大學(xué)線性代數(shù)必過復(fù)習(xí)資料

1、復(fù)習(xí)重點：第一部分行列式1 .排列的逆序數(shù)（P.5例4;P26第2、4題）2 .行列式按行（列）展開法則（P.21例13;P28第9題）3 .行列式的性質(zhì)及行列式的計算（P.27第8題）第二部分矩陣1 .矩陣的運算性質(zhì)2 .矩陣求逆及矩陣方程的求解（P.56第17、18題；P78第5題）3 .伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9;P56第23、24題；P.109第25題）、正交陣的性質(zhì)（P.116）4 .矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71;P100例13、14、15）第三部分線性方程組1 .線性方程組的解的判定（P71定理3;P.77定理4、5、6、7）,帶參數(shù)的方程組的解的判定（P.75例13;P80第1

2、6、17、18題）2 .齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）3 .非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）第四部分向量組（矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換）1 .向量組的線性表示2 .向量組的線性相關(guān)性3 .向量組的秩第五部分方陣的特征值及特征向量1 .施密特正交化過程2 .特征值、特征向量的性質(zhì)及計算（P.120例8、9、10;P.135第7至13題）3 .矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化（P.135第15、16、19、23題）要注意的知識點：線性代數(shù)1、行歹U式1. n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和a的大小

3、無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0;、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A;3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj=（-1戶與Aj=（T產(chǎn)Mj4. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；副對角行列式：副對角元素的乘積上、下三角行列式(和，：副對角元素的乘積拉普拉斯展開式:n(nV)父(-1)；:主對角元素的乘積;x(-1)2；=AB、=(-1)mnA|B、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積;、特征值5. 證明A=0的方法：、A=A;、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax=0,證明其有非零解;、利用秩，證明r(A)<n;、證明0是其特征值；2、

4、矩陣1. A是n階可逆矩陣：u，A#0(是非奇異矩陣)；。r(A)=n(是滿秩矩陣)WA的行(列)向量組線性無關(guān)；之齊次方程組Ax=0有非零解；aVbWRn,Ax=b總有唯一解；UA與E等價；UA可表示成若干個初等矩陣的乘積；UA的特征值全不為0;aATA是正定矩陣；UA的行(列)向量組是Rn的一組基；UA是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于n階矩陣A:AA*=A*A=AE無條件恒成立；111TT1TT*3. (A工)=(A尸(AA)T=(AT尸(A)T=(At)TTT*_1_1_1(AB)T=BtAt(AB)=BA(AB)=BA4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代

5、數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：a'若八=A2.一,則：<A)I、A=A|A2A；IA)、卜OfA-OOB)<OB)oOArfOB-''lBO)BO)A''AC/l'At-ACB、If=11©BJ(OB-JAi'AO子，A-O”、I：=l【1】FBj(-B七A-B3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個mxn矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：色O)f=i1；I。等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A、B,若r(

6、A)=r(B)uAgB;2 .行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0元素必須為1;、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;3 .初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)r若(A,E)g(E,X)，則A可逆，且X=A-；c、對矩陣(A,B)做初等行變化，當A變?yōu)镋時，B就變成A'B,即：(A,B)(E,A'B);r、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果(A,b)g(E,x),則A可逆，且x=A%；4 .初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、A=%,左乘矩陣

7、A,入乘A的各行元素；右乘，1乘A的各列元素；、對調(diào)兩行或兩列,1符號E(i,j),且E(i,j)-=E(i,j),例如：1如：乘某行或某列，符號E(i(k),且k:0)，行或某列，符號E(ij(k),且一1一E(ij(k)-=E(ij(-k),-ki(k00);1,5 .矩陣秩的基本性質(zhì)：、0<r(Amjn)<min(m,n)；、r(At)=r(A)；、若AgB,則r(A)=r(B);、若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max(r(A),r(B)<r(A,B)<r(A)+r(B);(X)、r(A+B)<r

8、(A)+r(B)；(X)、r(AB)<min(r(A),r(B);(X)、如果A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且AB=0,則：()I、B的列向量全部是齊次方程組AX=0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；n、r(A)r(B)_n、若A、B均為n階方陣，則r(AB)>r(A)+r(B)-n;6 .三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)M行矩陣(向量)的形式，再采用.5-二律合士口幺一型a1如cb的矩陣：利用二項展開式,1OO.、利用特征值和相似對角化:7.伴隨矩陣：nr(A)=n、伴隨矩陣的秩：r(A*)=,1r(A)=n1;|0r(A):：:n-1、伴隨矩陣的特征值:

9、A*x*A(AX=X,A=AA-AX=X);/u/u、A=AA4、8 .關(guān)于A矩陣秩的描述:ami,aiia2iX1"am2X2anmXn二bna12a22alna2n一AX_b(向量方程，A為mxn矩陣,m個方程,amiam2amn、r(A)=n,A中有n階子式不為0,n+1階子式全部為0;(兩句話)、r(A)<n,A中有n階子式全部為0;、r(A)>n,A中有n階子式不為0;9 .線性方程組：Ax=b,其中A為mxn矩陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;10 .線性方程組Ax=b的求解：、對

10、增廣矩陣B進行初等行變換(只能使用初等行變換)；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:aiiXiai2x2-»ainXn=bD、a2iXia22X2$、Ya2nXn未知數(shù))ai=p(全部按列分塊，其中p=髏n/aiXi+a2x2+anXn=P(線性表出)、有解的充要條件：r(A)=r(A,P)Wn(n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù))4、向量組的線性相關(guān)性1. m個n維列向量所組成的向量組A：oti,a：2，,%構(gòu)成nm矩陣A=(5,(/2,m);甲BTm個n維行向量所組成的向量組B：轉(zhuǎn)，空，空構(gòu)成mMn矩陣B=2;含有有

11、限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2 .、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)uAx=0有、無非零解；(齊次線性方程組)、向量的線性表出WAx=b是否有解；(線性方程組)、向量組的相互線性表示uAX=B是否有解；(矩陣方程)3 .矩陣Am而與B1/行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax=0和Bx=0同解;(Pioi例14)4 .r(ATA)=r(A);(Pioi例15)5 .n維向量線性相關(guān)的幾何意義:、0線性相關(guān)U口=0;、8P線性相關(guān)u口,P坐標成比例或共線(平行)；、a,P,T線性相關(guān)ua,P,Y共面；6 .線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若5«2；：Ots線性相關(guān)，則5&2,a平

12、心線性相關(guān)；若出色，,3s線性無關(guān)，則必,62,Us2必線性無關(guān)；(向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶)若r維向量組A的每個向量上添上n_r個分量，構(gòu)成n維向量組B:若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減)簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7 .向量組A(個數(shù)為r)能由向量組B(個數(shù)為s)線性表示，且A線性無關(guān)，則r<s；向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)<r(B);向量組A能由向量組B線性表示UAX=B有解；Mr(A)=r(A,B)向量組A能由向量組B等價yr(A)=r(B)=r(A,B)8 .方陣A可逆U存在有限個初等矩

13、陣P,P2,，R,使人=即巴；r、矩陣行等價：ABuPA=B(左乘，P可逆)uAx=0與Bx=0同解c、矩陣列等價：ABuAQ=B(右乘，Q可逆)；、矩陣等價：ABuPAQ=B(P、Q可逆)；9 .對于矢I陣Am減與B1“、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價，則Ax=0與Bx=0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 .若Am>sBs>n=Cm而,貝U：、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11 .齊次方程組

14、Bx=0的解一定是ABx=0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、ABx=0只有零解二Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解=ABx=0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組Bn簧:b,b2,，br可由向量組An*:a,a2,，a,線性表示為：(bi,b2,，br)=(a1,a2,，a$)K(B=AK)其中K為sr,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)Ur(K)=r；(B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：r=r(B)=r(AK)-<r(K),r(K)<r,.r(K)=r;充分性：反證法)注：當r=s時，K為方陣，可當作定理使用；13 .、對矩陣Am笈，存在Qn淅，AQ=EmUr

15、(A)=m、Q的列向量線性無關(guān)；、對矩陣An然，存在Pn刈，PA=En=r(A)=n、P的行向量線性無關(guān)；14 .口。2，,cts線性相關(guān)u存在一組不全為0的數(shù)ki,k2,ks,使得kM+k20(2+一十ksS=0成立；(定義)2、仁(0，0；：&)x2=0有非零解，即Ax=0有非零解；/sJura%,a)<s,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15 .設(shè)mxn的矩陣A的秩為r,則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩為：r(S)=n-r；16 .若"為Ax=b的一個解，。士，口工為Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則刈*匕，匕,，等上線性無關(guān)；5、相似矩陣1 .T1. 正交矩陣aata=e或a=a(定義)，性質(zhì)：1 i=j、A的列向量都是單位向量，且兩兩