函數(shù)定義域值域求法(全十一種)

1、下載可編輯高中函數(shù)定義域和值域的求法總結(jié)一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式(或組)即得原函數(shù)的定義域。,X22x15例1求函數(shù)y的定義域。y|x3|8解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足11或 x5x5。3且x11)x|x51例 2 2 求函數(shù)yqsinx的定義域。,16x2解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足16x20由解得2kx2k,kZ由解得4x4由和求公共部分，得4x或0 x故函數(shù)的定義域為(4,(0,評注：和怎樣求公共部分？你會嗎？二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)

2、的定義域求另一個抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。(1)已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域。(2)其解法是：已知f(x)的定義域是a,b求fg(x)的定義域是解ag(x)b,即為所求的定義域。例 3 3 已知f(x)的定義域為2,2,求f(x21)的定義域。解：令2x212,得1x23,即0 x23,因此0|x|西，從而V3x后，故函數(shù)的定義域是x|面xJ3)。(2)(2)已知fg(x)的定義域，求 f(x)f(x)的定義域。其解法是：已知fg(x)的定義域是a,b,a,b,求 f(x)f(x)定義域的方法是：由axb,求 g(x)g(x)的值域，即所求 f(x)f(x)的定義域。例

3、4 4 已知f(2x1)的定義域為1,2,1,2,求 f(x)f(x)的定義域。解：因為1x2,22x4,32x15。即函數(shù) f(x)f(x)的定義域是x|3x5)。三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對于已知定義域為 R,R,求x22x150|x3|80由解得x3或x5。由解得x5或x11sinx0和求交集得x3且x故所求函數(shù)的定義域為x|x下載可編輯參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決。例 5 5 已知函數(shù)yVmx26mxm8的定義域為 R R 求實數(shù) m m 的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域為 R,R,表明mx26mx8m0,使一切 x xR R 都成立，

4、由x2項下載可編輯的系數(shù)是 m m 所以應(yīng)分 m=0m=0 或m0進行討論。解：當(dāng) m=0m=0 時，函數(shù)的定義域為 R R；當(dāng)m0時，mx26mxm80是二次不等式,(6m)24m(m8)00m1綜上可知0m1評注：不少學(xué)生容易忽略 m=0m=0 的情況，希望通過此例解決問題。1當(dāng)陣 0 0 時，16k243k0恒成立，解得0k3；42當(dāng) k=0k=0 時，方程左邊=3=3 乒 0 0 恒成立。，一一一3綜上 k k 的取值范圍是0k。4四、實際問題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實際意義對自變量的限制，這點要加倍注意，并形成意識。例 7 7 將長為 a a 的鐵絲折成矩形，

5、求矩形面積 y y 關(guān)于一邊長 x x 的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。1_解：設(shè)矩形一邊為x,則另一邊長為-(a2x)于是可得矩形面積。211a2yx-(a2x)axx2221xaxo2由問題的實際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足x01(a2x)02a0 x-o2其對一切實數(shù) x x 都成立的充要條件例 6 6 已知函數(shù)f(x)kx2解：要使函數(shù)有意義，則必須kx24kx30無實數(shù)kx74kxkx2-的定義域是 R R 求實數(shù) k k 的取值范圍。34kx3乒 0 0 恒成立，因為f(x)的定義域為R,R,即x0a2x0下載可編輯故所求函數(shù)的解析式為yx2-ax，定義域為(0,-)。22例 8

6、8 用長為 L L 的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為求此框架圍成的面積 y y 與x x 的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，如圖。下載可編輯士后。L2xx故y2x(2)x2Lx2根據(jù)實際問題的意義知2x0L2xx0例9已知f(x)的定義域為0,1,求函數(shù)F(x)解：因為f(x)的定義域為0,1,即0 x1。故函數(shù)F(x)的定義域為下列不等式組的解集：0 xa1*ax1a,即0 xa1ax1a即兩個區(qū)間a,1-aa,1-a與a,1+aa,1+a的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知1(1)當(dāng)-a0時，F(xiàn)(x)的定

7、義域為x|ax1a；_.1一(2)當(dāng)0a時，F(xiàn)(x)的正義域為x|ax1a；一.11(3)當(dāng)a一或a一時，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時F(x)不能構(gòu)成函數(shù)。22六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯解，事實上定義域隱含在問題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求定義域。(1,3)(,1(1,1,(1,3)1,)1,3)，所以函數(shù)ylog2(x22x3)在區(qū)間(1,1上是增函數(shù)，在區(qū)間1,3)上是減函數(shù)。因為 CD=AB=2xCD=AB=2x 所以CDx,所以ADLABCDL2x故函數(shù)的解析式為(2)xLx定義域(20,0,五、參

8、數(shù)型對于含參數(shù)的函數(shù),求定義域時，必須對分母分類討論。f(xa)f(xa)的定義域。例 1010 求函數(shù)ylog2(x22x3)的單調(diào)區(qū)間。解：由(1,3)。函數(shù)ytx2x22xlog2(2xx2(,1上是增函數(shù)；30,即x22x32x(x0,解得1x3。即函數(shù) y y 的定義域為3在區(qū)間x22x3復(fù)合而成的。t t 在區(qū)間3)是由函數(shù)y21)4,對稱軸1,)上是減函數(shù)，而ylog21在其定義域上單調(diào)增；log2t,tx=1,x=1,由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知下載可編輯函數(shù)值域求法一種1.1.直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。1例 1.1.求函數(shù)y yX X 的值域。解：X

9、0.10-X顯然函數(shù)的值域是：(，。)(。，)例 2.2.求函數(shù)y3我的值域。解：VX0.X0,3.X3故函數(shù)的值域是：，3】2.2.配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例 3.3.求函數(shù)yX22X5，X1,2的值域。解：將函數(shù)配方得：y(x1)24/X1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng) X=1X=1 時，ymin4，當(dāng)X1時，ymax8故函數(shù)的值域是：4,84,83.3.判別式法1XX2例 4.4.求函數(shù)y1X2的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于 X X 的一元二次方程(y1)X2(y1)X0(1)(1) 當(dāng)y1時，XR R2(1)24(y1)(y1)013解得：2y2131,(2)(2) 當(dāng)

10、 y=1y=1 時，X0，而22下載可編輯13故函數(shù)的值域為2,2例 5.5.求函數(shù)VXJx(2x)XJx(2x)的值域。解：兩邊平方整理得：2X22(y1)Xy20(1)/XR下載可編輯4(y1)28y0解得：1.一2y1.2但此時的函數(shù)的定義域由x(2x)0，得0 x2由0，僅保證關(guān)于 X X 的方程：2x22(y1)xy20在實數(shù)集 R R 有實根,而不能確保其實根在區(qū)間0,20,2上，即不能確保方程有實根，由013求出的范圍可能比 y y 的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為2,2?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。/0 x2yxyx、.x(2x)0 x(2x)0.224、.2

11、時，原函數(shù)的值域為：0,1而注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分易腺。4.4.反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義畛確定原函數(shù)的值域。3x4例 6.6.求函數(shù)5x6值域。x3解：由原函數(shù)式可得：5y346y3則其反函數(shù)為：5x3,其定義域為：53故所求函數(shù)的值域為：，55.5.函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時， 可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性， 反客為主來確定函數(shù)的值域。ex1yymin0,y解得:x11技代入方程222420,2即當(dāng)x1下載可編輯例 7.7.求函數(shù)ex1的值域。xe解：由原函數(shù)式可得：下載可編輯/ex0

12、y1-0y1解得：1y1故所求函數(shù)的值域為(仲、，cosx例 8.8.求函數(shù)ysinx3的值域。解：由原函數(shù)式可得：ysinxcosx3y,可化為:.y21sinx(x)3y3ysinx(x)即y21,/xRsinx(x)1,113y_1即.y212.2解得：4y4.2一2,故函數(shù)的值域為446.6.函數(shù)單調(diào)性法例 9.9.求函數(shù)y2x5廚3*/(2x10)的值域。解：令y12x5,y2log1則yy2在2,102,10上都是增函數(shù)所以yy1y2在2,102,10上是增函數(shù)當(dāng) x=2x=2 時，ymin23當(dāng) x=10 x=10 時，ymax251log3218下載可編輯例 10.10.求函數(shù)

13、yx1火1的值域。2解：原函數(shù)可化為：Y廠山1令y1EME,顯然wv2在I1,上為無上界的增函數(shù)所以yy1,V2在1,上也為無上界的增函數(shù)故所求函數(shù)的值域為:1338,下載可編輯所以當(dāng) x=ix=i 時，yy yy2有最小值 V2,V2,原函數(shù)有最大值2顯然y0,故原函數(shù)的值域為(0瑚7.7.換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征場數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 11.11.求函數(shù)yx的值域。解：令x1t,(t。)則xt212123yt2t1(t)2-24又t0,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t0時，ymin1

14、當(dāng)t0時，y故函數(shù)的值域為n，)例 12.12.求函數(shù)yx25(x1)2的值域解：因1(x1)20即(x1)21故可令x1cos,0,-2sin(-)1,0sin(0-2sin(-)11、24故所求函數(shù)的值域為。1相x3x例 13.13.求函數(shù)yx42x21的值域。12x1x2y7o解：原函數(shù)可變形為：21x1x2x.1x22ycos1,1cos2sincos1下載可編輯可令xtg,貝U有匚7sin2，二7cos下載可編輯例 15.15.求函數(shù)yx4x4J5J5x x2的值域。解：由5x20,可得lxl撫故可令x.5cos,0,y、5cos4.5sin10sin()440_5_444當(dāng)/4時，

15、ymax4E0y1.-sin2cos22k1sin44當(dāng)28時，ymax4k1當(dāng)ymin4而此時tan有意義。11故所求函數(shù)的值域為4,4x,例 14.14.求函數(shù)y北1)(cosx1),122演犁.y(sinx1)(cosx1)sinxcosxsinxcosx1的值域。令sinxcosxt,12y(t21)t1sinxcosx則1)由tsinxcosx.2sin(x/4)可得:122旦t2323故所求函數(shù)的值域為4ymaxftf當(dāng)2時,3.22O3_242下載可編輯當(dāng)時，ymin4寸5故所求函數(shù)的值域為：475,4廂8.8.數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式

16、直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一日了然，賞心悅目。例 16.16.求函數(shù)yJ(x2)2J(x的值域。BPAI I! ! !1_1_十-802-802解：原函數(shù)可化簡得：yix2iix8i上式可以看成數(shù)軸上點 P(x)P(x)至定點 A(2),A(2),B(8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點 P P 在線段 ABAB 上時，y|x2|x8|AB|10當(dāng)點 P P 在線段 ABAB 勺延長線或反向延長線上時,y|x2|x8|AB|10故所求函數(shù)的值域為：【10，例 17.17.求函數(shù)yJx26x1313Jx24x5的值域。解：原函數(shù)可變形為：y.(x3)2(02)2,(x

17、2)2(01)2上式可看成 x x 軸上的點P(x，。)到兩定點A(3,2),B(2,1)的距離之和，由圖可知當(dāng)點 P P 為線段與 x x 軸的交點時，ymin|AB|.(32)2(21)2.43,故所求函數(shù)的值域為枝3,夕3,2)B/(2.1)例 18.18.求函數(shù) y y 寸 x x26x136x13我24x54x5的值域。2222解：將函數(shù)變形為：yV(x3)(02)、；(x2)(01)上式可看成定點 A(3,2)A(3,2)到點 P(x,0)P(x,0)的距離與定點B(2,1)到點P(x，0)的距離之差。即：y|AP|BP|由圖可知：(1)(1)當(dāng)點 P P 在 x x 軸向不是直線

18、 A A 所 x x 軸的交點時，如點P P,則構(gòu)下載可編輯成 A ABP,BP,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有|AP|BP|AB|.(32)2(21)2.26下載可編輯即：26yv26(2)(2)當(dāng)點 P P 恰好為直線 A A 的 X X 軸的交點時， 有IIAPI|BP|AB|控6綜上所述， 可知函數(shù)的值域為：(扃麗注：由例 17,1817,18 可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使AB B 兩點在 x x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，貝 U U 要使 A,BA,B 兩點在 x x 軸的同側(cè)。如：例 1717 的 A,BA,B 兩點坐標(biāo)分別為：(3,2),(3,2),(2,D,在 x

19、 x 軸的同側(cè)；例 1818 的AB B兩點坐標(biāo)分別為(3,2),(3,2),(2,1),在 x x 軸的同側(cè)。9.9.不等式法利用基本不等式ab2府,abc3Vabc(a,b,cR),求函數(shù)的最值， 其題型特征解析式是和式時要求積為定值， 解析式是積時要求和為定值， 不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。1212例 19.19.求函數(shù)ysinx(cosx)的值域。解：原函數(shù)變形為：22、1y(sinxcosx)sinx221cesxsecx2.23tanxcotx3vtan2xcot2x25當(dāng)且僅當(dāng)tanxcotx即當(dāng)xk4時(kz),故原函數(shù)的值域為： 【5,12cosX等號成立)PXA(3下載可編輯例 20.20.求函數(shù)y2sinxsin2x的值域。解.y4sinxsinxcosx4sin2xcosx下載可編輯y16sin4xcos2x8sin2xsin2x(22sin2x)8(sin2xsin2x22sin2x)/336427i2YZ