一次函數(shù)經(jīng)典剖析

1、第十一章一次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識點(diǎn)1一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k,b為常數(shù)，kw0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3,y=-x+2,y=lx等都是一次函數(shù)，y=x,y=-x都是正比例函數(shù).22【說明】（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k,b為常數(shù)，bw0）中的"一次"和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意

2、常數(shù).（3）當(dāng)b=0,kw0時(shí)，y=kx仍是一次函數(shù).（4）當(dāng)b=0,k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).知識點(diǎn)2函數(shù)的圖象把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象.畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點(diǎn)、連線.知識點(diǎn)3一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k,b為常數(shù)，kw°）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b.由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時(shí)，只要描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線即可，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)（0,b）,直線與x軸的交點(diǎn)（-,

3、k0）.但也不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn).畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0,0）,（1,k）即可.知識點(diǎn)4一次函數(shù)y=kx+b（k,b為常數(shù)，kw0）的性質(zhì)（1） k的正負(fù)決定直線的傾斜方向；k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；k<O時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.（2） |k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越?。ㄖ本€緩）；（3） b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，是正比例函數(shù).（4

4、）由于k,b的符號不同，直線所經(jīng)過的象限也不同；如圖1118（1）所示，當(dāng)k>0,b>0時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；如圖1118（2）所示，當(dāng)k>0,b>O時(shí)，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；如圖1118（3）所示，當(dāng)k<0,b>0時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；如圖1118（4）所示，當(dāng)k<0,b<0時(shí)，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限).(5)由于兇決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的.另外，從平移的角度也可

5、以分析，例如：直線y=x+1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的.知識點(diǎn)3正比例函數(shù)y=kx(kw0)的性質(zhì)(1)正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點(diǎn)；(2)當(dāng)k>0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；(3)當(dāng)k<0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小.知識點(diǎn)4點(diǎn)P(x(o,V。)與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系(1)如果點(diǎn)P(x。，y。)在直線y=kx+b的圖象上，那么xo,y。的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b;(2)如果x。，y。是滿足函數(shù)解析式的一對對應(yīng)值，那么以x。，y。為坐標(biāo)的點(diǎn)P(1,2)必在函數(shù)的圖象上.例如：點(diǎn)P(1,2)滿足直線y=x+1,即

6、x=1時(shí)，y=2,則點(diǎn)P(1,2)在直線y=x+l的圖象上；點(diǎn)P'(2,1)不滿足解析式y(tǒng)=x+1,因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=3,所以點(diǎn)P'(2,1)不在直線y=x+l的圖象上.知識點(diǎn)5確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件(1)由于正比例函數(shù)y=kx(kw。)中只有一個(gè)待定系數(shù)k,故只需一個(gè)條件(如一對x,y的值或一個(gè)點(diǎn))就可求得k的值.(2)由于一次函數(shù)y=kx+b(kw。)中有兩個(gè)待定系數(shù)k,b,需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k,b的方程，求得k,b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對x,y的值.知識點(diǎn)6待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知常數(shù)系數(shù))，再根據(jù)條件列出方程(或方

7、程組)，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法.其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù).例如：函數(shù)y=kx+b中，k,b就是待定系數(shù).知識點(diǎn)7用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟(1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b;(2)將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程(組)；(3)求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式.例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1)和(-1,-3)求此一次函數(shù)的關(guān)系式.解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y=kx+b(kw。)，由題意可知,12kb,3kb,43,5345此函數(shù)的關(guān)系式為y=-x5.33【說明】本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下：第一步，設(shè)（根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)

8、"關(guān)系式y(tǒng)=kx+b,其中k,b是未知的常量，且kw0）;第二步，代（根據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個(gè)方程（或方程組），求出待定系數(shù)k,b）；第三步，求（把求得的k,b的值代回到“設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數(shù)關(guān)系式）.思想方法小結(jié)（1）函數(shù)方法.函數(shù)方法就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進(jìn)而解決有關(guān)問題的方法.函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運(yùn)用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題.（2）數(shù)形結(jié)合法.數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，能起到事

9、半功倍的作用.知識規(guī)律小結(jié)（1）常數(shù)k,b對直線y=kx+b（kw0）位置的影響.當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交.當(dāng)k,b異號時(shí)，即-b>0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，即-b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；k當(dāng)k,b同號時(shí)，即-2<0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交.k當(dāng)k>O,b>O時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k>0,b=0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)b>O,bvO時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)k<O,b>0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)k<O,b=0時(shí)，圖象經(jīng)

10、過第二、四象限；當(dāng)bvO,bvO時(shí)，圖象經(jīng)過第二、三、四象限.（2）直線y=kx+b（kw0）與直線y=kx（kW0）的位置關(guān)系.直線y=kx+b（k豐0）平行于直線y=kx（k豐0）當(dāng)b>0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b;當(dāng)b<O時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線y=kx+b.（3）直線bi=kix+bi與直線y2=k2x+b2（kiW0,k2W0）的位置關(guān)系.kiWkzyi與y2相交；k2、biy1與y2相交于y軸上同一點(diǎn)（0,b）或（0,b2）；b2k2,一yi與y2平行;b2k1k2, 2,b2yi與y2重合.典例剖析基本概念題本節(jié)有

11、關(guān)基本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件.例1下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1)y=-lx;(2)y=-;(3)y=-3-5x;2x(4)y=-5x2;(5)y=6x-(6)y=x(x-4)-x2.2分析本題主要考查對一次函數(shù)及正比例函數(shù)的概念的理解.解：(1)(3)(5)(6)是一次函數(shù)，(1)(6)是正比例函數(shù).一2c例2當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=-(m-2)x3+(m-4)是一次函數(shù)？分析某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件kwo.一2c解：:函數(shù)y=(m-2)x+(m-4)是一次函數(shù)，.m231

12、,.m2.(m2)0,m23，當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)y=(m-2)x+(m-4)是一次函數(shù).小結(jié)某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(xiàng)(或自變量)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.而某函數(shù)若是正比例函數(shù)，則還需添加一個(gè)條件：常數(shù)項(xiàng)為0.基礎(chǔ)知識應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用主要包括：(1)會確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；(2)會畫一次函數(shù)(正比例函數(shù))圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問題；(4)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式.例3一根彈簧長15cm,它所掛物體的質(zhì)量不能超過18kg,并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長0.5cm,寫出掛上物體后，彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量x(k

13、g)之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù).分析(1)彈簧每掛1kg的物體后，伸長0.5cm,則掛xkg的物體后，彈簧的長度y為(l5+0.5x)cm,即y=15+0.5x.(2)自變量x的取值范圍就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的x的值，即0<x<18.(3)由y=15+0.5x可知，y是x的一次函數(shù).解：(l)y=15+0.5x.(2)自變量x的取值范圍是0WxW18.(3)y是x的一次函數(shù).學(xué)生做一做烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米/時(shí)，則火車離庫爾勒的距離s(千米)與行駛時(shí)間t(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式是.老師評

14、一評研究本題可采用線段圖示法，如圖11-19所示.火率小時(shí)位火ffb.麗千米：f烏魯木齊陣爾劭s11-1«火車從烏魯木齊出發(fā)，t小時(shí)所走路程為58t千米，此時(shí)，距離庫爾勒白距離為s千米,故有58t+s=600,所以，s=600-58t.例4某物體從上午7時(shí)至下午4時(shí)的溫度M(C)是時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)：M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí))，則上午10時(shí)此物體的溫度為C.分析本題給出了函數(shù)關(guān)系式，欲求函數(shù)值，但沒有直接給出t的具體值.從題中可以知道，t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí)，則上午10時(shí)應(yīng)表示成t=-2,當(dāng)t=-2時(shí)，M=(-2)3-5X

15、(-2)+100=102(C).答案：102例5已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；(3)當(dāng)y=4時(shí)，求x的值.分析由y-3與x成正比例，則可設(shè)y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,則可以寫出關(guān)系式.解：(1)由于y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx.把x=2,y=7代入y-3=kx中，得7-3=2k,k=2.，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x,即y=2x+3.(2)當(dāng)x=4時(shí)，y=2X4+3=11.(3)當(dāng)y=4時(shí)，4=2x+3,1.x=.2學(xué)生做一做已知y與x+1成正比例，當(dāng)x=5時(shí)，y=12,則y關(guān)于x的函數(shù)

16、關(guān)系式是.老師評一評由y與x+1成正比例，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=k(x+1).再把x=5,y=12代入，求出k的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k(x+1).當(dāng)x=5時(shí)，y=12,12=(5+1)k,k=2.1-y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2.【注意】y與x+1成正比例，表示y=k(x+1),不要誤認(rèn)為y=kx+1.例6若正比例函數(shù)y=(1-2m)x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(x1,y。和點(diǎn)B(x2,1公,當(dāng)x1<x2時(shí)，y1>y2,則m的取值范圍是()A.m<OB.m>0C.m<1D.m>M2分析本題考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

17、因?yàn)楫?dāng)xiVX2時(shí)，y1>y2,說明y隨x的1增大而減小，所以1-2m<O,，m>,故正確答案為D項(xiàng).2學(xué)生做一做某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬元，計(jì)劃今后每年增加2萬元.（1）寫出年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式;（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）求5年后的產(chǎn)值.老師評一評（1）年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=15+2x.（2）畫函數(shù)圖象時(shí)要特別注意到該函數(shù)的自變量取值范圍為x>0,因此，函數(shù)y=15+2x的圖象應(yīng)為一條射線.m 11 - 22畫函數(shù)y=12+5x的圖象如圖1121所示.(3)當(dāng)x=5時(shí)，y=15+2X5=25(萬元)，5年

18、后的產(chǎn)值是25萬元.例7已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數(shù)表達(dá)式.分析從圖象上可以看出，它與x軸交于點(diǎn)（-1,0）,與y軸交于點(diǎn)（0,-3）,代入關(guān)系式中，求出k為即可.解：由圖象可知，圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）和（0,-3）兩點(diǎn)，代入到y(tǒng)=kx+b中，得0kb,.k3,3 0b,b3.，此函數(shù)的表達(dá)式為y=-3x-3.例8求圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）,且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式.分析1圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2,則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b,再將點(diǎn)（2,-1）代入，求出b即可.解：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b,，圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,

19、-1）,.-l=2X2+b.b=-5,，所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-5.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識的綜合應(yīng)用；（2）與不等式知識的綜合應(yīng)用；（3）與實(shí)際生活相聯(lián)系，通過函數(shù)解決生活中的實(shí)際問題.例8已知y+a與x+b（a,b為是常數(shù)）成正比例.（1）y是x的一次函數(shù)嗎？請說明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？分析1判斷某函數(shù)是一次函數(shù)，只要符合y=kx+b（k,b中為常數(shù)，且kw0）即可;判斷某函數(shù)是正比例函數(shù)，只要符合y=kx（k為常數(shù)，且kw0）即可.解：（1）y是x的一次函數(shù).1y+a與x+b是正比例函數(shù)，設(shè)y+a=k（x+b）（k為常數(shù)，且kw0

20、）整理得y=kx+(kb-a).,kw0,k,a,b為常數(shù)，1. y=kx+(kb-a)是一次函數(shù).(2)當(dāng)kb-a=0,即a=kb時(shí)，y是x的正比例函數(shù).例9某移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先交50元月租費(fèi)，然后每通話1分，再付電話費(fèi)0.4元；“神州行”使用者不交月租費(fèi)，每通話1分，付話費(fèi)0.6元(均指市內(nèi)通話)若1個(gè)月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為yi元和y2元.(1)寫出yi,y2與x之間的關(guān)系；(2) 一個(gè)月內(nèi)通話多少分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？(3)某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，則選擇哪種通訊方式較合算？分析這是一道實(shí)際生活中的應(yīng)用題，解題時(shí)必須對兩種不

21、同的收費(fèi)方式仔細(xì)分析、比較、計(jì)算，方可得出正確結(jié)論.解：(1)y1=50+0.4x(其中x>0,且x是整數(shù))y2=0.6x(其中x>0,且x是整數(shù))(2)二,兩種通訊費(fèi)用相同，.y1=y2,即50+0.4x=0.6x. .x=250. 一個(gè)月內(nèi)通話250分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同.(3)當(dāng)y1=200時(shí)，有200=50+0.4x, .x=375(分). “全球通”可通話375分.當(dāng)y2=200時(shí)，有200=0.6x, .x=333-(分).31 “神州行”可通話3331分.y3.375>3331,3 選擇“全球通”較合算.例10已知y+2與x成正比例，且x=-2時(shí)，y=0.

22、(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y>0?(4)若點(diǎn)(m,6)在該函數(shù)的圖象上，求m的值；(5)設(shè)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，(2)中的圖象與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，且Saabp=4,求P點(diǎn)的坐標(biāo).分析由已知y+2與x成正比例，可設(shè)y+2=kx,把x=-2,y=0代入，可求出k,這樣即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)進(jìn)行分析，點(diǎn)(m,6)在該函數(shù)的圖象上，把x=m,y=6代入即可求出m的值.解：(1)y+2與x成正比例，設(shè)y+2=kx(k是常數(shù)，且kw0)丁當(dāng)x=-2時(shí)，y=0.0+2=k，(-2),k=-1.，函數(shù)關(guān)系

23、式為x+2=-x,即y=-x-2.(2)列表；x0-2y-20描點(diǎn)、連線，圖象如圖1123所示.(3)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)xW-2時(shí)，y>0. 當(dāng)xW-2時(shí)，y>0.點(diǎn)(m6)在該函數(shù)的圖象上，6=-m-2,nn=-8.(5)函數(shù)y=-x-2分別交x軸、y軸于A,B兩點(diǎn),.A(-2,0),B(0,-2). .SiAABP=1|AP|OA|=4,288,|BP|=-4.|OA|2，點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離為4.又二B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),且P在y軸負(fù)半軸上， .P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6).例11已知一次函數(shù)y=(3-k)x-2k2+18.(1) k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過原點(diǎn)？(2) k為何值時(shí)，它

24、的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2)?(3) k為何值時(shí)，它的圖象平行于直線y=-x?(4) k為何值時(shí)，y隨x的增大而減??？分析函數(shù)圖象經(jīng)過某點(diǎn)，說明該點(diǎn)坐標(biāo)適合方程；圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸上方,說明常數(shù)項(xiàng)b>O;兩函數(shù)圖象平行，說明一次項(xiàng)系數(shù)相等；y隨x的增大而減小，說明一次項(xiàng)系數(shù)小于0.解：(1)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則它是正比例函數(shù).0,k= -2 .22k2183k0, 當(dāng)k=-3時(shí)，它的圖象經(jīng)過原點(diǎn).(2)該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2)-2=-2k2+18,且3-kW0,.-.k=±<10 .當(dāng)k=±J16時(shí)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2)(3)函數(shù)圖象平行于直線y=-

25、x, .3-k=-1k=4.當(dāng)k=4時(shí)，它的圖象平行于直線x=-x.(4);隨x的增大而減小，3-k<O.，k>3.當(dāng)k>3時(shí)，y隨x的增大而減小.例12判斷三點(diǎn)A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一條直線上.分析由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說明在此直線上；若不成立，說明不在此直線上.解：設(shè)過A,B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b.由題意可知，1 3kb,.k1,2 0b,b2. 過A,B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2.，當(dāng)x=4時(shí)，y=4-2=2. 點(diǎn)C(4,2)在直線y=x-2上.

26、三點(diǎn)A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一條直線上.學(xué)生做一做判斷三點(diǎn)A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用.例13老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問題：(1) x從0開始逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先達(dá)到30?這說明了什么？(2)直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說：“y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30,說明y=6x比y=2x+8的值增長得快.”乙生說："直線y=-x與y=-x+6是互相平行的.”你認(rèn)為這兩個(gè)同

27、學(xué)的說法正確嗎？分析(1)可先畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>2時(shí)，6x>2x+8,所以，y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30.(2)直線y=-x與y=-x+6中的一次項(xiàng)系數(shù)相同，都是-1,故它們是平行的，所以這兩位同學(xué)的說法都是正確的.解：這兩位同學(xué)的說法都正確.例14某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠.”乙旅行社說：“所有人按全票價(jià)的6折優(yōu)惠.”已知全票價(jià)為240元.(1)設(shè)學(xué)生人數(shù)為x,甲旅行社的收費(fèi)為y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費(fèi)；(2)就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠.分析先求出甲、乙兩旅行社的

28、收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過比較，探究結(jié)論.解：(1)甲旅行社的收費(fèi)y甲(元)與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=240+1X240x=240+120x.2乙旅行社的收費(fèi)y乙（元）與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=240X60%X（x+1）=144x+144.（2）當(dāng)丫甲=丫乙時(shí)，有240+120x=144x+144,.24x=96,1.x=4.當(dāng)x=4時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)相同，去哪家都可以.當(dāng)y甲y乙時(shí)，240+120x>144x+144,24xv96,x<4.當(dāng)x<4時(shí)，去乙旅行社更優(yōu)惠.當(dāng)y甲<y乙時(shí)，有240+120x<140x+144,.24

29、x>96,l.x>4.當(dāng)x>4時(shí)，去甲旅行社更優(yōu)惠.小結(jié)此題的創(chuàng)新之處在于先通過計(jì)算進(jìn)行討論，再作出決策，另外，這兩個(gè)函數(shù)都是一次函數(shù)，利用圖象來研究本題也不失為一種很好的方法.學(xué)生做一做某公司到果園基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案.甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運(yùn)回，已知該公司租車從基地到公司的運(yùn)輸費(fèi)為5000元.（1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；（2）當(dāng)購買量在什么范圍時(shí)，選擇哪

30、種購買方案付款少？并說明理由.老師評一評先求出兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過比較，探索出結(jié)論.（1）甲方案的付款y甲（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=9x（x>3000）;乙方案的付款y乙（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=8x+500O（x>3000）.（2）有兩種解法：解法1:當(dāng)丫甲二丫乙時(shí)，有9x=8x+5000,.x=5000. 當(dāng)x=5000時(shí)，兩種方案付款一樣，按哪種方案都可以.當(dāng)y甲<y乙時(shí)，有9x<8x+5000,x<5000.又.x>3000, 當(dāng)300

31、0WxW5000時(shí)，甲方案付款少，故采用甲方案.當(dāng)y甲y乙時(shí)，有9x>8x+5000,.x>5000. 當(dāng)x>5000時(shí)，乙方案付款少，故采用乙方案.解法2:圖象法，作出y甲二9x和y乙=8x+5000的函數(shù)圖象，如圖1124所示，由圖象可得：當(dāng)購買量大于或等于3000千克且小于5000千克時(shí)，y甲<y乙，即選擇甲方案付款少;當(dāng)購買量為5000千克時(shí)，y甲>y乙即兩種方案付款一樣；當(dāng)購買量大于5000千克時(shí)，y甲村)0005 WOO 4000030000100(H)出/元>y乙，即選擇乙方案付款最少.【說明】圖象法是解決問題的重要方法，也是考查學(xué)生讀圖能力的

32、有效途徑.IJ*上1/_Iotjl)ZOOO300C'1(XX弓00060007000j-/千克例15一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3<x<6,相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5WyW-2,則這個(gè)函數(shù)的解析式為分析本題分兩種情況討論：當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大，則有：當(dāng)x=-3,y=-5;當(dāng)x=6時(shí)，y=-2,把它們代入y=kx+b中可得53kb,26kb,113,二函數(shù)解析式為y=-1x-4.4,3當(dāng)k<O時(shí)則隨x的增大而減小，則有：當(dāng)們代入y=kx+b中可得x=-3時(shí)，y=-2;當(dāng)x=6時(shí)，y=-5,把它y=- 1 x-3.323bb,.k56kb

33、,'b13,.函數(shù)解析式為3,，函數(shù)解析式為y=1x-4,或y=-1x-3.33答案：y=1x-4或y=-1x-3.33【注意】本題充分體現(xiàn)了分類討論思想，方程思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用，切忌考慮問題不全面.中考試題預(yù)測例1某地舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y（元）包括兩部分：一部分是租用比賽場地等固定不變的費(fèi)用b（元），另一部分與參加比賽的人數(shù)x（人）成正比例，當(dāng)x=20時(shí)y=160O;當(dāng)x=3O時(shí)，y=200O.（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)果有50名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，且全部費(fèi)用由運(yùn)動(dòng)員分?jǐn)偅敲疵棵\(yùn)動(dòng)員需要支付多少元？分析設(shè)舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y（元）與租用比賽場地等固定不變的費(fèi)用b

34、（元）和參加比賽的人數(shù)x（人）的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（kw。）.把x=20,y=1600;x=30,y=2000代入函數(shù)關(guān)系式，求出k,b的值，進(jìn)而求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x=50時(shí)，求出y的值，再求得y+50的值即可.解：（1）設(shè)yXb,y2=kx（kw0,x>0）,y=kx+b.又.當(dāng)x=20時(shí)，y=1600;當(dāng)x=30時(shí),y=2000,160020kb,.k40,200030kb,b800.二.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=40x+800（x>0）.（2）當(dāng)x=50時(shí)，y=40X50+800=2800（元）.，每名運(yùn)動(dòng)員需支付2800代0=56（元答：每名運(yùn)動(dòng)員需支付

35、56元.例2已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x=-4時(shí)，y的值為9;當(dāng)x=2時(shí)，y的值為-3.(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式。(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.分析求函數(shù)的解析式，需要兩個(gè)點(diǎn)或兩對x,y的值，把它們代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出這個(gè)函數(shù)的解析式，進(jìn)而畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.解：(1)由題意可知94kb,k232kb,b1.，這個(gè)函數(shù)的解析式為x=-2x+1.(2)列表如下:1x02y10的圖象.盡量張 一般情 得的指描點(diǎn)、連線，如圖1126所示即為y=-2x+1例3如圖1127所示，大拇指與小拇指開時(shí)，兩指尖的距離稱為指距.某項(xiàng)研究表明，況下人的身高h(yuǎn)是指距d的一次函數(shù)

36、，下表是測距與身高的一組數(shù)據(jù).指距d/cm20212223身高h(yuǎn)/cm160169178187(1)求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；(不要求寫出自變量d的取值范圍)(2)某人身高為196cm,一般情況下他的指距應(yīng)是多少?分析設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=kd+b(kw。)當(dāng)d=20時(shí)，h=160;當(dāng)d=21時(shí),h=169.把這兩對d,h值代人h=kd+b得16020kb,.k9,16921kb,b20.圖 11 - 27100千米/時(shí)，所以得出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)h=196時(shí)，即可求出d.解：(1)設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式為h=kd+b(kwo)由題中圖表可知當(dāng)d=2O時(shí),h=16O;當(dāng)d=

37、21時(shí)，h=169.把它們代入函數(shù)關(guān)系式，得16020kb,.k9,16921kb,b20.，h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=9d-20.(2)當(dāng)h=196時(shí)，有196=9d-20.d=24.，當(dāng)某人的身高為196cm時(shí)，一般情況下他的指距是24cm.例4汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是那么汽車距成都的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系用圖象（如圖1128所示）表示應(yīng)為（）分析本題主要考查函數(shù)關(guān)系式的表達(dá)及函數(shù)圖象的知識，由題意可知，汽車距成都的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是s=400-100t,其中自變量t的取值范圍是0WtW4,所以有0WSW40

38、0,因此這個(gè)函數(shù)圖象應(yīng)為一條線段，故淘汰掉D.又因?yàn)樵赟=400-100t中的k=-100<0,s隨t的增大而減小，所以正確答案應(yīng)該是C.答案：C小結(jié)畫函數(shù)圖象時(shí)，要注意自變量的取值范圍，尤其是對實(shí)際問題.例5已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過第二象限；（2）圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-5）.請你寫出一個(gè)同時(shí)滿足（1）和分析這是一個(gè)開放性試題，答案是不惟一的，因?yàn)辄c(diǎn)（2,-5）在第四象限，而圖象又不經(jīng)過第二象限，所以這個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一點(diǎn)，就可以確定出函數(shù)的解析式.設(shè)經(jīng)過第一、二、四象限的直線解析式為y=kx+b（kwO）,另外的一點(diǎn)為（4,3）,把這兩個(gè)點(diǎn)代入解

39、析式中即可求出k,b.34kb,k4,1.y=4x-13.52kb,b13.答案：y=4x-13【注意】后面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)二次函數(shù)后可另行分析例6人在運(yùn)動(dòng)時(shí)的心跳速率通常和人的年齡有關(guān).如果用a表示一個(gè)人的年齡，用b表示正常情況下這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=0.8（220-a）.（1）正常情況下，在運(yùn)動(dòng)日一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是多少？（2） 一個(gè)50歲的人運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)心跳的次數(shù)為20次，他有危險(xiǎn)嗎？分析（1）只需求出當(dāng)a=16時(shí)b的值即可.（2）求出當(dāng)a=50時(shí)b的值，再用b和20X60=120（次）相比較即可.解：（1）當(dāng)a=16時(shí)，b=0.8（

40、220-16）=163.2（次）.正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是163.2次.（2）當(dāng)a=50時(shí)，b=0.8（220-50）=0.8X170=136（次），表示他最大能承受每分136次.而20X9°=120<136,所以他沒有危險(xiǎn).一個(gè)50歲的人運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)心跳的次數(shù)為20次，他沒有危險(xiǎn).例7某市的A縣和B縣春季育苗，急需化肥分別為90噸和60噸，該市的C縣和D縣分別儲存化肥100噸和50噸，全部調(diào)配給A縣和B縣.已知C,D兩縣運(yùn)化肥到A,B兩縣的運(yùn)費(fèi)（元/噸）如下表所示.目亡縣D縣A具3540B縣3045（1）設(shè)C縣運(yùn)到A縣的化肥為x噸，求

41、總運(yùn)費(fèi)W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求最低總運(yùn)費(fèi)，并說明總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)的運(yùn)送方案.分析1利用表格來分析C,D兩縣運(yùn)到AB兩縣的化肥情況如下表.A#出煙B#（的噸）。具dooffE)X100-KD且(50噸)斷K60-(100-K)則總運(yùn)費(fèi)W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為W=35x+40（90-x）+30（100-x）+4560-（100-x）=10x+4800.自變量x的取值范圍是40<x<90.解：（1）由C縣運(yùn)往A縣的化肥為x噸，則C縣運(yùn)往B縣的化肥為（100-x）噸.D縣運(yùn)往A縣的化肥為（90-x）噸，D縣運(yùn)往B縣的化肥為（x-40）噸.由題意

42、可知W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）=10x+4800.自變量x的取值范圍為40<x<90.，總運(yùn)費(fèi)W（元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為w/=1Ox+480O（40<x<9Q.（2） 10>0,，W隨x的增大而增大.當(dāng)x=40時(shí)，Wt小值=10X40+4800=5200（元）.運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，x=40,90-x=50（噸），x-40=0（噸）. 當(dāng)總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，運(yùn)送方案是：C縣的100噸化肥40噸運(yùn)往A縣，60噸運(yùn)往B縣，D縣的50噸化肥全部運(yùn)往A縣.例82006年夏天，某省由于持續(xù)高溫和連日無雨，水庫蓄水量普遍下降，圖11-29是某水

43、庫的蓄水量V（萬米2）與干旱持續(xù)時(shí)間t（天）之問的關(guān)源圖，請根據(jù)此圖回答下列問題.（1）該水庫原蓄水量為多少萬米2?持續(xù)干旱10天后.水庫1水量為多少萬米3?（3）按此規(guī)律，持續(xù)干旱多少天時(shí)，水庫將干涸?（2）若水庫存的蓄水量小于400萬米3時(shí)，將發(fā)出嚴(yán)重干旱警報(bào)，請問：持續(xù)干旱多少天后，將發(fā)生嚴(yán)重干旱警報(bào)？分析由函數(shù)圖象可知，水庫的蓄水量V（萬米2）與干旱時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)的解析式是V=kt+b（k,b是常數(shù)，且kwo）.由圖象求得這個(gè)函數(shù)解析式，進(jìn)而求出本題（1）（2）（3）問即可.解：設(shè)水庫的蓄水量V（萬米3）與干旱時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式是V=kt+b（k,b是常數(shù)，且k=0）.由圖象可知，當(dāng)t=10時(shí)，V=800;當(dāng)t=30時(shí)，V=400.把它們代入V=kt+b中，得80010kb,.k20,40030kb,b1000.V=-20t+1000(0wtW50).(1)當(dāng)t=0時(shí)，V=-20x0+1000=1000(萬米2);當(dāng)t=10時(shí)，V=-20X10+1000=800(萬米3).，該水庫原蓄