錯(cuò)位相減法教學(xué)現(xiàn)狀及策略分析

1、錯(cuò)位相減法教學(xué)現(xiàn)狀及策略分析(432700)湖北省廣水市一中王道金.問題提出錯(cuò)位相減法是對(duì)一類數(shù)列(An+B)qn求和的特殊方法，這種方法可以高度體現(xiàn)學(xué)生的綜合運(yùn)算能力。錯(cuò)位相減法在高中教學(xué)教材中最早應(yīng)用于等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，一般情況下，學(xué)生對(duì)公式的推導(dǎo)過程并不重視，他們往往只關(guān)注公式的結(jié)果，可以說，一般學(xué)生初次接觸錯(cuò)位相減法時(shí)并沒有對(duì)其引起足夠的重視.學(xué)生真正重視錯(cuò)位相減法源于對(duì)數(shù)列(An+B)qn求和，他們對(duì)幾個(gè)類似的數(shù)列求和訓(xùn)練后，基本可以識(shí)別錯(cuò)位相減法適用的對(duì)象，也基本了解錯(cuò)位相減法求和的幾個(gè)操作步驟，但是學(xué)生的運(yùn)算能力到一定程度后就再難以提升，對(duì)錯(cuò)位相減法應(yīng)用的教學(xué)檢測情況經(jīng)常不

2、如人意.在常規(guī)教學(xué)中，關(guān)于錯(cuò)位相減法的教學(xué)和訓(xùn)練過程不同程度地存在一些問題，下面我們逐一分析和探討.錯(cuò)位相減法教學(xué)現(xiàn)狀及原因分析2.1教師的教學(xué)與學(xué)生的實(shí)際能力錯(cuò)位錯(cuò)位相減法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須掌握的重要方法.教師本人通過高中、大學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，自然對(duì)此法的應(yīng)用自是得心應(yīng)手，部分教師的能力高，從而忽視對(duì)錯(cuò)位相減法教學(xué)環(huán)節(jié)的深入研究，誤以為此法易懂、易識(shí)別、易操作、易掌握，隨意講解操作方法，沒有特別和學(xué)生一起分析此法應(yīng)用的幾個(gè)易錯(cuò)環(huán)節(jié)，簡單地把訓(xùn)練任務(wù)交給學(xué)生.就算每次教學(xué)檢測結(jié)果讓教師大失所望，也有部分教師就題論題草草評(píng)講，這些教師還認(rèn)為導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤主要是學(xué)生運(yùn)算不夠細(xì)心，比較少分析學(xué)生錯(cuò)誤的

3、具體環(huán)節(jié)，也沒有引導(dǎo)學(xué)生糾正不良的運(yùn)算習(xí)慣，如此循環(huán)往復(fù)，在有些老師認(rèn)為錯(cuò)位相減法不難掌握的情況下，有不少同學(xué)到高中畢業(yè)也沒有很好地掌握錯(cuò)位相減法.2.2學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法的訓(xùn)練認(rèn)識(shí)不夠由于部分教師在教學(xué)中對(duì)錯(cuò)位相減法應(yīng)用應(yīng)該注意的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)沒有分析透徹，學(xué)生訓(xùn)練后能力雖然有一定的提升，不復(fù)雜的數(shù)列求和他們可以做對(duì)，但是遇到稍微復(fù)雜的數(shù)列，雖知道使用錯(cuò)位相減法，但是運(yùn)算往往出錯(cuò).正因?yàn)檫\(yùn)算時(shí)對(duì)時(shí)錯(cuò)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為方法應(yīng)該已經(jīng)掌握，出錯(cuò)純屬偶然，這種想法會(huì)影響他們對(duì)過程的認(rèn)真研究和分析，更沒有采取變式訓(xùn)練的方式進(jìn)行突破，久而久之，這部分學(xué)生容易形成“運(yùn)算錯(cuò)誤”定勢.另外，錯(cuò)位相減法運(yùn)算的結(jié)果往往比較

4、復(fù)雜，學(xué)生比較難以看出有沒有運(yùn)算錯(cuò)誤，加上一般學(xué)生沒有驗(yàn)算的意識(shí)，所以經(jīng)常出現(xiàn)求錯(cuò)結(jié)果而不自知的情況.錯(cuò)位相減法教學(xué)方法探索基于以上錯(cuò)位相減法教學(xué)現(xiàn)狀的分析，我們應(yīng)該對(duì)錯(cuò)位相減法的教學(xué)深入分析，尋找合適的教學(xué)切入點(diǎn)，緊緊抓住學(xué)生，全面剖析方法的易錯(cuò)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣，找到提高學(xué)生運(yùn)算能力的有效訓(xùn)練方案，根據(jù)情況拓寬學(xué)生視野，提升學(xué)生的思維水平.全面分析易錯(cuò)環(huán)節(jié)問題：設(shè)數(shù)列QJ中，an=(An+B)qn,其中A#0,q#0,q#1,求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.方案一：SnABq2ABq23ABq3LAnBqn第一步(各項(xiàng)乘以q)：qSn=(A+B)q2+(2A+B用+(3A+Bjq+L+(

5、nA+B時(shí)+第二步(對(duì)應(yīng)q的各等次募項(xiàng)相減)（1q）Sn=（A+B）q+Aq2+Aq3+L+Aqn-（An+B）qn平1.nnJ第二步（等比部分求和）：（1q）8n=（A+B）q+Aq2q（An+B）qn平i-q第四步（處理Sn的系數(shù)）：Sn=35+Aq2工一四Ui-qi-qi-q2第五步（整理化簡）：Sn二q-1An-ABqqnlAqBq-2Bqq-1q-1易錯(cuò)點(diǎn)1：第二步兩式相減時(shí)容易把最后一項(xiàng)寫成正（An十B）qn書；易錯(cuò)點(diǎn)2：第三步等比部分求和時(shí)容易數(shù)錯(cuò)項(xiàng)數(shù)，一般項(xiàng)數(shù)應(yīng)該是n-1；偶爾遇到可以把第一項(xiàng)并入求和，那么就有n項(xiàng)；易錯(cuò)點(diǎn)3：經(jīng)過一定的運(yùn)算，容易誤認(rèn)為第三步求和以后就立即得到8

6、n，忘記第四步處理8n的系數(shù)；易錯(cuò)點(diǎn)4:最后整理結(jié)果時(shí)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.方案二：Sn=ABqT2ABq2T3ABq3L：AnBqn1第一步（各項(xiàng)乘以一）：q/Sn=（A+B）十（2A+B）q+（3A+B）q+L+（nA+B）dq第二步（對(duì)應(yīng)q的各等次募相減）：q，-1Sn=ABAqAq2LAqnJ-AnBqnn第三步（等比部分求和）q,-1Sn=，A-BAqq-AnBqn1-q第四步（處理Sn的系數(shù)）Sn=dAq2工1-q1-q1-q第五步（整理化簡）Sn=q一1An-A；BBqqn1.AqBq要2q-1q-1以上兩種方案處理手法類似，易錯(cuò)點(diǎn)也基本相似，可以在具體問題中視q的取值情況確定使用哪種方

7、案.課堂教學(xué)注意典型示范雖然必須與學(xué)生一起分析錯(cuò)位相減法操作的各個(gè)易錯(cuò)環(huán)節(jié)，但是教師還是要先做典型示范，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，教師要對(duì)學(xué)生提出養(yǎng)成好的運(yùn)算習(xí)慣的要求，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行思維評(píng)價(jià)，讓學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注關(guān)鍵步驟對(duì)于運(yùn)算的意義，加深理解運(yùn)算分步的必要性也有必要安排學(xué)生板演，師生共同從正反兩個(gè)方面分析如何提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性.注意加強(qiáng)學(xué)生關(guān)于數(shù)式變形能力的訓(xùn)練學(xué)生利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列和出現(xiàn)錯(cuò)誤，很大程度上與他們的數(shù)式變形能力有關(guān)，要想從根本上解決問題，必須首先全面提高學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力，特別是字符運(yùn)算能力，讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行符號(hào)變換、互逆變換、分式變換、整式變換、分解變換等各種代數(shù)

8、變換.讓學(xué)生自我糾錯(cuò)，提高自我評(píng)價(jià)能力，盡量讓學(xué)生可以利用多種運(yùn)算方法，運(yùn)算能力達(dá)到靈活變換的程度.使學(xué)生重視運(yùn)算通法、通則，要讓學(xué)生養(yǎng)成好的運(yùn)算習(xí)慣和運(yùn)算品質(zhì)加強(qiáng)變式訓(xùn)練針對(duì)錯(cuò)位相減法的應(yīng)用進(jìn)行一定的訓(xùn)練是必要的，但是教師在設(shè)計(jì)訓(xùn)練題時(shí)一定要注意訓(xùn)練的目的性、典型性、系統(tǒng)性，所設(shè)計(jì)的問題要有代表性，特別是要注意變化，要盡可能涵蓋平時(shí)的常見類型.訓(xùn)練題設(shè)計(jì)策略一：變換數(shù)列(An十B)qn中A,q的取值問題1.數(shù)列an中，an=(2n-3)3n,求其前n項(xiàng)的和.問題2.數(shù)列an中，an=(2n3)3，求其前n項(xiàng)的和.問題3.數(shù)列an中，an=(2n-3X-3“求其前n項(xiàng)的和.問題4.數(shù)列an中,

9、an1:=1n3314)n,求其前n項(xiàng)的和.問題5.數(shù)列匕/中,求其前n項(xiàng)的和.問題6.數(shù)列an中,略解：由條件得an3n4an一，所以33n4/a14=(n1)+，an=I-n-1333n3an=(2n3)mn,其中m為實(shí)常數(shù)，求其前n項(xiàng)的和.問題7.數(shù)列4中，an=(九n3)3n,其中人為實(shí)常數(shù)，求其前n項(xiàng)的和.訓(xùn)練題設(shè)計(jì)策略二：變換結(jié)構(gòu)n項(xiàng)的和.問題8.已知數(shù)列an中，an+-3an=4-3n,a1=1,求此數(shù)列的前S=a+a2+a3+L+an/+an,35=3a+2+323+1+3an+3an,以上兩式相減4n5n5得到一2Sn=&+4(3十32十L十3n)3an=(4n5)3n5,移

10、項(xiàng)得Sn=3n十.22問題9.已知數(shù)列an、bn,其中an=3n4,bn=5n,m為正整數(shù)，試求和Tm=abma2bm4a3bm4LHm.訓(xùn)練題設(shè)計(jì)策略三：設(shè)計(jì)探究問題問題10.數(shù)列Qn中，an+1)2n,是否存在常數(shù)九,b,使得對(duì)任意正整數(shù)n,者B有a1+a2+a3+L+anA+an=nbn恒成立？訓(xùn)練題設(shè)計(jì)策略四：挑戰(zhàn)高難度問題11.數(shù)列an中，an=n22n，試求其前n項(xiàng)的和Sn.略解：Sn=1221+2222+3223+L+n22n,2Sn=1222+2223+3224+L+n22n*以上兩式相減得-Sn=1221(22-12)22(32-22)23L(n2-(n-1)2)2n-n22

11、n1即Sn=2+322+523+L+(2n1)2n-n22n*,當(dāng)n=1時(shí)，Sn=2,當(dāng)n至2時(shí),設(shè)Tn=322+523+L+(2n-1)2n,則2Tn=323+524+L十(2n1)2n平利用錯(cuò)位相減法得Tn=(2n3)2n*+4,所以Sn=2+(2n3)2+4n22n書，解得Sn-in2-2n32n1-6.可見形如(An2+Bn+C)qn的數(shù)列可以兩次用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)的和Sn.改變求和方式數(shù)列(An+B)qn的求和問題，其中常數(shù)A,B,q的取值不同，計(jì)算的繁難程度就不同,即便他們都是具體數(shù)字，有時(shí)候運(yùn)算也比較麻煩，對(duì)于比較難算的求和，不妨考慮用裂項(xiàng)求.以下舉例說明.問題12.數(shù)歹Ua

12、n中,-4n，試求其前n項(xiàng)的和Sn.xnyxn-1y萬法一：設(shè)an=nT3,即an33-2xn3x-2y3n,取x=2,y=3,設(shè)和的方式代替，裂項(xiàng)求和的方法步驟少，運(yùn)算準(zhǔn)確性可以得到保證2n3f(n)=n,則Sn=f(nf(n1f(n1)f(n2)+L+f(2尸f(1)32n3一二一二.一3方法二：an1-an二-4n1-4n8n-43n13n3n12-3an3n1323an=-(an書-an)-n，Sn=一二S22322n3丁一3111一21a3一a2L%1遇一23aL于3,1-彳an1-a1-1-n232n2n1n12an=xnynz2-：；：x(n-1)y(n-1)z22-xn(2xy

13、)n-xyz令x=2,2x+y=0,x+y+z=0,得到x=2,y=工,z=6,設(shè)f(n)3n2n24n6)貝USn=f(n)f(0)=(2n2-4n6)2n-6.形如(An+B)qn的數(shù)列求和，可以設(shè)(An+B)qn=(xn+y)qn(x(n1)+y)qn，用待定系數(shù)法求x,y,然后用裂項(xiàng)方法求其前n項(xiàng)的和Sn=(xn+y)qn-y.當(dāng)A#0,q#0,q#1時(shí)，還可以用差分的方法對(duì)數(shù)列(An+B)qn裂項(xiàng)，記an=AnBnq則an1-an=A(n1)Bqn1-AnBqn=(q-1)AnBqn1Aq=(q-1)an+Aq+，5an=anLan)-Hq總八1,A23,n1S=Ka2-a1%-a2

14、Lan-n-qqLq2n,這樣就可以把數(shù)列求和化成部分用裂項(xiàng)相消,部分用aq1-qan1-a1q-1q-11q等比數(shù)列求和的問題了，非常簡潔.形如(An2+Bn十C)qn的數(shù)列求和，可以設(shè)(An2+Bn+C)qn=(xn2+yn+z)qn-(x(n-1)2+y(n-1)+z)qnA,用待定系數(shù)法求x,y,z,Sn=(xn2+yn+z)qnz.3.6培養(yǎng)學(xué)生驗(yàn)算的習(xí)慣在進(jìn)行題目求解過程中或結(jié)束時(shí)還須對(duì)因素的過程和結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以便及時(shí)糾正運(yùn)算過程或結(jié)果中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，驗(yàn)算也需要掌握方法.養(yǎng)成檢驗(yàn)、檢查的習(xí)慣，提高運(yùn)算過程的思維監(jiān)控能力，這是形成和發(fā)展運(yùn)算能力的重要環(huán)節(jié).利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，提倡讓學(xué)生養(yǎng)成對(duì)結(jié)果中的n=1,n=2進(jìn)行檢驗(yàn)，那樣就可以大大提高運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確度結(jié)語：運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，所謂運(yùn)算就是指在運(yùn)算律指導(dǎo)下對(duì)