高中排列組合基礎題(含標準答案)

1、排列、組合問題基本題型及解法同學們在學習排列、組合的過程中，總覺得抽象，解法靈活，不容易掌握然而排列、組合問題又是歷年高考必考的題目本文將總結常見的類型及相應的解法一、相鄰問題“捆綁法”將必須相鄰的元素“捆綁”在一起，當作一個元素進行排列例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必須站在一起，不同的排法共有幾種？分析：先把甲、乙當作一個人，相當于三個人全排列，有A3=6種，然后再將甲、乙二人全排列有A；=2種，所以共有6X2=12種排法.二、不相鄰問題“插空法”該問題可先把無位置要求的元素全排列，再把規(guī)定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意兩端）.例27個同學并排站成一排，其中

2、只有A、B是女同學，如果要求A、B不相鄰，且不站在兩端，不同的排法有多少種？分析：先將其余5個同學先全排列，排列故是A5=120.再把A、B插入五個人組成的四個空位（不包括兩端）中，（如圖。XOXOX0X0“X"表示空位，“0”表示5個同學）有A2=2種方法則共有A5A2=440種排法.三、定位問題“優(yōu)先法”指定某些元素必須排（或不排）在某位置，可優(yōu)先排這個元素，后排其他元素例36個好友其中只有一個女的，為了照像留念，若女的不站在兩端，則不同的排法有種分析：優(yōu)先排女的（元素優(yōu)先）在中間四個位置上選一個，有a4種排法.然后將其余5個排在余下的5個位置上，有A5種方法則共A4A5=480

3、種排法還可以優(yōu)先排兩端（位置優(yōu)先）四、同元問題“隔板法”例410本完全相同的書，分給4個同學，每個同學至少要有一本書，共有多少種分法？分析：在排列成一列的10本書之間，有九個空位插入三塊“隔板”如圖：XXIXIXXXIXXXX一種插法對應于一種分法，則共有c9=84種分法五、先分組后排列對于元素較多，情形較復雜的問題，可根據(jù)結果要求，先分為不同類型的幾組，然后對每一組分別進行排列，最后求和例5由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）（A）210個（B）300個（C）464個（D）600個分析：由題意知，個位數(shù)字只能是0,1,2,3,4共5種類型，每

4、一種類型分別有A5個、A;A;a3個、A;A;a3個、a；a；3個、A;a3個，合計300個，所以選b例6用0,1,2,3,，9這十個數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個奇數(shù)數(shù)字與兩個偶數(shù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個？【解法1】考慮。的特殊要求，如果對0不加限制，應有c3c5a5種，其中0居首位的有c3c4a4種，故符合條件的五位數(shù)共有C3C；A5C3C；A：=11040個【解法2】按元素分類：奇數(shù)字有1,3,5,7,9;偶數(shù)字有0,2,4,6,8.把從五個偶數(shù)中任取兩個的組合分成兩類：不含。的；含0的 不含0的：由三個奇數(shù)字和兩個偶數(shù)字組成的五位數(shù)有c5c2a5個； 含。的，這時0只能排在除首位以外的四個數(shù)

5、位上，有a4種排法，再選三個奇數(shù)數(shù)與一個偶數(shù)數(shù)字全排放在其他數(shù)位上，共有c3c4a4a4種排法綜合和，由分類計數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有c3c:Ja5+c3c4a4a4=11040個例8由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字,比20000大，且百位數(shù)字不是3的自然數(shù)？【解】設/=滿足題設條件，且百位數(shù)字是3的自然數(shù),B=滿足題設條件，且比20000大的自然數(shù)，則原題即求cardBleuA，畫韋恩圖如圖，陰影部分rj即BIeuA，從圖中看出cardBleuAcardBAlB.°伊"i?又AlB?B，由性質2,有cardBAlBcardBcardAlB/Bl*car

6、dB即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字，且比20000大的自然數(shù)的個數(shù)，易知cardBAaA4.cardAlB即由數(shù)字1，2，3，4,5組成無重復數(shù)字、比20000大，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)的個數(shù)'易知cardAlBA：A：，所以cardBleuAA：A：A：A：=78.即可組成78個符合已知條件的自然數(shù)典型例題例1用。到9這10個數(shù)字-可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？解法1:當個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有方個；當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字

7、中任選兩個來排，按乘法原理有A4A8A2(個)-沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有AgA1a8As50417922296個.例2排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。(1) 任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2) 歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：(1)先排歌唱節(jié)目有A5種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有/A中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：/AA4=43200.先排舞蹈節(jié)目有A：中方5個空位,恰好供5個歌(2)法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A:4=2880種方法。例3某一天的課程表要排

8、入政治、語文、數(shù)學、物理、體育、美術共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有多少種不同的排課程表的方法.分析與解法1：6六門課總的排法是a6，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有A55種排法，如圖中I;數(shù)學排在最后一節(jié)有K種排法，如圖中n；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學排在最后一節(jié)，如圖中川，這種情況有A:種排法，因此符合條件的排法應是：>42A5a4504(種).例4現(xiàn)有3輛公交車、3位司機和3位售票員，每輛車上需配1位司機和1位售票員.問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把3輛車看成排了順序的三個空：，然后把3名司機和3名售票員分別填入-因

9、此可認為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題.解：分兩步完成.第一步，把3名司機安排到3輛車中，有A6種安排方法；第二步把3名售票員安排到3輛車中，有/46種安排方法-故搭配方案共有AA36種.例5下表是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有4所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇-若表格填滿且規(guī)定學校沒有重復，同一學校的專業(yè)也沒有重復的話，你將有多少種不同的填表方法？學校專業(yè)112212312解：填表過程可分兩步第一步，確定填報學校及其順序，則在4所學校中選出3所并加排列，共有入3種不同的排法；第二步，從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有

10、AAA種綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：f(AA.AlA5184種.例67名同學排隊照相.(1) 若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？(2) 若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？解:(1)/4A:>45040種.(2)第一步安排甲，有A；種排法；第二步安排乙，有A4種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個位置上，有A5種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法

11、共有A；A：Af1440種.第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有A55種排法；第二步，甲、乙、丙三人內部全排列，有屁種排法-由分步計數(shù)原理得，共有AA72。種排法.（4）第一步，4名男生全排列，有A：種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有A3種插入方法.由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：A：A1440種.例8a,b,c,d,e,f六人排一列縱隊，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法對這個題目，A、B、C、D四位同學各自給出了一種算式：A的算式是A,6;

12、B的算式是（AA；A3a4a5）A；C的算式是A;224D的算式是CeA-上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由.解：A中很顯然，“a在b前的六人縱隊”的排隊數(shù)目與“b在a前的六人縱隊”排隊數(shù)目相等，而“六人縱隊”的排法數(shù)目應是這二者數(shù)目之和-這表明：A的算式正確.B中把六人排隊這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到a占位的狀況決定了b占位的方法數(shù)，第一階段，當a占據(jù)第一個位置時，b占位方法數(shù)是A;當a占據(jù)第2個位置時，b占位的方法數(shù)是A4;；當a占據(jù)第5個位置時，b占位的方法數(shù)是A-1，當a,b占位后，再排其他四人，他們有4種排法，可

13、見B的算式是正確的.4C中A可理解為從6個位置中選4個位置讓c,d,e,f占據(jù)，這時，剩下的兩個位置依前后順序應是a,b的-因此C的算式也正確.2D中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)C6，這兩個位置讓a,b占據(jù)，顯然，a,b占據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時，再排其余四人，又有A：種排法，可見D的算式是對的例9八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況.應當使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人

14、坐下,，三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：a4A4a4a4a58640（種）解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是/VA-在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法這個數(shù)目是a1c2a3a1a5,其中第一個因數(shù)a1表示甲坐在第一排的方法數(shù)，c2表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個a:則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，芳5就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為A：A；a4c2AsA：a58640（種）.說明：解法2可在學完

15、組合后回過頭來學習.例10計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）.A-Aa5B.A；A：A5C.c3A：A；DA：A：>4解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有A；種排列.但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求所以共有A；AA；種陳列方式.應選D說明：關于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內部進行全排列本例題就是

16、一個典型的用“捆綁”法來解答的問題.例11由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）A-210B.300C.464D-600解法1:（直接法）：分別用123,4,5作十萬位的排列數(shù)，共有5A5種，所以其中個位1數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有15A5300個2解法2：（間接法）：取0,1,5個數(shù)字排列有A6，而0作為十萬位的排列有/4，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有1（A65a5）300（個）.2說明：（1）直接法、間接法是解決有關排列應用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比

17、較麻煩，這時應考慮能否用間接法來解-（2）“個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側，共有多少種排法-例12用1,2,3,4,5，這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）-A.24個B.30個C.40個D.60個分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷.解法1:分類計算.將符合條件的偶數(shù)分為兩類-一類是2作個位數(shù)，共有A：個，另一類是4作個位數(shù)，也有A2個.因此符合條件的偶數(shù)共有A：A4

18、”24個.解法2:分步計算.先排個位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字，有三位偶數(shù)應有A2A424個.解法3:按概率算.用15這5個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)共有2此三位偶數(shù)共有60-24個.5解法4：利用選擇項判斷.用15這5個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)共有A：種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理,32A60個，其中偶點其中的一.因460個.其中偶數(shù)少于奇數(shù),因此偶數(shù)的個數(shù)應少于30個，四個選擇項所提供的答案中，只有A符合條件.應選A.（1）可以組成多少個無重復例13用0、1、2、3、4、5共六個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的自然數(shù),數(shù)字的3位偶數(shù)？（2）可以組成多少個無重復數(shù)字且被3整除的三位

19、數(shù)？分析：3位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0,由于個位用或者不用數(shù)字0,對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用0或者用2、4進行分類.一個自然數(shù)能被3整除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進行分類解：（1）就個位用0還是用2、4分成兩類，個位用0,其它兩位從1、2、3、4中任取兩數(shù)排24432（個），列，共有A12（個），個位用2或4，再確定首位，最后確定十位，共有所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：123244（個）.（012）、（2）從0、2、3、4、5中取出和為3的倍數(shù)的三個數(shù),分別有下列取法:（015）、0,（024）、（045）、（123）、（135）、（234）、（345）'前四組中有后四組中沒有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有42A：16（個），如果用后四組,共有4人324（個），所有被3整除的三位數(shù)的總數(shù)為162440（個）.例14一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相