行列式計(jì)算的若干種方法

1、中南民族大學(xué)畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))學(xué)院: 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 專業(yè): 統(tǒng)計(jì)學(xué) 年級:2008 題目: 行列式計(jì)算的若干方法 學(xué)生姓名: 曹金金 學(xué)號:08067005 指導(dǎo)教師姓名: 汪寶彬 職稱:講師 2012年4月30日16中南民族大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果.除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品.本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān). 作者簽名： 年 月 日 目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract 1Key words11 引言22.1排列22.2行列式的定義22

2、.2.1 二階、三階行列式22.2.2 n階行列式的定義32.2.3 幾種特殊的行列式的定義32.3 行列式的基本性質(zhì)53幾種常見的行列式的計(jì)算方法63.1利用行列式定義直接計(jì)算63.2 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算63.3 三角化法73.4 降階法83.5利用范德蒙德行列式求解103.6 數(shù)學(xué)歸納法113.7 拆項(xiàng)法123.8析因子法133.9 加邊法(升階法)133.10遞推公式法143.11超范德蒙行列式法153.12利用分塊計(jì)算行列式164 結(jié)論16致 謝17參考文獻(xiàn)17 行列式計(jì)算的若干方法摘要：在線性代數(shù)中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介紹行列式的定義與性質(zhì)；然后通過實(shí)例給出了計(jì)算

3、行列式的幾種方法.從文中可以看出，選擇合適的計(jì)算方法可有效的計(jì)算行列式.關(guān)鍵詞：行列式；性質(zhì)；計(jì)算方法 Some Methods of Determinant CalculationAbstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some exa

4、mples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1 引言 行列式最早出現(xiàn)在十六世紀(jì)關(guān)于線性方程組的求解問題，時(shí)至今日行列式的應(yīng)用卻遠(yuǎn)不如此，它在消元法，矩陣論，坐標(biāo)變換，多重積分中的變量替換，解行星運(yùn)動的微分方程組，二次型有廣泛應(yīng)用，其中行列式的計(jì)算是個(gè)重要問題.利用行列式的性質(zhì)與計(jì)算

5、方法的技巧較易地解決初等數(shù)學(xué)中的一些較繁與較難解決的問題, 如運(yùn)用行列式分解因式, 證明等式與不等式, 以及在幾何方面的應(yīng)用, 從而體現(xiàn)用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性.線性代數(shù)在各門學(xué)科中占據(jù)著重要地位，在大多數(shù)的理工科專業(yè)都開設(shè)這個(gè)課程，是所有理工科的基礎(chǔ)學(xué)科，而行列式在線性代數(shù)里是最為基礎(chǔ)且最重要的一章.行列式是研究線性代數(shù)的有力手段和重要工具，主要應(yīng)用在線性方程組、二次型、矩陣的計(jì)算求解中，例如求解線性方程組、求矩陣的秩、判斷向量線性相關(guān)、求矩陣的特征值等.許多實(shí)際和理論問題歸結(jié)為行列式計(jì)算.因此，行列式尤為重要，跟其他理工學(xué)科相輔相成，然而行列式的計(jì)算往往是極為復(fù)雜的，求

6、解行列式的算法要比解線性方程組的算法要少得多，所以在實(shí)際運(yùn)用中，我們要掌握各種計(jì)算行列式的方法，尋求最優(yōu)算法來計(jì)算行列式，從而解決各種實(shí)際問題. 行列式計(jì)算的基本思想：對于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定義計(jì)算.對于一般的行列式，我們主要有下面兩種計(jì)算思想：利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行行列式的初等變換,將其劃為上(或下)三角形行列式,進(jìn)而得到結(jié)果.利用行列式按行(列)展開定理進(jìn)行降階和遞推.在典型的計(jì)算過程中一般兩種方法同時(shí)應(yīng)用,先利用性質(zhì)化出盡可能多的零元素,然后再利用行(列)展開定理降階,化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算. 本文將介紹行列式的定義以及性質(zhì)，通過介紹行列式計(jì)算的基本方法利用行列式定義直接

7、計(jì)算、利用行列式的性質(zhì)計(jì)算、三角形化法、降階法、利用特殊行列式、數(shù)學(xué)歸納法、拆項(xiàng)法、析因子法、加邊法、遞推法、超范德蒙行列式法等.再應(yīng)用實(shí)例計(jì)算行列式，理論和應(yīng)用相結(jié)合，較全面的介紹行列式的幾種計(jì)算方法.2 行列式的定義及性質(zhì)2.1排列定義1 由個(gè)不同自然數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱作為級排列，級排列的總數(shù)為定義2 在一個(gè)排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的大于后面的數(shù)，那么它們就為一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).定義3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.2.2行列式的定義2.2.1 二階、三階行列式行列式是代數(shù)式的簡要記號，如下： （

8、2-1） （2-2）分別是二階、三階行列式，兩式的左端表示行列式的記號，右端是行列式的全面展開式.行列式的元素有兩個(gè)下標(biāo)，分別稱為行標(biāo)和列標(biāo).如表示該元素位于第3行、第2列.從上面的二級行列式和三級行列式的定義中可以看出，行列式的結(jié)果都是由一些乘積的代數(shù)和，而且每一項(xiàng)乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素組成，并且所有的展開式恰好是由所有這種可能的乘積組成.每一項(xiàng)乘積所帶的符號是由排列的逆序數(shù)奇偶性原則決定的（當(dāng)排列的逆序數(shù)為偶排列時(shí)，在三級行列式的展開式定義中，該項(xiàng)帶有正號，當(dāng)排列的逆序數(shù)為奇排列時(shí)，在三級行列式的展開式定義中，該項(xiàng)帶有正號）.2.2.2 n階行列式的定義 （2-3

9、）其中 表示對所有 階排列 的種數(shù)進(jìn)行相加，共有項(xiàng)2.2.3 幾種特殊的行列式的定義 在行列式計(jì)算中，往往會將行列式轉(zhuǎn)換成具有特殊形式的行列式，再進(jìn)行計(jì)算，因此熟悉和掌握這些特殊行列式及其計(jì)算公式對提高計(jì)算行列式的技巧和效率是非常重要的.（1） 上(下)三角行列式等于它主對角線元素的乘積. ； . （2-4） （2）對角行列式等于它的主對角線元素的乘積，. （2-5）（3）副對角線下(上)邊的元素全為0的行列式 ； （2-6） （2-7） （4）階范德蒙德行列式 （2-8）稱為范德蒙德（Vandermonde）行列式，其中表示連乘.范德蒙德行列式的特點(diǎn)： 第一行全為1； 第二行的各個(gè)數(shù)各不相同

10、； 后一行與前一行對應(yīng)列的比值等于第二行對應(yīng)列的元素; 范德蒙德行列式為零的充要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相同.（5） 箭形行列式設(shè)，則. （2-9）若存在某個(gè)或某些對角元可對行進(jìn)行降階處理，箭形行列式有以下幾個(gè)形式： 這幾個(gè)形式的都可類似方法化為三角行列式進(jìn)行計(jì)算.（6）分塊上(下)三角行列式等于它的主對角線上各方陣的行列式的乘積分塊上三角行列式，又稱為上塊(準(zhǔn))三角行列式：. （2-10）其中對角塊為階行列式，且，為行列式的階，特別地，當(dāng)，時(shí)成立：分塊下三角行列式，又稱為下塊(準(zhǔn))三角行列式：. （2-11） （7）分塊對角方陣的行列式等于主對角線上各方陣的行列式的乘積 . （2-12）2.

11、3 行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)1 行列式的行與列對應(yīng)互換得到的新行列式，記作 （2-13）性質(zhì)2 任意對換行列式的兩行（或兩列）元素，其值變號.性質(zhì)3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.推論 兩行（或兩列）元素對應(yīng)相同或者有一行（或列）全為零的行列式，其值為零.性質(zhì)4 行列式中若有兩行（或兩列）對應(yīng)元素成比例，其值為零性質(zhì)5 行變換與列變換行列式的值不變.性質(zhì)6下列行列式成立 （2-14）3幾種常見的行列式的計(jì)算方法3.1利用行列式定義直接計(jì)算例1計(jì)算行列式解: 中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為. （3-1）該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t（n1 n21n）等于，故 （3-2）

12、 3.2 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2一個(gè)n階行列式的元素滿足 （3-3） 則稱為反對稱行列式，證明奇數(shù)階反對稱行列式為零.證明：由知，即故行列式可表示為由行列式的性質(zhì) （3-4）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得，因而得 3.3 三角化法 運(yùn)用行列式的性質(zhì)把行列式變換成位于主對角線一側(cè)的所有元素全等于零，這樣得到的行列式等于主對角線上元素的乘積，對于次對角線上的情形，行列式的值等于與次對角線上所有元素的乘積.例3計(jì)算行列式 解：把每行均加至第一行, 提出公因式,再把第一行的-a倍分別加到第二行至第n行,得例4計(jì)算階行列式解：利用性質(zhì)7對行列式做變換，依次將第行乘加到第行，再將第列全加到第1列.得按展開，得再將階行

13、列式的第1行乘加到其余各行后，將第列全加到第列，得，根據(jù)副對角線下三角為零的行列式，得3.4 降階法 就是把一個(gè)階行列式化簡為個(gè)階行列式，然后以此類推，直到把階行列式化為若干個(gè)2階行列式來計(jì)算.特別需要注意的是，按行或列展開時(shí)一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，這樣才能有效減少運(yùn)算量.（1）一般降階法階行列式等于它的任一行（列）各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和，即或. （3-5）行列式按一行（列）展開能將高階行列式轉(zhuǎn)化為若干低階行列式計(jì)算，稱為降級法.這是一種計(jì)算數(shù)字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用時(shí)應(yīng)先利用行列式的性質(zhì)，將某行（列）元素盡可能多的變成零，然后再展開，計(jì)算才能更方便

14、，對一些特殊構(gòu)造的行列式可利用拉普拉斯定理降階計(jì)算.此法中由于級行列式的第行構(gòu)成的級子式個(gè)，所以對一般行列式能降階卻不能減少計(jì)算量.例5 計(jì)算階行列式分析：該行列式的元素分布規(guī)律來看，可以用直接遞推降階法，找出，再依次遞推出其他項(xiàng)，最終可求出.解：根據(jù)行列式展開定理，將按第一行展開，則將后面的行列式按第一列展開，則（2）遞推降階法設(shè)階行列式，欲求其值，由于交換行列式的兩行（列），行列式只改變符號，故，現(xiàn)在令，遞推降階法可分為直接遞推和間接遞推.直接遞推關(guān)鍵是找出一個(gè)關(guān)于的代數(shù)式來表示，依次從逐級遞推便可以求出的值.間接遞推即借助于行列式中元素的對稱性，交換行列式構(gòu)造出關(guān)于和的方程組，從而消去就

15、可以解得.例6 計(jì)算階行列式解：將按第列展開可得，整理得，將這個(gè)式子兩邊分別同乘以后，再相加得而則這道例題也可以直接用一般的降階法直接展開，一般降階法和遞推降階法之間是沒有很明確的界定，往往在計(jì)算行列式中，是兩種方法融匯結(jié)合的.如果一個(gè)行列式的元素分布上比較有規(guī)律，則可以設(shè)法找出階行列式與低級行列式的關(guān)系依次類推，將行列式按行(列)展開，達(dá)到降階的目的，最后將低階行列式計(jì)算即可.3.5利用范德蒙德行列式求解例7計(jì)算行列式解：把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例8 計(jì)算n+1 階行列式 解：從第i 行提取公因子(i

16、=1,2,n+1)就可以得到轉(zhuǎn)置n+1 階范德蒙行列式 求解得3.6 數(shù)學(xué)歸納法 一般是采用不完全歸納法，先分析猜想出行列式值的規(guī)律，得到一般性結(jié)論，然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的正確性.行列式的特點(diǎn)是主對角線上元素含有三角函數(shù),并且?guī)捉嗤?，沿主對角線兩側(cè)的元素全是1.例9計(jì)算分析：，所以猜想所以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明原行列式的值等于猜想值.證明：當(dāng)時(shí)命題成立.假設(shè)時(shí)命題成立.當(dāng)時(shí)，將按第一列展開當(dāng)時(shí)命題成立，對有：，證明猜想值成立.3.7 拆項(xiàng)法 就是利用行列式的性質(zhì)，將行列式拆成若干個(gè)較容易計(jì)算的行列式，再分別計(jì)算.例10行列式的特點(diǎn)是主對角線的元素全部是，上三角與下三角的元素分別是和,二

17、者互為相反數(shù).此類行列式常用拆分法來計(jì)算. （3-6）根據(jù)行列式的性質(zhì)，行列式的行列互換時(shí)行列式的值不變，得 （3-7）由式子（3-6），（3-7）消去，得3.8析因子法所謂析因子法, 就是當(dāng)行列式時(shí), 求得方程的根, 從而將行列式轉(zhuǎn)化為其因子和積, 這樣會大大減少計(jì)算量.該方法適用于主對角線上含x 多項(xiàng)式的題型.例11計(jì)算行列式 解：由行列式的定義知為x的4次多項(xiàng)式.當(dāng)時(shí)，1、2行相同，有，是的根.當(dāng)時(shí)，1、2行相同，有，是的根.故有四個(gè)一次因式，設(shè)令則，即3.9 加邊法(升階法)加邊升階法是將所要計(jì)算的階行列式適當(dāng)?shù)靥砑右恍幸涣校ɑ蛐辛校┑玫揭粋€(gè)新的（或）階行列式，保持行列式的值不變，但要

18、所得的（）階行列式較易計(jì)算，加邊法的一般做法是：或 （3-8）特殊情況取或例12計(jì)算行列式解：3.10遞推公式法遞推公式法就是先將行列式表示兩個(gè)(或幾個(gè))低階同型的行列式的線性關(guān)系式, 再用遞推關(guān)系及某些低階( 2 階, 1階)行列式的值求出的值.該方法適用于行(列) 中0 較多的或主對角線上、下方元素相同的題型.例13計(jì)算行列式解：該二階齊次線性遞歸式的特征方程為，其根為4、5，既有，于是有同理有所以，聯(lián)立兩式的3.11超范德蒙行列式法 超范德蒙行列式法就是考察n+ 1階范德蒙行列式, 利用行列式與某元素余子式的關(guān)系計(jì)算行列式的方法.該方法適用于具有范德蒙行列式形式的題型.例14 計(jì)算行列式

19、(超范德蒙德行列式)解：考察階范德蒙德行列式顯然就是行列式中元素的余子式.即（為代數(shù)余子式）.又由的表達(dá)式（及根與系數(shù)的表達(dá)式）知，中的系數(shù)為即3.12利用分塊計(jì)算行列式分塊矩陣是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法，這個(gè)計(jì)算方法就是通過分塊矩陣的行（列）的初等變換將它化成準(zhǔn)三角行列式，從而可以將它化成較低階行列式的乘積，再根據(jù)分塊矩陣的公式進(jìn)行計(jì)算求出行列式的值.例15計(jì)算5階行列式解：先對行列式中的行列轉(zhuǎn)換得 由公式（2-10）式，得.4 結(jié)論行列式的計(jì)算方法靈活多變，但萬變不離其宗，在計(jì)算時(shí)一定要仔細(xì)觀察其類型特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用行列式計(jì)算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解.選擇行列式計(jì)算方法最主要的還

20、是看行列式元素分布的規(guī)律，例如用范德蒙德行列式計(jì)算時(shí)，要注意行列式中元素的分布要與范德蒙德行列式有所相似，才能對行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)換變成范德蒙德行列式計(jì)算，否則盲目的進(jìn)行轉(zhuǎn)換不僅不能使行列式計(jì)算更快捷反而會使計(jì)算更繁雜.所以要按不同的情況進(jìn)行選擇：（1）對于階數(shù)較低的行列式可以直接用定義、性質(zhì)或是化三角法進(jìn)行計(jì)算；（2）而階數(shù)較高的行列式可以進(jìn)行降階遞推計(jì)算，或者進(jìn)行拆分計(jì)算.當(dāng)然在選擇這些計(jì)算方法時(shí)不一定是一種方法獨(dú)立進(jìn)行計(jì)算，也可以是多種方法的綜合計(jì)算，例如可以對行列式進(jìn)行降階，再根據(jù)性質(zhì)展開遞推出行列式的結(jié)果；也可能先對行列式進(jìn)行加邊升階再遞推降階計(jì)算.有時(shí)對于一個(gè)行列式也可以有很多種計(jì)算方法計(jì)算.因此，要對行列式的性質(zhì)和定理等相關(guān)的基礎(chǔ)非常的熟悉，了解各種行列式計(jì)算方法的不同，才能針對不同的行列式選擇最適合的計(jì)算方法.利用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)問題具有很強(qiáng)的優(yōu)越性.可以利用行列式的性質(zhì)與計(jì)算方法的技巧較易地解決了初等數(shù)學(xué)中的一些較繁與較難解決的問題. 本文較全面的介紹行列式的幾種計(jì)算方法，然而行