定積分的應(yīng)用62878

1、摘要微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上一個具有劃時代意義的創(chuàng)舉，也是人類文明的一個偉大成果. 定積分概念的發(fā)生過程告訴我們，概念的形成經(jīng)歷了漫長及眾多數(shù)學(xué)家的努力，閃現(xiàn)出函數(shù)思想、極限思想、無窮小方法、化歸方法等許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時概念的結(jié)構(gòu)也存在著不同層次，呈現(xiàn)出立體結(jié)構(gòu)本文簡略的論述了定積分的概念、發(fā)展以及它在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、初等數(shù)學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用做了重點研究。討論了定積分在計算平面圖形面積、立體圖形體積以及物理方面的應(yīng)用，尤其在初等數(shù)學(xué)方面，定積分的應(yīng)用進一步得到推廣，如求數(shù)列極限、證明不等式、等式等。幷利用一些例題對這些問題做除了詳細解析。關(guān)鍵詞：定積分；數(shù)學(xué)；物理；初等數(shù)學(xué)目錄內(nèi)容摘要關(guān)鍵詞

2、第一章 定積分的概念 1.1定積分的定義 1.2定積分的幾何意義 1.3定積分的性質(zhì)第二章 定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2.1計算平面曲線的弧長2.2計算圖形的面積2.3計算立體圖形的體積第三章 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用3.1定積分在力學(xué)中的應(yīng)用3.2定積分在電學(xué)中的應(yīng)用第四章 定積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用4.1利用定積分證明不等式4.2利用定積分證明等式4.3利用定積分證明數(shù)列的極限參考文獻結(jié)束語第一章 定積分的概念1.1定積分的定義定義1 設(shè)閉區(qū)間a，b上有n-1個點依次為 a=x0x1<x2<<xn-1<xn=b，它們把a，b分成n個小區(qū)間i=xi-1，xi，i=1,2，n。這

3、些分點或這些閉子空間構(gòu)成對a，b的一個分割，記為T=x0，x1，xn或1，2，n。小區(qū)間i的長度為xi-xi-1，并記T=xi稱為分割T的模.定義2 設(shè)f是定義在a,b上的一個函數(shù).對于a,b的一個分割T=1,2,n,任取點iI,i=1,2,n,并作和式。稱此和式為函數(shù)f在a，b上的一個積分和，也稱黎曼和。定義3 設(shè)f是定義在a，b上的一個函數(shù)，J是一個確定的實數(shù)。若對任給的實數(shù)，總存在某一個正數(shù)，使得對a，b的任何分割T，以及在其上任意選取的點集，只要T，就有,則稱函數(shù)f在區(qū)間a，b上可積或黎曼可積；數(shù)J稱為f在a，b上的定積分或黎曼積分，記作J=。其中，f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，a，

4、b稱為積分區(qū)間，a、b分別稱為這個定積分的下限和上限。說明（1）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：1.2定積分的幾何意義 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號 分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負值考察和式不妨設(shè)于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）1.3定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1 若f在a,b上可積，k為常數(shù)，則kf在a,b上可積，且。 性質(zhì)2 若f,g都在

5、a,b上可積，則f±g在a,b上也可積，且。 性質(zhì)1與性質(zhì)2是定積分的線性性質(zhì)，合起來即為，其中為常數(shù)。 性質(zhì)3 若f,g都在a,b上可積，則fg在a,b上也可積。 在一般情形下。注意，在一般情形下。性質(zhì)4 f在a,b上可積的充要條件是：任給c（a,b），f在a,c和c,b上都可積。且。規(guī)定1 當a=b時，令；規(guī)定2 當a>b時，令。性質(zhì)5 設(shè)f為a,b上的可積函數(shù)，若f(x)0,xa,b,則。推論 若f與g為a,b上的可積函數(shù)，且f(x)g(x).xa,b,則有。性質(zhì)6 若f在a,b上可積，則|f|在a,b上也可積，且 |.第二章定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2.1計算平面曲線的弧長 定義1設(shè)曲線C有參數(shù)方程給出，若C為一光滑曲線，則C是可求長的，且弧長為。 （1） 若曲線C有直角坐標表示，把它看作參數(shù)方程時，即為. 所以當在上連續(xù)可微時，此曲線即為一光滑曲線，這是弧長公式為. (2)若曲線C