圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程

1、 圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程一、 教學(xué)內(nèi)容解析圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程是人教版教材選修4-4里面的內(nèi)容，也是理科生必需掌握的重點知識，它是學(xué)生在以前已學(xué)過曲線的極坐標方程，以及在前面幾節(jié)學(xué)習了圓錐曲線的定義與標準方程以及第二定義的基礎(chǔ)上，從幾何學(xué)角度，運用坐標法進一步研究圓錐曲線的極坐標關(guān)系，極坐標與直角坐標結(jié)合思想，初步形成極坐標法解決幾何問題的能力，并逐漸內(nèi)化為學(xué)生的習慣和基本素質(zhì)，為以后更深入學(xué)習圓錐曲線的知識打下基礎(chǔ)。本節(jié)課內(nèi)容共一個課時。教學(xué)過程中，讓學(xué)生利用已有的知識，自主探索用極坐標法坐標法去研究圓錐曲線內(nèi)在實質(zhì)的方法，體驗有關(guān)的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”以及合作學(xué)習的意識。一、

2、 教學(xué)目標設(shè)置由于本節(jié)課在以前的學(xué)習過程已有所接觸，教師準備“學(xué)案”先讓學(xué)生提前思考，歸納出直圓錐曲線的極坐標方程以及對應(yīng)各個參數(shù)的意義。通過學(xué)生的推導(dǎo)、分析、概括，促使學(xué)生把解析幾何中用方程研究曲線的思想與曲線幾何性質(zhì)相結(jié)合，從而把傳授知識和培養(yǎng)能力融為一體，完成本節(jié)課的教學(xué)目標。二、 學(xué)生學(xué)情分析在經(jīng)歷極坐標方程、圓錐曲線的第二定義學(xué)習后，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的用方程研究幾何對象的能力，因此，我在教學(xué)中通過提供的豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習環(huán)境，創(chuàng)設(shè)便于觀察和思考的情境，給他們提供自主探究的空間，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習過程，引導(dǎo)學(xué)生在已有數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過積極主動的思維而將新知識內(nèi)化到自己的認知

3、結(jié)構(gòu)中去同時為他們施展創(chuàng)造才華搭建一個合理的平臺，使他們感知學(xué)習數(shù)學(xué)的快樂。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，通過不同形式的探究活動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生和發(fā)展過程，從中領(lǐng)悟解決問題的思想方法，不斷提高分析和解決問題的能力，使數(shù)學(xué)學(xué)習變成一種愉快的探究活動，從中體驗成功的喜悅，不斷增強探究知識的欲望和熱情，養(yǎng)成一種良好的思維品質(zhì)和習慣。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和我所教學(xué)生的實際，本節(jié)課的教學(xué)目標確定為以下三個方面：知識與技能目標：（1）熟練掌握圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標的推導(dǎo)過程。（2）掌握圓錐曲線統(tǒng)一極坐標方程中各個參數(shù)表示的幾何意義，比如，對應(yīng)在圖形中的幾何意義。（3）重點掌握

4、圓錐曲線極坐標方程在解決一般問題中所體現(xiàn)的優(yōu)勢性，比如定值問題、焦點弦等問題，極坐標方程為其提供了充分有利的平臺。過程與方法目標：（1）通過對圓錐曲線統(tǒng)一極坐標方程的探究活動，經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流的學(xué)習方式。（2）強化學(xué)生用極坐標法解決幾何問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和靈活解決問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀目標：通過對本節(jié)課的探究活動，加深學(xué)生對極坐標法解決圓錐曲線問題的認識，領(lǐng)悟極坐標法對于解決問題的優(yōu)勢性，體驗探索中成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習熱情，養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣和品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。三、 教學(xué)策略分析本節(jié)課以問題為載體，學(xué)生活動為

5、主線，讓學(xué)生利用已有的知識，自主探究，培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習的習慣。通過建立數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)；通過對圓錐曲線統(tǒng)一極坐標形式的探究，進一步提高學(xué)生的思維能力和歸納能力。在教學(xué)方法的選擇上，主要采用教師組織引導(dǎo)的學(xué)習方式，力求體現(xiàn)教師的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，通過引導(dǎo)，讓學(xué)生對圓錐曲線極坐標方程的推導(dǎo)得出有很自然和直觀的結(jié)果認識。四、 教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖復(fù)習引入1、極坐標表示曲線時，應(yīng)當注意幾個要素？極坐標的三個基本量是什么？2、回顧圓錐曲線的第二定義，想一想以前是如何將三種曲線的定義統(tǒng)一起來的。3、可否將極坐標系

6、填充到圓錐曲線的方程之中。師：讓學(xué)生之間進行回憶、討論、交流。生：自己畫圖、看圖，并說出自己的看法。啟發(fā)學(xué)生由以往的指示獲取與本節(jié)課有關(guān)的知識，提前做好準備。概念形成問題1 思考引例：既然極坐標可以表示平面內(nèi)的任何一點，那么對于圓錐曲線上的點，可否用極坐標=表示？師：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，分析問題。生：觀察圖形，利用前面所復(fù)習知識，引入新課。說明極坐標與直角坐標是相通的，引出今天所學(xué)知識解決這個問題的必要性。概念深化 問題2 既然圓錐曲線上的任意點可以用極坐標表示，那么整個曲線可否用對應(yīng)的極坐標方程表示呢？師：引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的極坐標方程的推導(dǎo)與表示方法。生：回憶圓的極坐標方程的表示以及對應(yīng)極點不同

7、而導(dǎo)致的方程表示不同。從“第二定義”和“方程”的角度，求圓錐曲線的極坐標方程。應(yīng)用舉例如圖所示，截取圓錐曲線的一部分，由圓錐曲線的第二定義可知，曲線上的任意一點M到定點F的距離與M到定直線l的距離之比為常數(shù)。師：指導(dǎo)學(xué)生回憶圓錐曲線的第二定義，即統(tǒng)一定義。生：第二定義即是與離心率e有關(guān)的一個定義?；A(chǔ)知識的夯實，對今天所學(xué)內(nèi)容可以得出很自然的推導(dǎo)。應(yīng)用舉例也即|MF|MA|=e.將極坐標嵌入圓錐曲線之中，我們以圓錐曲線中規(guī)定的頂點為極點，以水平方向為極軸，建立極坐標系，則圓錐曲線上的任意一點M可以用唯一的M (,)表示。以p表示定點F到定直線的距離l之間的距離，利用幾何關(guān)系，可知：|MA|=|

8、BK|=p+*cos故p+*cos=e即：=e*p1-e*cos此方程成為圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程。公式推導(dǎo)只是截取了圓錐曲線的一部分，我們可以將整支曲線放入極坐標系中，體會這里的定點與定直線對應(yīng)的意義。0<e<1,時，表示橢圓；e>1時表示雙曲線；e=1時表示拋物線例1、經(jīng)過橢圓的焦點F1任意做兩條互相垂直的弦AB和CD，求證：ABCD為定值。師：注意這里的幾何關(guān)系，怎樣將其推導(dǎo)在極坐標方程之中。生：圓錐曲線的第二定義與上極坐標工具，公式的得出很自然。師：拋物線、橢圓、雙曲線之中，這里的定點F和定直線l分別表示那個對應(yīng)的幾何量。生：學(xué)生觀察圖形，給出直觀作答。師：未學(xué)極坐標

9、方程之前，這樣的題目我們是如何求解的？生：設(shè)點，聯(lián)立方程求交點，再證明。體會公式推導(dǎo)的思想方法，關(guān)注量與量之間的關(guān)系。使學(xué)生以更深層次的角度對基礎(chǔ)知識有直觀理解。溫習舊知識，體現(xiàn)溫故知新。應(yīng)用舉例問題3：F為極點建立極坐標系，怎樣去處理這里的證明關(guān)系式？問題4：回顧以前采用直角坐標解決這道題的方法，是否可以提現(xiàn)出極坐標在解決圓錐曲線問題中的優(yōu)越性？問題5：在極坐標系中，選取的極點不同，是否對應(yīng)得出曲線的極坐標方程形式也不同呢？師：引導(dǎo)學(xué)生對例題建立極坐標系，并對所求的長度關(guān)系應(yīng)用極坐標表示。生：互相討論、交流。通過分析、抽象、歸納，得出求直線方程的一般思路。師：引導(dǎo)學(xué)生通過運算過程，體會各種方

10、法的差異性。生：極坐標方程簡化了許多不必要的運算過程，節(jié)省時間。師：學(xué)生自己猜想，結(jié)論留給學(xué)生課余推導(dǎo)證明。生：方程形式應(yīng)該不同，因為極坐標和直角坐標類似，坐標系不同，點和曲線的坐標位置不同。提高對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運用。進一步開解極坐標方程對于運算過程的優(yōu)越性。給予學(xué)生發(fā)揮的空間，充分尊重學(xué)生的想法和觀點，鞏固所學(xué)過的知識，進一步理解和掌握極坐標方程。歸納總結(jié)問題6：請你梳理一下本節(jié)課的內(nèi)容，可以從知識、技能、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)經(jīng)驗等方面進行？此外你從其他同學(xué)那里又學(xué)到的什么，以后的學(xué)習過程中有需要注意什么？師：引導(dǎo)學(xué)生從各個不同角度思考、分析問題。生：互相討論、交流，學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)

11、容?；仡?、反思、總結(jié)形成知識體系。課外作業(yè)請同學(xué)們完成2012年重慶市高考題的第14題。生：學(xué)生獨立完成。鞏固所學(xué)知識。五、 教學(xué)評價設(shè)計新課程強調(diào)學(xué)習過程的評價，因此，在對學(xué)生學(xué)習結(jié)果評價的同時，更應(yīng)高度重視學(xué)生學(xué)習過程中的參與度、自信心、合作意識、獨立思考的能力及學(xué)習的興趣等。根據(jù)本節(jié)課的特點，我從以下幾個方面進行教學(xué)評價：通過問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，使學(xué)生找到要學(xué)的與以學(xué)知識之間的聯(lián)系；問題串的設(shè)置可讓學(xué)生主動參與到學(xué)習中來；在判斷方法的形成與應(yīng)用的探究中，師生的相互溝通調(diào)動學(xué)生的積極性，培養(yǎng)團隊精神；知識的生成和問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維；通過練習檢測

12、學(xué)生對知識的掌握情況；根據(jù)學(xué)生在課堂小結(jié)中的表現(xiàn)和課后作業(yè)情況，查缺補漏，以便調(diào)控教學(xué)。圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程（學(xué)案）學(xué)習目標：（1）通過圓錐曲線極坐標方程的推導(dǎo)，進一步領(lǐng)會極坐標法的思想方法。（2）掌握極坐標法對于解決圓錐曲線問題的常用步驟。（3）通過解決實例，進一步感受數(shù)形結(jié)合思想等的應(yīng)用，理解解析幾何的幾何本質(zhì)。一、復(fù)習：1、平面的任意一點用極坐標法如何表示？2、以前所學(xué)的知識，是如何將三種圓錐曲線統(tǒng)一起來的？3、極坐標和圓錐曲線特征量表示的幾何意義是什么？二、教學(xué)過程設(shè)計問題1：思考引入：用幾何法，將極坐標方程嵌入圓錐曲線之中，并將對應(yīng)的極坐標方程推導(dǎo)出來。問題2：得出的統(tǒng)一極坐標方

13、程=e*p1-e*cos各個參數(shù)表示的意義需弄清。問題3：體會這一系列過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。三、結(jié)合以上的推導(dǎo)過程，解決下列數(shù)學(xué)問題：例1、經(jīng)過橢圓的焦點𝐹1任意做兩條互相垂直的弦𝐴𝐵和𝐶𝐷，求證：ABCD為定值。解：法1：直角坐標系解析法以橢圓的中心O為坐標原點，建:立如圖所示的坐標系，則F1-c,0，A(x1,y1), B(x2,y2)，C(x3,y3) Ax4,y4,設(shè)AB所在直線l1:y=k(x+c),則CD所在直線為l2:y=-1k(x+c),并設(shè)橢圓的標準方程為O：x2a2+y2b2=1，聯(lián)立方程

14、，利用距離公式。聯(lián)立O和l1y=k(x+c)x2a2+y2b2=1代換yx2a2+k2(x+c)2y2=1化簡即:x2a2k2+b2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0利用韋達定理：x1+x2=-2a2k2ca2k2+b2,x1x2=a2k2c2-a2b2a2k2+b2則 AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2 y=k(x+c) 1+k2(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2故化簡可得AB=a2k2+b22ab2(1+k2) ,同理CD=a2+b2k22ab2(1+k2)則ABCD=a2+b22ab2法2 極坐標法：以橢圓的焦點F1為極點，建立極坐標系：則此時橢圓的極坐標方程為：=e*p1-e*cos又設(shè)A(1,), B(2,+), C(2,+2) ,D(3,+32)則FA=e*p1-e*cos，F(xiàn)B=e*p1-e*cos(+),那么AB=FA+FB=1+2=2ep1-e2cos2同理CD=2ep1-e2sin2 ,則ABCD=2-e22ep問題4：通過以上兩種方法的對比，你是否已經(jīng)體驗出極坐標方程