工力2章彎曲變形

1、6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形懸臂梁懸臂梁簡支梁簡支梁1簡支梁簡支梁2外伸梁外伸梁簡支梁受力如圖簡支梁受力如圖所示，所示，q、l、EI均為已均為已知。知。C截面的撓度截面的撓度wC ；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B。321CCCCwwww1. .將梁上的載荷變將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。為三種簡單的情形。123BBBB2. .由撓度表查得由撓度表查得三三種情形種情形下下C截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷

2、應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加作用時(shí)的結(jié)果分別疊加 將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁分別得到梁C截面的撓度和支座截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811懸臂梁懸臂梁受力如圖所示，受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的撓度截面的撓度wC和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 C。組合方法一：增減載荷法增減載荷法lqBABBy48BZqlyEI36BZqlEI1. . 首先，將梁上的載荷首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形變成有表可查的情形 lqBABBy48BZqlyEI36BZqlEI 再將處理后

3、的梁分解為再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形簡單載荷作用的情形lqBABBy48BZqlyEI36BZqlEI計(jì)算各個(gè)簡單載荷引起的計(jì)算各個(gè)簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角lqBABBy48BZqlyEI 36BZqlEI 計(jì)算各個(gè)簡單載荷引起的計(jì)算各個(gè)簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角BBw2/ l2/ lqCB將簡單載荷作用的結(jié)果將簡單載荷作用的結(jié)果疊加疊加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487 將桿件系統(tǒng)分解為將桿件系統(tǒng)分解為n n段，分段，分n n次變形。假設(shè)每次變形。假設(shè)每次只有一段變形，其它段均作為剛性處理（可以次只有一段變形，其它段均作為剛性處

4、理（可以使用剛性體的力學(xué)原理），然后進(jìn)行疊加，求得使用剛性體的力學(xué)原理），然后進(jìn)行疊加，求得變形量。變形量。組合方法二：逐段剛化法逐段剛化法qaaABC1By1CyBaaACBPBm1B 2CyCaaAB=+例題例題3 3 求圖示懸臂梁的求圖示懸臂梁的 y yc c先假設(shè)先假設(shè) BC 段剛性段剛性，只有只有 AB 段變形段變形ayyBBC111 )(127234231 ZZBZBBEIqaEIamEIaPy)(12194111 ZBBCEIqaayy )(23221ZZBZBBEIqaEIamEIaP 1By1CyBaaACBPBm1B 牽帶位移牽帶位移再考慮再考慮 BC 段的變形段的變形 (

5、 AB 段剛性段剛性 )(842 ZCEIqay2CyCaaAB先假設(shè)先假設(shè) BC 段剛性段剛性，只有只有 AB 段變形段變形ayyBBC111 )(127234231 ZZBZBBEIqaEIamEIaPy)(12194111 ZBBCEIqaayy )(23221ZZBZBBEIqaEIamEIaP 再考慮再考慮 BC 段的變形段的變形 ( AB 段剛性段剛性 )(842 ZCEIqay)(2441421 ZCCCEIqayyyqaaABC1By1CyBaaACBPBm1B 2CyCaaAB=+牽帶位移牽帶位移)(6 (62 xaxEIqdxdyZC)(244142 ZaaCCEIqady

6、y組合方法三：等價(jià)積分法等價(jià)積分法積分積分qaaABCqaaCxqdxdx例例4 4 求圖示懸臂梁的求圖示懸臂梁的 y yc c先取微分長度，形成微集先取微分長度，形成微集中力中力dP=qdxdP=qdx，代換后知：，代換后知：lBABy236BZPaylaEI Pa例例5 5 求圖示簡支梁的求圖示簡支梁的y yC C4l4l4l4lPABCEI2EIACCACAyyyy , 0解：解：PABCCy2P2P組合方法四：等價(jià)懸臂梁法等價(jià)懸臂梁法(僅適合簡支梁受到對稱荷載僅適合簡支梁受到對稱荷載)由于對稱：梁在由于對稱：梁在C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為為0，可以視為一懸臂梁在，可以視為一懸臂梁在C點(diǎn)固定，

7、在點(diǎn)固定，在A點(diǎn)受集中力作點(diǎn)受集中力作用。用。 A點(diǎn)所產(chǎn)生的位移恰好點(diǎn)所產(chǎn)生的位移恰好與與C點(diǎn)的位移數(shù)值相同。點(diǎn)的位移數(shù)值相同。2PA注意：一般已經(jīng)給出懸臂梁法受集中力注意：一般已經(jīng)給出懸臂梁法受集中力(力偶力偶)作用所產(chǎn)作用所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角，即：生的位移和轉(zhuǎn)角，即：3BPay =( )3EI2BPa=( )2EIBaAP=+2BMay =( )2EIBMa=( )EIBaAM2PAaaABABP=+組合方法五：利用對稱性利用對稱性( (僅適合求簡支梁中點(diǎn)位移僅適合求簡支梁中點(diǎn)位移) ) 從數(shù)學(xué)知識，任何實(shí)矩陣都可以分解為對稱矩陣和反對稱從數(shù)學(xué)知識，任何實(shí)矩陣都可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣

8、之和的形式矩陣之和的形式: F = F symm + F antisymm, 對于軸對稱的結(jié)對于軸對稱的結(jié)構(gòu)構(gòu),力也可以同樣分解力也可以同樣分解. 例如例如P/2P/2P/2P/2組合方法五：利用對稱性利用對稱性( (僅適合求簡支梁中點(diǎn)位移僅適合求簡支梁中點(diǎn)位移) )例6：已知懸臂梁受集中力作用所產(chǎn)生的端部位移和轉(zhuǎn)角。求圖示梁在中點(diǎn)的撓度，fc=+ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C解：將解：將P力分解為關(guān)于中截面的對稱和反對稱力力分解為關(guān)于中截面的對稱和反對稱力(P/2)之和的形之和的形式。顯然，在反對稱力式。顯然，在反對稱力(P/2)作用下，作用下， fc（反對稱反對稱）=0+=

9、ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C在對稱力在對稱力(P/2)作用下，作用下， fc（對稱對稱）= fc+=ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C采用等價(jià)懸臂梁法采用等價(jià)懸臂梁法ABP/2P/2=B2/ aC2PD2/ a2P在對稱力在對稱力(P/2)作用下，作用下， fc（對稱對稱）= fcB2/aC2PD2/a2P 3222223233333223 1639611119696aaPPBPCBafEIEIaPaEIEIPaffPaEIEI 撓度轉(zhuǎn)角撓度3BPay =( )3EI2BPa=( )2EIBaAP利用對稱性利用對稱性( (僅適合求簡支梁中點(diǎn)位移僅適合求簡支梁中點(diǎn)位

10、移) )=+ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2CB2/aC2PD2/a2P 對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會影響構(gòu)件或零件的正常工作。會影響構(gòu)件或零件的正常工作。 例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會影響加工精度。大會影響加工精度。 6-5 6-5 梁的剛度校核 剛度設(shè)計(jì)舉例剛度設(shè)計(jì)舉例 對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求

11、，將對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角最大撓度和轉(zhuǎn)角( (或者或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角) )限制在一定范圍內(nèi)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎，即滿足彎曲剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則曲剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則(criterion for stiffness design)(criterion for stiffness design)： 上述二式中上述二式中 y y 和和 分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。 maxyy max已知：鋼制圓軸，左已知：鋼制圓軸，左端受力為端受力為F FP P，

12、F FP P20 20 kNkN，a al ml m，l l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa，其他尺，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸寸如圖所示。規(guī)定軸承承B B處的許用轉(zhuǎn)角處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5=0.5。試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d d。 B解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承剛度，以保證軸承B B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。需按下列步驟計(jì)算。 1 1查表確定查表確定B B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓

13、度表中查得承受集中載荷的外伸梁B B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角為為BEIlaFB3P1 1查表確定查表確定B B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角BEIlaFB3P2 2根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則 B =0.5考慮考慮 單位的一致性單位的一致性111mmm10111m100.52063101802120643-493d6-6 6-6 簡單的靜不定梁解靜不定梁解靜不定梁基本步驟：基本步驟：2 2、3 3、1 1、選定并解除多余約束，代之以多余約束反力，、選定并解除多余約束，代之以多余約束反力，建立建立平衡方程平衡方程。4、5、聯(lián)立求解平衡方程、平衡方程、。解得多余約束反力。解得多余約束反力FBxBl AMAFAyFAxFBy例例 題題B AlFAy+FBy - ql=0MA+FByl-ql/