二重積分的概念

1、1 二重積分概念 二重積分是定積分在平面上的推廣, 不同之處在于: 定積分定義在區(qū)間上, 區(qū)間的 長度容易計算, 而二重積分定義在平面區(qū)域上. 一、二重積分的定義二、二重積分的性質(zhì) 引例引例1 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積1）將區(qū)域D任意分割任意分割成n個小區(qū)域：.,21ni也表第i塊小區(qū)域的面積2）任取點任取點,),(iii3）作和作和iiniiinifvv),(114）取極限取極限 令max1的直徑ini則iiniifv),(lim10), 2 , 1(niiviiif),(xyzo),(yxfz ),(iiDdyxf),(二、二重積分的概念 引例引例2 非均勻平面薄片的質(zhì)量非均勻平面薄片

2、的質(zhì)量iiniiom),(lim1Ddyx),(yx),(yx1）將區(qū)域D任意分割任意分割成n個小區(qū)域：.,21ni也表第i塊小區(qū)域的面積2）任取點任取點,),(iii3）作和作和iiniiinimm),(114）取極限取極限 令max1的直徑ini), 2 , 1(niimiii),(),(ii定義：定義：將D任意分割任意分割成n個小區(qū)域：n,21i也表第i塊小區(qū)域的面積. 任取點任取點 iii),(作作,),(1iiniif令max1的直徑ini若極限若極限),(lim1iniiof存在存在，則稱此極限值為則稱此極限值為),(yxf在區(qū)域在區(qū)域D上的二重積分上的二重積分.記作：Ddyxf)

3、,(即Ddyxf),(設(shè)),(yxf是定義在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上的有界有界函數(shù)函數(shù)，), 2 , 1(niiiniif),(lim10若),(yxf在閉區(qū)域D上連續(xù), 則Ddyxf),(必存在.幾何意義幾何意義:Ddyxf),(表曲頂柱體的體積.Ddyxf),(表曲頂柱體體積的相反值.若),(yxf0,1)若),(yxf0,2)3) 若),(yxf在D的部分區(qū)域上大于0,在部分區(qū)域上小于0,Ddyxf),(表體積的代數(shù)和,上方取正,下方取負(fù).可積條件：可積條件：xyzo),(yxfz 二、二重積分的性質(zhì) 二重積分與定積分具有類似的性質(zhì)二重積分與定積分具有類似的性質(zhì), 現(xiàn)列舉如下現(xiàn)列舉如下:

4、 : 上也可積上也可積, 且且 ( ,)d( ,)d.DDkf x ykf x y 2. 若若 ( ,),( ,)f x yg x y在在 D上都可積上都可積, 則則 ( ,)( ,)f x yg x y 1. 若若 ( ,)f x y在在 D上可積上可積, k 為常數(shù)為常數(shù), 則則 ( ,)kf x y在在 D 在在 D 上也可積上也可積, 且且 ( , )( , )d( , )d( , )d .DDDf x yg x yf x yg x y 3. 若若 ( ,)f x y在在 1D和和 2D上都可積上都可積, 且且 1D與與 2D無公共無公共 內(nèi)點內(nèi)點, 則則 ( ,)f x y在在 12

5、DD 上也可積上也可積, 且且 ( ,)( ,), ( ,),f x yg x yx yD 1212( ,)d( ,)d( ,)d.DDDDf x yf x yf x y 4. 若若 ( ,)f x y與與 ( ,)g x y在在 D 上可積上可積, 且且 則有則有 ( ,)d( ,)d.DDf x yg x y 5. 若若 ( ,)f x y在在 D 上可積上可積, 則函數(shù)則函數(shù) |( ,)|f x y在在 D 上上 也可積也可積, 且且 ( ,)d( ,) d.DDf x yf x y 6. 若若 ( ,)f x y在在 D 上可積上可積, 且且 ( ,),( ,),mf x yMx yD

6、 則有則有 ( , )d,DDDmSf x yMS 這里這里 DS是積分區(qū)域是積分區(qū)域 D 的面積的面積. 7. (積分積分中值定理中值定理) 若若 ( ,)f x y在有界閉域在有界閉域 D 上連續(xù)上連續(xù), 則存在則存在 ( ,),D 使得使得 ( ,)d( ,),DDf x yfS 積分中值定理的幾何意義積分中值定理的幾何意義: 在在 D 上上, 以以 ( ,)zf x y 為頂?shù)那斨w體積為頂?shù)那斨w體積, ,等于一個同底等于一個同底 ( ,)0)f x y 例例1比較積分大小：Ddyx)ln(與dyxD2)ln(其中D是頂點為)0 , 2(),1 , 1 (),0 , 1 (的三角形區(qū)域.解解 在D上，yx )ln(yx 2)ln(yx 所以，Ddyx)ln(Do) 1 , 1 (12xy2 yx1 yx12Ddyx2)ln(人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說古人說“書中自有黃金屋。書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識，通過閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)鑒賞水平，通過閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)鑒賞水平，培養(yǎng)文學(xué)情趣；培養(yǎng)文學(xué)情趣；通過閱讀報刊，