線性代數(shù)模擬試卷五及答案

1、線性代數(shù)模擬試卷五一、選擇題(每小題3分，共30分)(1)若A為4階矩陣，則13A =()(A) 4 A(B) 34 A(C) 431A(D) 3 A(2)設(shè)A, B為n階方陣，A#0且AB = 0,則()(A) B = 0(B) BA = 0(C)(A + B)2 =A2 +B2(D) A =0或 B =0(3) A, B, C均為n階方陣，則下列命題正確的是()(A) AB = BA(B) A#0,B#0則 AB#0(C) AB =|A B(D)若AB = AC,則B=C(4) (A + B)2 = A2+2AB+B2成立的充要條件是()(A) AB = BA (B) A = E(C) B

2、 = E(D) A = B(5)線性方程組”一1)X+2y =a有唯一解，則卜為()2x (k -1)y = b(A)任意實(shí)數(shù)(B)不等于土石 (C)等于±V5(D)不等于0(6)若A為可逆陣，則(A")=()(A) A A(B)AA"(C)A"A(D)|a，A*(7)含有4個(gè)未知數(shù)的齊次方程組 AX = 0 ,如果R(A) =1 ,則它的每個(gè)基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3第1頁（共3頁）(8)設(shè)A為m m n矩陣，齊次方程組AX = 0僅有零解的充要條件是 A的(A)列向量線性無關(guān)(C)行向量線性無關(guān)(B)列向量線

3、性相關(guān)(D)行向量線性相關(guān)(9)已知矩陣A=(A)3-1，下列向量是A的特征向量的是(B)1、0，(C)(D)(10)二次型 f(X1,X2,X3)=X1222+ 4x2 +4x3 +21X1X22X1X3+4x2X3 為正 je 二次型，則兒的取值范圍是()(A) -2 ：1(C) -3一2(D) 2、計(jì)算題(第1、2小題每題5分,第3、4小題每題10分，共30分)1、計(jì)算行列式D4(5分)第2頁(共3頁),3 22、設(shè) A= 3 1<3 215 ,求A的逆A-1。(5分)301-11,B =20。（10 分）-1<5 3,0Q 13、求矩陣方程AX + B = X ,其中A =

4、 -1 1 L o4、求向量組% = （-1 1 4 3T,% = （2 -1 3 53，%=（1 0 7 8T, % = （5 -3 2 7 T的秩，并求出它的一個(gè)最大無關(guān)組。（10分）三、證明題（第1小題9分，第2小題6分，共15分）1、已知向量組四,%, %線性無關(guān)，回=%,22 ="1 +32,23 =G1 +儀2 +口試證向量組團(tuán)/，身線性無關(guān)。（9分）2、設(shè)A、B分別為m, n階可逆矩陣，證明：Sa、“ r o b、H = 0 A 可逆，且 H） B 。（6 分）B 0）A0 ）四、綜合題（第1小題15分，第2小題10分，共25分）X /.X1 x2 x3 = 11、九取

5、何值時(shí)，非齊次線性方程組|xi+Kx2+x3=，.，（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個(gè)解？并在有無窮多個(gè)解時(shí)求其通解。（15分）2、已知A為n階方陣，且滿足A2 -2A-3E =0（1）證明：A-2E可逆，并求（A2E）。（5分）（2）若 A =1,求 |4A+6E 的值。（5分）第5頁（共3頁）線性代數(shù)模擬試卷四參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題 每題3分,B（6） C計(jì)算題(30 分)共10題，共(2) D(7) D(30 分)30分(3) C(8) A(4) A(9) D(5) B(10) A第1頁（共3頁）xaaaxaaax +3aaaaaxaaa -xx -a000x -a00a

6、axaa -x0x -a000x -a0aaaxa -x00x -a000x-a1、2小題每題5分,3、4小題每題第共30分。D4=(x-a)3(x 3a)或以其它方式計(jì)算視情況酌情給分,結(jié)果正確得5分。2、對(duì)（A,E）作初等行變換,A變?yōu)镋時(shí)，E則變?yōu)锳(A,E)=3376-123-1-322= (E,A,)4分-121276-123-1-322也可用求伴隨矩陣的方法求該矩陣的逆，視情況都可酌情給分。3、由AX乃水，得（A E）X =-B,求X ,我們同樣可以用上面題目的方法,對(duì)（A-E,-B ）進(jìn)行初等變換，當(dāng)A-E變?yōu)镋時(shí)，-B則變?yōu)橐?4_X =(A E) B ,'-1 1(A

7、E,B)= -1 0L 001-2-1 1 )1-2 0 - 0-5 3) <010-11-11-1-10-3-331 0 0 3 -1、 0 1 0 2 0 =(E,-(A-E)JB) .8分100111,3f r1_則，X =-(A-E) B= 2J-1.,10 分0 4、作矩陣A=(% a21 0 1口，011最簡(jiǎn)形矩陣0 0 010 0 02, .6分71«3«4 尸4<321-1 03758經(jīng)過初等行變換可化為行-520,得R（A）= 2,即向量組%,a2,u3,a4的秩為-1>可取%, 口2為向量組的一個(gè)最大無關(guān)組 .10分由題意可知向量組中的

8、任何兩個(gè)（因?qū)?yīng)分量不成比例）都可以做為它的一個(gè)最大無關(guān)組。三、證明題（15分）第1小題9分，第2小題6分，共15分。1、證明:設(shè)有A,%,%使+%久+%03 =0 , 2分即 %(%)+%(% +%)十%(口1 +以2 +豆3)=。， .4分亦即(匕 +% +%)口1 +(% +%尸2 +%口3 =0 , .6分, 1 23=0因Ot1,O（2,Ot3線性無關(guān)，故有，九2十%=0， 8分7-3=0故方程組只有零解 % =% =% =0,所以向量組P1,P2,P3線性無關(guān)。.分.2、證明：HH-= '°<BaY 00八AB） £。八。0 _= Em 方En J

9、.4分第4頁（共3頁）.6分.6分（1）當(dāng)兒#1且入2 2時(shí)，方程組有唯一解;.8分故H可逆且H四、綜合題（25分）第1小題15分，第2小題10分，共25分。1、計(jì)算線性方程組的系數(shù)行列式1九九一11九=（九一1）（九十2）02 九?九當(dāng)A #0 ,方程組有唯一解，即(2)當(dāng)九=2時(shí)，方程組的增廣矩陣為,z-21111門0-1 0、B=1-21-2 01-10J124,10001 ,則R(A) =2,R(B) =3,方程組無解;10分（3）當(dāng)九=1時(shí)，方程組的增廣矩陣為q 1 1B= 1 1 1d 1 11 01； <01 1 10 0 0, R(A) = R(B)=1 ,0 0 0；.12分方程組有無窮多個(gè)解，可得通解為X1 = 1 - x2 - x3（x2, x3可任意取值）.15分.1分2、由 A 為 n 階方陣， A A2E = 3E =3n #0, .3 分A _A2E ¥0,，A 2E可逆，