第五節(jié)解三角形及應(yīng)用舉例

1、5.5 解三角形及應(yīng)用舉例一 知識(shí)要點(diǎn)歸納：掌握三角形有關(guān)的定理：正余弦定理：a2=b2+c2-2bccos,；利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）；利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)問(wèn)題：（1）已知三邊，求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。內(nèi)角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= -cosC,cos=sin,sin=cos面積公式：S=absinC=bcsinA=casinBS=pr= (其中p=,r為內(nèi)切圓半

2、徑)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA掌握正弦定理、余弦定理及其變形形式，利用三角公式解一些有關(guān)三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例.另外，解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”。二例題講解：例1在ABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及邊c解：由正弦定理得：sinA=,因?yàn)锽=45

3、6;<90°且b<a,所以有兩解A=60°或A=120°(1)當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-(A+B)=75°， c=,(2)當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-(A+B)=15°，c=思維點(diǎn)撥：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問(wèn)題，用正弦定理解，但需注意解的情況的討論例2：ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是，如果，求證：A2B證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin2B=si

4、nBsinC=sinBsin（A+B）（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B），因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）0.所以sin（AB）=sinB.所以只能有AB=B，即A=2B.評(píng)述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.（1） 該題若用余弦定理如何解決? 解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA=，cos2B=2cos2B1=2（）21=1=。所以cosA=cos2B.因?yàn)锳、B是ABC的內(nèi)角，所以A=2B.（2） 該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角

5、形，利用幾何知識(shí)解決?解：由題設(shè)a2=b（b+c），得=，作出ABC，延長(zhǎng)CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.式表示的即是=，所以BCDABC.所以1=D.又AB=AD，可知2=D，所以1=2.，因?yàn)锽AC=2+D=22=21，所以A=2B.評(píng)述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷。例3已知銳角ABC中，（1）求證：；（2）設(shè)AB3，求AB邊上的高。剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.（1）證明：sin（A+B）=，sin（AB）=，=2.tanA=2tanB.（2）解：

6、A+B，sin（A+B）=.tan（A+B）=，即=.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得tanB=（負(fù)值舍去）.得tanB=，tanA=2tanB=2+.設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力.例4：在ABC中，分別是角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知成等比數(shù)列，且，求角A的大小及的值。剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.解法一：a、b、c成

7、等比數(shù)列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60°.在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60°，=sin60°=.解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60°，bcsinA=b2sinB.=sinA=.評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.例5在ABC中，已知，求ABC的面積.解法1：設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b，.故所求面積解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面積例6

8、如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)ABC的中心G，設(shè)ÐMGAa（）（1） 試將AGM、AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為a的函數(shù)（2）求y的最大值與最小值解：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，所以 AG，ÐMAG，由正弦定理得則S1GM·GA·sina，同理可求得S2（2） y72（3cot2a），因?yàn)?，所以?dāng)a或a時(shí)，y取得最大值ymax240當(dāng)a時(shí)，y取得最小值ymin216三、小結(jié)：1利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的