新課標(biāo)同步訓(xùn)練之微積分基本定理2微積分基本定理doc

1、日照實(shí)驗(yàn)高中 2007 級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案 -導(dǎo)數(shù)微積分基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 通過實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分2.通過實(shí)例體會用微積分基本定理求定積分的方法3.通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)， 體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)：通過探究變速直線運(yùn)動物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡單的定積分自主學(xué)習(xí)：一、知識回顧：定積分的概念及用定義計(jì)算二、新課探究我們講過用定積分定義計(jì)算定積分 ,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)

2、算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動，在時刻t 時物體所在位置為S(t), 速度為v(t) （ v(t) o ），則物體在時間間隔 T1 ,T2 內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為T2v(t )dt 。T1另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（ t）在 T1 ,T2 上的增量S(T1 ) S(T2 ) 來表達(dá)，即T2v(t )dt = S(T1 )S(T2 )T1而 S (t) v(t ) 。對于一般函數(shù)f ( x) ，設(shè) F ( x)f (x) ，是否也有bF (b)F (a)f ( x)dxa若上式成立，我們就找到了用f (

3、 x) 的原函數(shù) （即滿足 F ( x)f (x) ）的數(shù)值差 F (b)F (a) 來計(jì)算 f (x) 在 a, b 上的定積分的方法。注： 1：定理如果函數(shù) F (x) 是 a,b 上的連續(xù)函數(shù) f (x) 的任意一個b()()()原函數(shù)，則fdxbxFFaa證明：因?yàn)? x)=xf( )與 F (x) 都是f (x)的原函數(shù)，故atdtF ( x) -(x) =C（ axb ）其中 C 為某一常數(shù)。令 xa 得 F (a) -( a) =C，且(a) =af (t )dt =0a即有 C= F (a) ，故 F (x) =( x) + F (a)( x) = F (x) - F ( a)

4、 =xf (t )dta令xb，有b()()( )fx dxF bF aa此處并不要求學(xué)生理解證明的過程為了方便起見，還常用F ( x) |ba 表示 F (b) F (a) ，即baf (x)dx F ( x) |abF (b)F (a)該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響，

5、是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。三、例題解析：例 1計(jì)算下列定積分：2131)dx 。（ 1）dx ； （ 2）(2 x21x1x'12 12ln 2 ln1 ln 2 。解：（ 1）因?yàn)?(ln x)，所以dxln x |1x1x（ 2）因?yàn)?)'1)'1( x2x,(x2，x所以3(2 x1)dx331x22xdxx2 dx1112313122x|1x |1(9 1) (31)3。例 2計(jì)算下列定積分：sin xdx,22sin xdx 。0sin xdx,0由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)?(cos x)'sin

6、x ，所以 sin xdx(cos x) |0( cos)(cos0)2 ，02(cos x) |2(cos2)(cos )2 ，sin xdx2(cos x) |02(cos2)(cos 0)0sin xdx.0可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:( l ）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x 軸上方時（圖 1.6一 3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1.6一 3(2 ）（ 2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時 （圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；( 3）當(dāng)位于x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于x 軸下方的曲邊梯形面積時，定

7、積分的值為 0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積例 3汽車以每小時 32 公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度 a =1.8 米 /秒 2 剎車，問從開始剎車到停車， 汽車走了多少距離？解 :首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時間。當(dāng)t=0 時，汽車速度 v0 =32 公里 /小時 = 321000 米 /秒 8.88 米 /秒 ,剎車后汽車減速行駛 ,其3600速 度 為 v(t)= v0at=8.88-1.8t當(dāng) 汽 車 停 住 時 , 速 度 v(t)=0, 故 從v(t)=8.88-1.8t=0 解得

8、t= 8.884.93 秒1.8于是在這段時間內(nèi),汽車所走過的距離是4.934.931 t2 )4.93s21.90v(t) dt(8.88 1.8t) dt = (8.88 1.80020米 ,即在剎車后 ,汽車需走過 21.90 米才能停住 .微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果課堂鞏固：1. 曲線 ycos x(0x3) 與坐標(biāo)軸圍成的面積是52A.4C.3D.2B.22.下列積分不正確的是3 1ln 3A 、1 x dxB、 0 sin xdx2C、10 x2 dx1D 、 32 ( x1 )