函數單調性和奇偶性專題

1、函數單調性和奇偶性專題1 知識點精講：一、單調性1.函數的單調性定義：一、函數單調性的定義及性質 （1）定義對于給定區(qū)間上的函數，如果對任意，當，都有，那么就稱在區(qū)間上是增函數；當，都有，那么就稱在區(qū)間上是減函數與之相等價的定義：，或都有則說在這個區(qū)間上是增函數（或減函數）。其幾何意義為：增（減）函數圖象上的任意兩點連線的斜率都大于（或小于）0。（2）函數的單調區(qū)間如果函數在某個區(qū)間上是增函數（或減函數），就說在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調性，這一區(qū)間叫做該函數的單調區(qū)間。如函數是增函數則稱區(qū)間為增區(qū)間，如函數為減函數則稱區(qū)間為減區(qū)間。單調性反映函數的局部性質。一個函數在區(qū)間上都是增函數，但它

2、在區(qū)間上不一定是增函數。（3）判斷單調函數的方法：定義法，其步驟為：在該區(qū)間上任取，作差、化積、定號；互為反函數的兩個函數具有相同的單調性；奇函數在對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調性，而偶函數在對稱的兩個區(qū)間上卻有相反的單調性；復合函數單調性的根據：設都是單調函數，則在上也是單調函數，其單調性是與單調性相同則是增函數，單調性相反則是減函數。幾個與函數單調性相關的結論：（）增函數+增函數=增函數；減函數+減函數=減函數；（）增函數減函數=增函數；減函數增函數=減函數。如果在某個區(qū)間上是增函數（或減函數），那么.在區(qū)間的任意一個子區(qū)間上也是增函數（或減函數）。（4）常見一些函數的單調性：一次函數，當

3、時，在上是增函數；當時，在上是減函數反比例函數，當時，在和上都是減函數；當時，在和上都是增函數二次函數，當，在上是減函數，在上是增函數；當，在上是增函數，在上是減函數當時，和在其定義域內為增函數，當，和在其定義域內為減函數。二、奇偶性對于函數的定義域內任意一個，都有或，則稱為奇函數. 奇函數的圖象關于原點對稱。對于函數的定義域內任意一個，都有或，則稱為偶函數. 偶函數的圖象關于軸對稱。通常采用圖像或定義判斷函數的奇偶性. 具有奇偶性的函數，其定義域原點關于對稱（也就是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱）2 經典例題剖析：（不帶答案版）單調性:例1（1）函數f(x)|x2|

4、x的單調減區(qū)間是_.（2）函數的單調區(qū)間_；變式：（1）函數的單調區(qū)間為 （2）設函數f(x)，g(x)x2f(x1)，則函數g(x)的遞減區(qū)間是_例2：（1）函數在上單調遞減，則實數的范圍_；（2）函數在上單調遞增，則實數的范圍_。變式：（1）已知函數f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調性，則實數a的取值范圍為_（2）函數y=loga（2ax）在0，1上是減函數，則a的取值范圍是_.例3設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x1對稱，且當x1時，f(x)3x1，則, 之間的大小關系是_.例4定義新運算：當ab時，aba；當a<b時，abb2，則函數f(x)(1x)x(2x

5、)，x2,2的最大值等于_.例5： （1）用定義證明在上是減函數。變式：用定義證明函數 在上的單調性。例6：已知函數，常數）若函數在上為增函數，求的取值范圍變式：已知函數在區(qū)間上是增函數，求實數的范圍。例7： 設函數，判斷在其定義域上的單調性。 例8：求（且）的單調區(qū)間。例9：設為實數，函數，求 的最小值奇偶性例1：判斷下列函數的奇偶性：（1） （2）（3） （4） （5）變式：判斷函數的奇偶性 例2：已知是偶函數，時，求時的解析式.變式：已知是奇函數，是偶函數，且，求、.例3：若是偶函數，且在上增函數，又，求的解集。例4：（1）定義在上的奇函數是減函數，解關于的不等式：。（2）定義在上的偶函

6、數在上單調遞減，且成立，求的取值范圍。變式：（1）定義在上的偶函數，上為增函數，且成立，求的取值范圍。（2）定義在上的奇函數是減函數，且成立，求的取值范圍。例5：已知函數對任意都有，并且當時，。（1）求證：在上是增函數；（2）若,求滿足條件的實數的取值范圍。變式：（1）設函數是定義在R上的奇函數，且在區(qū)間上是減函數。試判斷函數在區(qū)間上的單調性，并給予證明。（2）已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)0，且在(，0)上單調遞增，如果x1x2<0且x1x2<0，則f(x1)f(x2)的取值范圍是_.例6：已知函數f（x）=x+m（p0）是奇函數，當x1，2時，求f（x）的最大

7、值和最小值.變式：設為實數，函數。（1）討論函數的奇偶性；（2）求函數的最小值3 經典例題剖析：（部分帶答案版）單調性:例1（1）函數f(x)|x2|x的單調減區(qū)間是_.解 由于f(x)|x2|x結合圖象可知函數的單調減區(qū)間是1,2（2）函數的單調區(qū)間_；【分析】對函數，是由向右平移1個單位得到，由反比例函數性質得，函數在上單調遞增，特別注意：單調區(qū)間不能寫成，可舉反例說明；【解】上單調遞增；變式：（1）函數的單調區(qū)間為 （2）設函數f(x)，g(x)x2f(x1)，則函數g(x)的遞減區(qū)間是_【解析】由題意知g(x)函數圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)例2：（1）函數在上單調遞減，則實數的

8、范圍_；【分析】關于二次函數的單調性，注意看兩個方面，即開口方向和對稱軸，注意結合二次函數的圖像解題.問題（1）中給定了函數在上單調遞減，而圖象開口向上，因此對稱軸應在的右邊，從而；（2）函數在上單調遞增，則實數的范圍_。【分析】函數，由圖象可知函數在的范圍內，當遞減，當遞增，由題意在上單調遞增得。變式：（1）已知函數f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調性，則實數a的取值范圍為_【解析】 函數f(x)x22ax3的圖象開口向上，對稱軸為直線xa，畫出草圖如圖所示由圖象可知，函數在(，a和a，)上都具有單調性，因此要使函數f(x)在區(qū)間1,2上具有單調性，只需a1或a2，從而a(，12，)

9、（2）函數y=loga（2ax）在0，1上是減函數，則a的取值范圍是_.【解析】題中隱含a0，2ax在0，1上是減函數.y=logau應為增函數，且u=2ax在0，1上應恒大于零.1a2.例3設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x1對稱，且當x1時，f(x)3x1，則, 之間的大小關系是_.【解析】由題設知，當x<1時，f(x)單調遞減，當x1時，f(x)單調遞增，而x1為對稱軸，例4定義新運算：當ab時，aba；當a<b時，abb2，則函數f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_.【解析】 f(x)在定義域內都為增函數，所以最大值6。例5：用定義證明在上是減函

10、數?！咀C明】 設,，且，則由于，則，即，所以在上是減函數。變式：用定義證明函數 在上的單調性?！咀C明】設、，且，則，又，所以，當、時，此時函數為減函數；當、時，此時函數為增函數。綜上函數 在區(qū)間內為減函數；在區(qū)間內為增函數。注 由于與0的大小關系不是明確的，因此要分段討論。討論的方法是令，則，解得。例6：已知函數，常數）若函數在上為增函數，求的取值范圍【解析】設，則 ， 要使函數在上為增函數，必須恒成立 ，還要，即恒成立 又，所以的取值范圍是 變式：已知函數在區(qū)間上是增函數，求實數的范圍?！敬鸢浮恳陨侠}都是用定義法判定函數單調性，基本方法是作差-化積-定號。這種方法思路比較清晰，但通常過程比

11、較繁瑣，有時也可以利用函數單調性的性質來判斷其他函數的單調性。例7： 設函數，判斷在其定義域上的單調性。 【解析】函數的定義域為.先判斷在內的單調性，由題可把轉化為，又故，雖x的增大而減小，所以在上為減函數；同理可判斷在內也是減函數。故函數在和內是減函數（本題在內也是減函數）。變式：已知，若，試確定的單調區(qū)間和單調性。函數性質法只能借助于我們熟悉的單調函數去判斷一些函數的單調性，因此首先把函數等價地轉化成我們熟悉的單調函數的四則混合運算的形式，然后利用函數單調性的性質去判斷，但有些函數不能化成簡單單調函數四則混合運算形式就不能采用這種方法。例8：求（且）的單調區(qū)間。【解析】由題可得函數是由外函

12、數和內函數符合而成。由題知函數的定義域是。內函數在內為增函數，在內為減函數。若，外函數為增函數，由同增異減法則，故函數在上是增函數；函數在上是減函數。若，外函數為減函數，由同增異減法則，故函數在上是減函數；函數在上是增函數。小結：判斷復合函數的單調性的一般步驟：合理地分解成兩個基本初等函數；分別解出兩個基本初等函數的定義域；分別確定單調區(qū)間；若兩個基本初等函數在對應區(qū)間上的單調性相同，則為增函數，若為一增一減，則為減函數（同增異減）；求出相應區(qū)間的交集，即是復合函數的單調區(qū)間。一分二求三定四交 同增異減確定區(qū)間例9：設為實數，函數，求 的最小值【解析】當時，函數，若，則函數在上單調遞減，函數在

13、上的最小值為；若，函數在上的最小值為，且當時，函數，若，則函數在上的最小值為，且；若，則函數在上單調遞增，函數在上的最小值綜上，當時，函數的最小值是，當時，函數的最小值是，當，函數的最小值是奇偶性例1：判斷下列函數的奇偶性：（1） （2）（3） （4） （5）變式：判斷函數的奇偶性 例2：已知是偶函數，時，求時的解析式.變式：已知是奇函數，是偶函數，且，求、.例3：若是偶函數，且在上增函數，又，求的解集?！窘馕觥俊＠?：（1）定義在上的奇函數是減函數，解關于的不等式：。【解析】不等式可化簡為由于函數是奇函數因此則有, 解得 或， 即 不等式f (1a)f (1a2)<0的解集是a| -1

14、<a<0（2）定義在上的偶函數在上單調遞減，且成立，求的取值范圍?！敬鸢浮孔兪剑海?）定義在上的偶函數，上為增函數，且成立，求的取值范圍?！敬鸢浮炕颍?）定義在上的奇函數是減函數，且成立，求的取值范圍。點評：函數的單調性和奇偶性結合應用是此類習題的一般解法，但在應用時要特別注意函數的定義域。例5：已知函數對任意都有，并且當時，。（1）求證：在上是增函數；（2）若,求滿足條件的實數的取值范圍?！窘馕觥浚?）設，。又，故函數上是增函數。（2）。由，得。根據在上是增函數，可得，解得。變式（1）設函數是定義在R上的奇函數，且在區(qū)間上是減函數。試判斷函數在區(qū)間上的單調性，并給予證明。（2）已

15、知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)0，且在(，0)上單調遞增，如果x1x2<0且x1x2<0，則f(x1)f(x2)的取值范圍是_.【解析】由x1x2<0不妨設x1<0，x2>0.x1x2<0，x1<x2<0.由f(x)f(x)0知f(x)為奇函數又由f(x)在(，0)上單調遞增得，f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.例6：已知函數f（x）=x+m（p0）是奇函數，當x1，2時，求f（x）的最大值和最小值.【解析】f（x）是奇函數，f（x）=f（x），x+m=xm，2m=0，m=0.（1）當p0時，據定義可證明f（x）在1，2上為增函數.f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（2）當p0時，據定義可證明f（x）在（0，上是減函數，在，+）上是增函數.當1，即0p1時，f（x）在1，2上為增函數，f（x