函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性規(guī)律總結(jié)

1、函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性 關(guān)嶺民中數(shù)學(xué)組(一)、同一函數(shù)的函數(shù)的奇偶性與對稱性：（奇偶性是一種特殊的對稱性）1、奇偶性:（1） 奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式（2）偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關(guān)系式 2、奇偶性的拓展 : 同一函數(shù)的對稱性 （1）函數(shù)的軸對稱：函數(shù)關(guān)于對稱也可以寫成 或 若寫成：，則函數(shù)關(guān)于直線 對稱 證明：設(shè)點(diǎn)在上，通過可知，即點(diǎn)上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x=a對稱。得證。說明：關(guān)于對稱要求橫坐標(biāo)之和為，縱坐標(biāo)相等。 關(guān)于對稱，函數(shù)關(guān)于對稱 關(guān)于對稱，函數(shù)關(guān)于對稱 關(guān)于對稱，函數(shù)關(guān)于對稱（2）函數(shù)的點(diǎn)對稱：函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱 或 若寫成：，函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對稱 證明：設(shè)

2、點(diǎn)在上，即，通過可知，所以，所以點(diǎn)也在上，而點(diǎn)與關(guān)于對稱得證。 說明: 關(guān)于點(diǎn)對稱要求橫坐標(biāo)之和為,縱坐標(biāo)之和為,如 之和為 。（3）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱:假設(shè)函數(shù)關(guān)于對稱，即關(guān)于任一個(gè)值，都有兩個(gè)y值與其對應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于對稱。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會出現(xiàn)關(guān)于對稱，比如圓它會關(guān)于y=0對稱。（4）復(fù)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)定理：性質(zhì)1、復(fù)數(shù)函數(shù)yfg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)fg(x)。復(fù)合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)fg(x)。性質(zhì)2、復(fù)合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；復(fù)合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則f(xa)f(ax)。性

3、質(zhì)3、復(fù)合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，則yf(x)關(guān)于直線xa軸對稱。復(fù)合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對稱。總結(jié)：x的系數(shù)一個(gè)為1，一個(gè)為-1，相加除以2，可得對稱軸方程總結(jié)：x的系數(shù)一個(gè)為1，一個(gè)為-1，f(x)整理成兩邊，其中一個(gè)的系數(shù)是為1，另一個(gè)為-1，存在對稱中心?？偨Y(jié)：x的系數(shù)同為為1，具有周期性。(二)、兩個(gè)函數(shù)的圖象對稱性1、與關(guān)于X軸對稱。證明：設(shè)上任一點(diǎn)為 則，所以經(jīng)過點(diǎn)與關(guān)于X軸對稱，與關(guān)于X軸對稱.注：換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。2、與關(guān)于Y軸對稱。證明：設(shè)上任一點(diǎn)為則，所以經(jīng)過點(diǎn) 與關(guān)于Y軸對稱，與關(guān)于Y軸對稱。注：因?yàn)榇氲盟越?jīng)

4、過點(diǎn)換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。 3、與關(guān)于直線 對稱。證明：設(shè)上任一點(diǎn)為則，所以經(jīng)過點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，與關(guān)于直線 對稱。注：換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。4、與關(guān)于直線對稱。證明：設(shè)上任一點(diǎn)為則，所以經(jīng)過點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，與關(guān)于直線對稱.注：換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。5、關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱。證明：設(shè)上任一點(diǎn)為則，所以經(jīng)過點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱，關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱.注：換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱。6、與關(guān)于直線對稱。證明：設(shè)上任一點(diǎn)為則，所以經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn),與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱。三、總規(guī)律：定義在上的函數(shù)，在對稱性、周期性和奇偶性這三條性

5、質(zhì)中，只要有兩條存在，則第三條一定存在。一、 同一函數(shù)的周期性、對稱性問題(即函數(shù)自身)(一)、函數(shù)的周期性：對于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期。1、 周期性： （1）函數(shù)滿足如下關(guān)系式，則 A、 B、 C、或（等式右邊加負(fù)號亦成立） D、其他情形 （2）函數(shù)滿足且，則可推出即可以得到的周期為2(b-a)，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對稱，則函數(shù)一定是周期函數(shù)” （3）如果奇函數(shù)滿足則可以推出其

6、周期是2T，且可以推出對稱軸為，根據(jù)可以找出其對稱中心為（以上） 如果偶函數(shù)滿足則亦可以推出周期是2T，且可以推出對稱中心為，根據(jù)可以推出對稱軸為 （以上）（4）如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理1：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期. 定理2：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理3：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理4：若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b都對稱，則f(x)是周期函數(shù)，2（b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期）。定理5：若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（a,c）和(b,c)都成中心對稱，則f(x)是周期函數(shù)，2（b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期）。定理6：若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)（a,c）和x=b都對稱，則f(x)是周期，4（b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期）。定理7：若函數(shù)f(x)滿足f(x-a)=f(x+a)(a0),則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期。定理8：若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-