點(diǎn)為(上三二比也)=(-L-Lxo+m)=(L»J-+m),2282°8