用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)

1、用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)定義：方程f(x) x的根稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)利用遞推數(shù)列f (x)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系anf (an 1)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法1：若f(x) ax b(a 0,a1), p是f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，an滿足遞推關(guān)系anf (an 1), (n 1)，則 anpa(an 1 p)，即an p是公比為a的等比數(shù)列.證明:因?yàn)閜是f(x)的不動(dòng)點(diǎn)ap 由 ana an 1 b 得 an p aan 1 b p a(an 1 p)所以anp是公比為a的等比數(shù)列.定理2:設(shè) f(x) axbcx 詐 0，ad bc 0)，an滿足遞

2、推關(guān)系an f (an1), n 1，初值條件aif(ai )(i)：若af (x)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p, q，則anan 1an 1p(這里qa pc)a qc(2)：若f (x)只有唯一不動(dòng)點(diǎn) p，則(這里k2c證明:f(x) x得f(x) cx4(1)因?yàn)閜,q是不動(dòng)點(diǎn)，所以2cp2cqan(d(d所以2 cx(da)xananaan 1 b can 1 d b daan icanpc a qc則並an(2)(apc)ana)p ba)q bb pd(a qc)an 1 b qdkan 1pan 1qanpca qcan因?yàn)閜是方程cx2 (da)x b 0的唯一解，所以cp2pd b

3、a pc qd b a qcpd1a pc qd b1a qc(d a)p所以pc a. 1 p a qc a. 1 q所以b2pd cpap ,p 電丄所以2canaan 1 b can 1 d(a cp)an 1 b pdC3n 1(a cp)an 1 cp2 apcan 1 d(a cp)(an 1 p)dC3n 1所以ana cpcan 1an 1上乞，則a d an pan設(shè)an滿足a11,an 1例2:數(shù)列an滿足下列關(guān)系:定理23:設(shè)函數(shù)f(x) 仝a cpexc(an 1 P)an 1 Pd cpcpan 2,nana1 2a, anbx c (a，求數(shù)列22a ana cpa

4、 cpan 1 P2can 1 P a dan的通項(xiàng)公式,a 0，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式0,e0)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)x1,x2 ,且由b 0,e證明：xk是f (x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)axkbXkXk-£-即cXkf(e a)Xk2bXk (k1,2)exk fUn 1x-!aUn2 bUn cX(eUnf)aUn2 (bex) Uc x faUn2 (bex)Un(ea)x12bx.(Un 1X2 aUn2 bUn c%2仙f)aUn2 (bexDUc x? faUn2 (bexUn(ea)x22bx2f (Un)確定著數(shù)列Un,那么當(dāng)且僅當(dāng)Un 1Un 1 x-j2a時(shí)，亠 1Un 1

5、X2嚴(yán)為JUnX2于是,1 %0方程組有唯一解b 0,e 2a1 X2a 2 2 *例3：已知數(shù)列an中,a1 2,an 1 n ,n N，求數(shù)列an的通項(xiàng)2an，還可以解決如下問(wèn)題：其實(shí)不動(dòng)點(diǎn)法除了解決上面所考慮的求數(shù)列通項(xiàng)的幾種情形例4：已知a10, a11且an 142,an6a n 1- 才，求數(shù)列an的通項(xiàng)4an (an1)解：作函數(shù)為f(x)x4 6x24x(x21)1，解方程f (X) X得f (X)的不動(dòng)點(diǎn)為Xi1, X21,X3AX。込取p331,q1 ,作如下代換:逐次迭代后，得:an4n 14n 1 1)4(a1 1)444n 1(a1 1)(a1 1)已知曲線 Cn :

6、x2 2nx y20(n1,2,K ).從點(diǎn)P( 1,0)向曲線Cn引斜率為 厶(心 0)的切線In，切點(diǎn)為 巳(Xn°n) (1)求數(shù)列Xn與丫.的通項(xiàng)公式;(2)證明:Xi X3 X5X2n 11Xn1 Xn2s in'Yn設(shè)P,q為實(shí)數(shù),是方程X2 pxq 0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列 Xn滿足X12X2p q,XnpXnqXn 2 ( n 3,4,).(1)證明:q ； (2)求1若p 1, q，求xn的前n項(xiàng)和Sn .4已知函數(shù)f(x) X2 X 1 , 是方程f (x)0的兩個(gè)根(嚴(yán)召n 1,2,L ).f (an)數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式；(3)導(dǎo)數(shù)，設(shè) a11, an 1an(1)(2)求，的值；證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an),f (X)是 f (x)的(3)記 bnIn an(nan1,2,L )，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn13陜西文 21 .(題滿分12分)已知數(shù)列an滿足，an an 1a1=1>a22，% 尸 a，n令bn an 1 an ,證明:bn是等比數(shù)列;(n)求an的通項(xiàng)公式。山東文20.(本小題滿分12 分)等比數(shù)列 an