高中全數(shù)數(shù)學(xué)公式

1、三角函數(shù)tan2ct=1-cos2a1+cos2a合角公式sin(a+G=sinacos0+cosctsin0sm(a-B)=sinacos-cosasin°cos(ot+p)=cosacosp-sinasin°cos(a-p)=cosotcosp+sinasin°“、tana+tanBtan(a+p)=r1 -tanatanp,、tana-tanp七+tanatan。全能公式2 tenSsina=x1+tan221-tan2ycosa.=x1+tan2j2tanStana.=l-tan2和差化積x+yx-ysinx+siny=2sin?"cos?&qu

2、ot;倍角公式sin2ct=2sinacosax+yx-ysinxsiny=2cos：sin-x+yx-yo.,ca彳mCcosx+cosy=2coscoscos2a=cosasinxa=2cos“q-1=1-2sina乙22tanatan2a=；-1-tarazax+yx-ycosx-cosy=-2sin.'sin"半角公式積化和差sinctcos。=sm(a+夕)+sin(a£)cosasinp=ysm(a+g)-sin(a歹)1一cos2atana=±-!14cos2acosacosp=ycos(a+cos(a-p)-1-cos2aslna=乙sin

3、asinp=-cos(a+p)-cos(a一p)乙-1+cos2a.cosset=乙asinx + b cosx = Va2 +b2 sin(x+ ©) tan巾誘導(dǎo)公式sin-*cos和tan->cot是加減三的關(guān)系，假設(shè)原先的角加減后的角的新函數(shù)值與原先的 符號不同，那么要加負(fù)號其它sin2a+cos2a=1sec2a-tei7i2a=1csc2a-cot2a=1sinaesca=1cosaseca=1tanacota=11Sq=-absinC乙三角函數(shù)的圖像y=Asin(a)x+cp)+k對稱軸(ox+cp=kn+7對稱中心(kn,0)增區(qū)間2kn-7,2kK+7L22&

4、#171;減區(qū)間2kn+/21ai+引CDX+(p=klT對稱中心(1CTI+不0)增區(qū)間kn-n,kn減區(qū)間kThkn+ny=Atan(a)x+cp)+k對稱中心(kn,0)增區(qū)間(2kn-p2kn+y)余強定理a2=b2+c2-2bc-cosAb2+c2-a2cosA=tt2bc彳篝式對稱性a>b«b<a傳遞性a>b,b>c<=>a>ca>b=a+c>b+c推論a+c>b+dy=Acos(wx+cp)+ka>b,c>0-ac>bea>b,c<O=ac<bc當(dāng)z為定值時，當(dāng)且僅當(dāng)a時,推

5、論fa>b>0c>d>0nac>bd(ab)msx=(芋)di = a2 = a3 =-=.時取等號若(中不能取到等號那么用調(diào)和函數(shù)a>b>O=5an>bn(neN+；n>1)a>b>O=&&>VS(nuN。n>1)(11<rja>b,ab>0=?>?=>a>bl>oaba“b已知f(x)=ax2+bx,1<f(-l)<2,2<f(l)<4,求f(2)范圍？ft-2)=4a-2b=mf(-l)+nf(l)處若止為之曬而;=m(a-b)+

6、n(a+b)=(m+n)a+(m-n)b注：力=fGJ，再依照x的值域來確信概念A(yù)G = AAD = (e1 + eZ)rm+n=4rm=1Imn=一21n=3f(-2)=4a-2b=f(-l)+3f(l)5<f(-2)<12均值不等式a+h了算術(shù)平均數(shù)>vl+b幾何平均數(shù)乙域平面向盤三點共線 AB= OA=aOB+pOC=aOB+(l-c三線共點三點共線OP = xOA + yOB(x+y = 1)因為C、G、E共線OP =xOA +yOB 十 zOC(x +y + z = 1)CG=uCE=(e7-et)AG+GC=AC22點斜式(a+b)+c=a+(b+c)(o>

7、+n)a=a)a+uaco(na)=(D|1)S(a+b)二面+而基底%,%，%不平行，任意云存在唯一實數(shù)ava2使a=21%+a2e2(向量W關(guān)于%,電的分解式)a=(x1Jy1)b=(x2,y2)己+6=(x1+x”y1T若：，那么Xi%一切出a-b=|a|b|cos(ab)=xtx2+若aIKiJ5-1空向向蜃共而向量=xa+yb（xxy唯一而不共線）截曲式若a=b則x+y=a,k=1一樣式Ax+By+C=0(A2+B20)平行I二k式瓦工區(qū))駕崇恥BzC-O)x4.iB2-AsBjiLBiC2B2C垂直瓦=0且A2=0k1k2=-1(52工0)1A2+B1B2=0(aB2*0)通徑d=

8、(a>i>0)a相交k：工k2A1B2-A2BaSA 口(Dk = k <瓦=b2)d=(b>a>0)b準(zhǔn)線x=+(a>>>0)cy=+y(b>a>0)焦半徑|PF|=a+ex0(a>&>0)|PF|=b+eyo(b>a>0)立=&=Q.a2b2c2AB2A2Bi=0且3C2B2c幺=0(卷雉/弦長公式|AB|=、ER|x2一%|當(dāng)三角形PF】Fz面積最大時，P為短軸端點像圓一個動點到兩個定點的距離之和為定值的點形成的軌跡為橢圓。(2aF1F2)X2V2f+=1(a2=b2+c2)a，bz雙曲線

9、一個動點到兩個定點的距離之差為定值的點形成的軌跡為雙曲線。離心率越大，開口越大。X2V2rr-7-=1(c2=a2+b2)a，bzCIPF1焦距畫=而。)CIPFI焦距八、J仗=畫=甬。)ckb2e=-ex=1+1<eaa，漸近線y=±x(a>&>0)0<e<1y = ± x（b > a > 0）共核心雙曲線系三一£ = 1a A D- 4-A共漸近線雙曲線系1一看二人a*4 d-拋物線一個動點到一個定點的距離等于那個動點 到定直線的距離的點形成的軌跡為拋物線。y2 = 2Px F（p o）焦半徑（拋物線上任意一點

10、到F的距離）l?F| = xo 2P（次oj Yo）過核心的通徑最短|AB|=2P©底二擊m（弧度°°, nia1 =印=廝1S = -lr圓心0（ab）半徑r（x -a）2 + （y- b）2 = r2一樣式 x2 +y2 + Dx+ Ey + F = 0（D = -2a E= -2b F= a2+b2-r2）,D2 + E2-4F2r2 =圓一線(Ax+By+C=0lx2+y2+Dx+Ey+F=0nmx2+nx+p=0A>0相交A=0相切A<0相離眩長|AB|=2Vr2-d2=Vk2+l|x2-x2|=v'k2+lV(Xi+x2)2-圓一圓

11、(x2+y2+DjXH-Ejy+Fa=0U2+y?4-D2x+E2y+F2=0方式壟混,、,、>(Di-D2)x+(EiE2)y+Fj-F2=0(此式為兩圓的交點所在的直線的方程)x?+y2+DX+E,y+%=00212：x24-y24-D2x+E2y4-F2=0%+乩=o當(dāng)入工-IB寸，表示過兩圓交點的所有圓的方程當(dāng)入=-U時，表示過兩圓交點的弦的直線方程(假設(shè)兩圓相切，那么表示兩圓的內(nèi)公切線)夠析平面人向|AB|=5/(x2-xj)2+(y2-yi)2成ocw0,kuO,+co)a=-k不存在2aw&n)ke(-GO,0'三段X（捺）=T（斜率為負(fù)倒數(shù)）x2+x

12、77;ys+y±線一點直線上任取兩點A、B,找到它們關(guān)于P的對稱點C、D,求出過這兩點的直線P到兩直線距離相等所求直線上任取一點a（x17打），找到它關(guān)于P（x2；%）在已知直線上的對稱點B（x?3%）則矩離P(xiyj11：Axx+B2y+g=012：A2x+B2y+C2=0點一線|AX十瓦%+QJa=,=JaJ+b：線一線.|CGIa=1,VA2+B2(此處為平行的兩個式子x、y的系數(shù)都相等的時候)對稱A5,yjP(X27Yz)B(1%)11：Atx+B1y+Ct=012：A2x+B2y+C2=013：A3x+B3y+C3=0點一點R(2x2-X,2%-yJ點一線fx3=2x2-

13、X1”為a、b中電二zy2-Zi點）代人已知直線Aj（2x2Xj）+B式2y2-%）+C,=0線一線求出11與1?的核心P92J%），在上任取一點A（/7Vi），找到A關(guān)于1?的對稱點B（x3,%）那么，P、B都在所求直線上中心直線系lj：Atx+Bty4-C-t=012：A2x+B2y+C2=01與U的核心為p，那么A1x+B1y+C2+A（A2x+B2y+C2）=0表示過p的所有直線（表示不了匕）到角將k逆時針繞P旋轉(zhuǎn)到k，那么k所旋轉(zhuǎn)的角0叫做L到1?的角到角PEyOP2(x2,y2/z2)點d=v&2-XiP+(y2-ylP+(z2-z工/取直線方向向量己tan6=1+k1k2

14、通過cosa=a-ABr,Hi|AB|C0S°P(XjRZ)關(guān)于X軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于z軸對稱關(guān)于xOy對稱關(guān)于yOz對稱關(guān)于xOz對稱關(guān)于原點對稱P(x,-y?-z)P(-x,y,-z)P(-x,-y,z)P(x,y,-z)P(-x?yzz)P(x,-y,z)P(f-yt-z)通過s譏2a+cos2a=1求sinax=sina|AB|線一線平移使兩異面直線相交，并確定一個平面，那么直線被平移前直線與所成平而的距離即為線線間距離線一而在I上任取一點AA與平而任意一點B連線平面單位法向量為七BAH=|AB|-coszBAHABAHPi(x»y和馬(叼,丫2在2)的中點陽|二

15、畏懺|ab司pfXl+X2%+丫2Z十為3k2，-2，2)|P1p21=J(x1-+工一yJ2十(z【一z，直棱柱S.：1=chV=sh正棱錐S創(chuàng)="h'V=：sh正棱臺s二=：(c+c)h'V=h(s+Jss+5)球S=4”R2V=)R?圓柱S,v=2nRhV=sh圓錐S,=ttRLv=；sh圓臺S>=tt(&+r)LV=nh（r2+M+r2）包面色笈平行線一面線平行于面內(nèi)任意直線而一面相交直線兩兩平行垂直線一面線垂直面內(nèi)兩相交直線面一面線垂直而則過線的面垂直而交角面一而三垂線定理cosZAOC=cosZAOB-cosZBOC證明Mel線一面JfeI=

16、6AcaiBea點一線（三點共線）不重合的兩個平面一個公共點，那它們只有一條過這點的公共直線教列求通項公式an觀觀點已知Sn求ann=lai=Sin>2an=Sn-Sn.i遞推公式法一、an+i-an=d二、T±i=qan3、疊加法（a己知）歪-a產(chǎn)33-32=a4-33=25-84二36-35=8n-3n-l=會加以后得31已知因此an=4、己知an+i=Pan+q倒成(an.i+x)=P(an+x)因此an+i=Pan+px-x令q=px-x可求出xbn=an+X為等比數(shù)列，公比p求前n項和Sn公式法nCaj+an)n(n-l)Sn=11alHdrq=1Sn=naiqa1a

17、-q)Sn=l2+22+32+(n-l)2+n2=7n(n+l)(2n+1)6倒序相加(乘)法(乘用于等比數(shù)列且已知XiXn)Pn=Xi-X2-X3Xn-VXnPn=Xn'Xn.1X3&&Pn2=XiXnX2Xn-l'XsXn-2Xn-1Xz'XnXi=(Xixn)n=(ab)npn=V(ab)n=(ab)2分組求和錯位相減(等差an等比bn求anbn的Sn)裂項相消%二房求工1_113n=n(n+l)=n-nTlSn=a!+a2+a3+an.i+an其它等差數(shù)列an=am+(n-m)d=a1+(n-l)d若m+n=p+q,那么+an=ap+aqam4-

18、n%=md等差數(shù)列中ShSzk-SbS3k-S2kn=成等差數(shù)列，公差k2d若W共有2n項，那么S嘴一S奇二血S鎘：S奇=an+l：an若a，共有2n+l項，那么S嘴S奇二S%：S奇=n：(n+1)等比數(shù)列an=aiq-G、b成等比數(shù)列，那么G2=a，b1 " 11 、根數(shù)列中SgCk-S2k成等比數(shù)列，公 比qk若m+n=p+q,那么"an=ap-aq='qf+i _41 -3+1 -3 1 -2+1 -2之 2(<3 - V2)流理芻在朝推理歸納推理特殊一一股I類比推理特殊一特殊T結(jié)論不一定正確7=>2(vznTl-演繹推理(嚴(yán)格證明)假言推理一切、

19、人十6煙(若a= b，b = c二段儉推理若p = q> P為真則q為亙1 1 1 1+赤+初+百+而之不等式證明比較法作差作商綜合法由已知條件推出結(jié)論分析法從結(jié)論入手，找出成立的條件要證A只需證B2G2-1+一戲+Vim標(biāo))=2(vfn+1-1)不等式解法一元一次ax+b>0(ah0)一元二次ax11無理數(shù)被開方數(shù)中有未知數(shù)2、樂 通 + 你k + vk + 1jF(x) > g(x)4-bx+c>0(a戶0)求，并判定正負(fù)Z顯然成立AA反證法已知A,求證B假設(shè)rB為真即C矛盾(不符已知條件或已知公理或已證過結(jié)論)，原命題正確換元法構(gòu)造函數(shù)縮放法A>0時：求兩根

20、借圖像用根解題分式移項-同分玲化積高次因式分解等于零的根數(shù)軸(從右邊起，右在上)解題l+*+5+,“+2±2(VFR-l)含有絕對值|x|<a(a>0)平方岳之2(vm-何F(x)>0.gW<0f(x)>0g(x)2<f(x)v'F(x)<pCx)指數(shù)況討論（F（x）>0g（x）>0（g（x）2>fW有意義、底不同化同底、分情綜合（1）（2）知關(guān)于neN+n>n。命題正確對數(shù)況討論線性計劃a>l>ffWto<a<1汽可<5(x)有意義、底不同化同底、分情a>lf(x)>

21、0g(x)>0f0)>ga)分常使為修捐用語命題可以判斷真假的語句開語句（條件命題）含有變量的語句全稱命題針對全體對象的命題存在性命題對象中部分且題為真或pflqpLJq真，命題為真BCfW>og（x）>o（f（x）ug（算）A：f（x）=0,B；f（x）>06f（x）<o線定界點定域（ABC三個域）含直線時用實線不然用虛線敢孽力的怯適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題格式1）當(dāng)n=n。（Ji。為第一個值）時帶入已知式子，并計算-n=時命題正確2)可使n=k(k2為jkeN+)時命題正確k帶入已知式子取得有k的式子A3）那么，當(dāng)。=卜+1時k+1帶入已知式子取得有k的式

22、子B,利用A也確實是當(dāng)n=k+1時，命題正確p>q同時為真，命p、q至少有一個為P的否定全稱命題的非是存在性命題存在性命題的非是全稱命題京命題否命題老命題逆否命題原命題的否定若P則q若rp那么rq若q則p若rq那么rp若p則rqf(x+Ax)-f(x)r（x）="一產(chǎn)此一耳x-Axy-f(x0)=f,(x)(x-xa)求過某點的切線方程設(shè)切點（X。：y0）求f'G）并去Axy-f(Xo)=fr(x)(x-xa)將已知點（X,y）代入求出Go,y0）那么方程可求四那么運算Axf(x)+g(x)T=r(x)+gXx)a積分下限b積分上限f(x)-g(x)r=r(x)-gXx

23、)kf(x)dx=kf(x)dxCf(x”=cf3f(x)g(x)=f,(x)g(x)+f(x)gz(x)f(x)+g(x)dx=Jf(x)dx±Ig(x)dxg(x)f(x)ffx)g(X)-f(x)gXx)g(x)2f(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx特殊的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定積分有正負(fù)，轉(zhuǎn)化成而積的時候要注意。事函數(shù)f(x)=xafrCx0)=axoa-1指數(shù)函數(shù)f(x)=ax螺=n(nl)(n-2)(n-3)(nm+1)=n!(n-mJ!f*(x0)=ax°Inarmbnn(nl)(n-2)(n-3)(n-m+1)n!m：ml(n-m)!f(x)=exAm-pmAm

24、壯n.一bn對數(shù)函數(shù)f(x) = logdx(X。)=m-l i - pm n 1 1口 一 出f(x) =lnx(X。) = *CS=C：=A°=1三角函數(shù)f(a) = sin afr(a) = cos af(a) = cos af*(a) = " sin a二物式定理(a+b)n=C°an+Can-1b+-+CSan-rbr+CJbn常函數(shù)f(x) = a復(fù)合函數(shù)(1+犬尸中，令x=l,那么y = g(t)t = f(x)禺+禺+量+禺=2"二項式系數(shù)Ci展開式中間的最大，奇數(shù)定積分n-1j f(x)dx = lira f()二項式系數(shù)等于偶數(shù)二項式

25、 系數(shù)。i=0裒敢f(X)被積函數(shù)純虛數(shù) 非純虛數(shù)虛數(shù)z = a + bi z = a - biDOO=(Xa-E(X)2px+(x2-E(X)xp2+-+(x-E(X)2pttD(aX+b)=a2D(X)D(b)=0|z|=|z|=Ja2+b2=z-za+bi(ac+bd)+(be-ad)iD(X)=E(X-E(X)：=E(X2)E(X)zc + dic2+d2徒封從元素個數(shù)為N的整體中不放回的抽取容量為n的樣本，若是每次抽取時整體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方式叫做簡單的隨機抽樣。一、抽簽法一一簡單的隨機抽樣二、隨機數(shù)表法一一簡單的隨機抽樣3、分層抽樣4、系統(tǒng)抽樣法(等距抽樣

26、)系統(tǒng)抽樣法組距二美標(biāo)準(zhǔn)差§二嚴(yán)重匹警運亙數(shù)學(xué)期望E(X)=x1Pl+.+工4E(aX+b)=aE(X)+bE(b)=bE(X1+X2)=E(X1)+E(X2)散點圖把表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點表小。線性相關(guān)散點圖中的數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線附近，叫這兩個數(shù)據(jù)近似成線性相關(guān)關(guān)系。回歸直線方程y=a+bx總離差頻率散布直方圖小長方形面積二頻率橫坐標(biāo)：很多組距縱坐標(biāo)：蕓整體密度曲線頻率直方圖用一條光滑的曲線y=f(x)來描繪，這條光滑的曲線叫總體密度曲線。方差Q=X?=i(yi-71)2二支®-a-b%)2g_£N/iVi-n對-n的一SLixi2-nx2-Sili

27、Xj2-nx2八一1a=y-bx隨機現(xiàn)象當(dāng)在相同的條件下多次觀察同一現(xiàn)象，每次觀察到的結(jié)果不一定相同，事先很難預(yù)料哪一種結(jié)果出現(xiàn)。大體事件是實驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其它事件可以用它們來描繪。大體事件空間所有基本事件構(gòu)成的集A口。并事件A和事件B至少有一個發(fā)生。事件A包括的大體事件數(shù)為mP(A)=-n幾何微型PGL u A? u u An) = P(A，+ P(A2) + + 收交事件A和事件B同時發(fā)生。C二AcB或AB條件概率對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率。p(b|a),、P(AnB)p(b|a)=r-互斥事件不可能同時發(fā)生的兩個事件。

28、(互不相容事件)互斥事件的概率加法公式事件a為區(qū)域n的某一子區(qū)域，a的概率知與子區(qū)域A的幾何氣宇(長度、面積或體枳)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)。(無窮性、等可能性)區(qū)域A的幾何度量=區(qū)域的幾何度量概率隨機變量試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著實驗的結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量。型隨機變量隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出XXiX2 Xi Xn一 pPiP2 Pi Pn來，則X為離散型隨機變 量。那個表為離散型隨機變量X的概率散布(散 布列)。散布列中概率大于等于零，和為1。二點散布 q=i-pX10ppq0<p<l一樣加法公式P(A

29、uB)=P(A)+P(B)-P(AnB)互為對立事件不能同時發(fā)生且必有個發(fā)生的兩個事件。P(A)=1-P(A)彼此獨立事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，這兩個事件A、B相互獨立。彼此獨立事件的概率PGLnA”nAn)=P(A，xP(AJxxP(雌)=p古典慨型在一次實驗中，可能顯現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的大體事件。(有限性)每一個大體事件發(fā)生的可能性是均等的。(等可能性)每一個大體事件發(fā)生的可能性是均等的P(AJ=1D(X)=pq超JI何散布有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件，這n件中所含這種物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率為P(

30、X=m)=1為n和M中較小的一個）周圍，O越大，散布越分散。E（X）nMITP（H-a；n+o）=68.3%P（U-2aj2a）=95.4%獨立重復(fù)實臉P（li-3（y3a）=99.7%設(shè)封分例獨立性查驗（1） x2<3.84«,事件A與B有無關(guān)在相同的條件下，重復(fù)的做n次實驗，各次實驗的結(jié)果彼此獨立，那么稱為n次獨立重在一次實驗中事件A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)實驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為pn（k）=cpk（i-p）n-k頻數(shù)BB合計Annnizni+InzinzzX01kn合i1n.in.2nPCjpoquc甜qn-1Ckpbqn-kc瞅qhnlln22n12n21）復(fù)實驗°（只考慮有兩個可能結(jié)果A和A）表中的第二行恰好是二項式展開式各對應(yīng)項的值，稱如此的離散型隨機變量X服從參數(shù)為n、p的二項散布XBQ1,p）（2）X2>3.84W,有95%的把握說事件AE（X）=npD（X）=npq正態(tài)散布正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式1G3f（x）=e-2a-、i-o2數(shù)學(xué)期望：p標(biāo)準(zhǔn)差：aN（%a2）正態(tài)曲線（1）曲線在x軸上方，關(guān)于x=N對稱，且在x=n時最大為（2）曲線取與h臨近的值的概率大，取離p越遠(yuǎn)的值的概率