第4章點(diǎn)、直線、平面的投影

1、chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2014.1 4.1 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影4.3 4.3 平面的投影平面的投影4.2 4.2 直線的投影直線的投影4.4 4.4 直線與平面及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-202sabcasbcbsa(c)4.1 4.1 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影任何形體都是由點(diǎn)、線和平面組成的。任何形體都是由點(diǎn)、線和平面組成的。點(diǎn)是組成形體的最基點(diǎn)是組成形體的最基本的幾何元素本的幾何元素正確地表達(dá)形體正確地表達(dá)形體(畫圖畫圖), 要正確要正確地理解他人的設(shè)計(jì)思想地理解他人的設(shè)計(jì)思想(看圖看圖), 點(diǎn)的投影規(guī)

2、律是必須掌握的基點(diǎn)的投影規(guī)律是必須掌握的基礎(chǔ)。礎(chǔ)。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2034.1 4.1 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影chenmeihua4 投影基本原理2022-3-204 過空間點(diǎn)過空間點(diǎn)A的投射線與的投射線與投影面投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在在P面上的投影。面上的投影。 點(diǎn)在一個投影面上的點(diǎn)在一個投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位投影不能確定點(diǎn)的空間位置。置。1.1.點(diǎn)在一個投影面上的投影點(diǎn)在一個投影面上的投影a B1B2B3如何解決？如何解決？chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2052.2.兩面投影體系的建立及四個分角兩面投影體系的建立及四個分

3、角 正立投影面正立投影面正面或正面或V面面水平投影面水平投影面水平面或水平面或H面面投影軸投影軸OX軸（軸（V面與面與H面的交線）面的交線）XO兩個投兩個投影面互影面互相垂直相垂直四個分角四個分角Ochenmeihua4 投影基本原理2022-3-2063. 兩投影面體系中點(diǎn)的投影兩投影面體系中點(diǎn)的投影點(diǎn)點(diǎn)A的水平投影的水平投影 a點(diǎn)點(diǎn)A的正面投影的正面投影 a aAa空間點(diǎn)用大寫字空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表影用小寫字母表示。示。axchenmeihua4 投影基本原理2022-3-207XOa aax4.投影面展開投影面展開HXHVOa aaxxzy向下翻向下翻

4、不動不動A通常不畫出投影面的邊界通常不畫出投影面的邊界chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2085.點(diǎn)的兩面投影規(guī)律點(diǎn)的兩面投影規(guī)律A1、在投影圖中，點(diǎn)的、在投影圖中，點(diǎn)的V、H投影連線垂直于投影連線垂直于OX軸，即軸，即aa OX ；2、點(diǎn)的、點(diǎn)的V投影到投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)到軸的距離等于空間點(diǎn)到H面的距離面的距離, 點(diǎn)點(diǎn)的的H投影到投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)到軸的距離等于空間點(diǎn)到V面的距離，面的距離， 即即a ax =AH, aax =AVQchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2091.1.三投影面體系的建立三投影面體系的建立ZYW水平投影面水平投影面

5、 H 正面投影面正面投影面 V側(cè)面?zhèn)让嫱队巴队懊婷?WHV OXHW OYV W OZchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2010點(diǎn)點(diǎn)A A的的水平投影水平投影 a 點(diǎn)點(diǎn)A A的的正面投影正面投影 a 點(diǎn)點(diǎn)A A的側(cè)面的側(cè)面投影投影 a 向右翻向右翻向下翻向下翻ayaxaza aa A2.2.三投影面體系中點(diǎn)的投影三投影面體系中點(diǎn)的投影不動不動chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2011xyz3.3.點(diǎn)的三投影規(guī)律點(diǎn)的三投影規(guī)律1) a a X軸，軸， a a Z軸軸 2) a az = aayH = XA=AW的距離的距離;a ax =a a yw = ZA =A

6、H的距離的距離; aax = a az =YA =AV的距離的距離chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20124. 點(diǎn)的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系點(diǎn)的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系 1) AW =Aa = a aZ = aaYH = XA 2) AV =Aa = aaX = a aZ=YA 3) AH = Aa=a aX =a aYH = ZA 點(diǎn)的兩個投影包點(diǎn)的兩個投影包含點(diǎn)的三個坐標(biāo)含點(diǎn)的三個坐標(biāo)chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2013例例4-1 已知已知A(15,10,20)、B（5,15,0），求它們的投影），求它們的投影圖及立體圖。圖及立體圖。A 討論討論：空

7、間點(diǎn)、投影面上的點(diǎn)、投影軸上的點(diǎn)、：空間點(diǎn)、投影面上的點(diǎn)、投影軸上的點(diǎn)、與原點(diǎn)重合的點(diǎn)的投影。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)的投影。bYHaXZYwXYHbXbYwBbb b azaaYHaYWa ayaxaza aa chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2014a a 985a例例4-2 已知已知A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)前點(diǎn)前5毫米，上方毫米，上方9毫米，右方毫米，右方8毫米毫米，求，求A點(diǎn)的投影。點(diǎn)的投影。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2015兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中X X值大值大的點(diǎn)的點(diǎn) 在左在左兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中Y Y值大值大的點(diǎn)的點(diǎn) 在前在前 兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中Z Z值大值大的點(diǎn)的點(diǎn) 在上在上1.1

8、.兩點(diǎn)的相對位置判別兩點(diǎn)的相對位置判別B點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)之點(diǎn)之前前、之右、之之右、之下下chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20162.2.重影點(diǎn)及可見性重影點(diǎn)及可見性 若空間兩點(diǎn)位于某投影面的同一投射線上時若空間兩點(diǎn)位于某投影面的同一投射線上時 , 它們在它們在該投影面上的該投影面上的投影重合為一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn) , 稱此兩點(diǎn)為稱此兩點(diǎn)為該投影面該投影面的重的重影點(diǎn)。影點(diǎn)。判別可見性判別可見性a bABa(b)dcc (d )DC被擋住的投影加被擋住的投影加( )H面重影點(diǎn)面重影點(diǎn)chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2017edc (f)a (b)c(d)ebfac(

9、 e)dfbachenmeihua4 投影基本原理2022-3-2018直線的投影特性：直線的投影特性：a(b)cd(e) 直線的投影仍為直線，直線的投影仍為直線，投影比空間線段短；直線平投影比空間線段短；直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長；行于投影面投影反映線段實(shí)長；特殊情況下為一點(diǎn)。特殊情況下為一點(diǎn)。4.2 4.2 直線的投影直線的投影chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2019直線的投影與指向直線的投影與指向: AB由由左前下指向右后上左前下指向右后上或或AB向右后上方傾斜向右后上方傾斜chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2020 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名

10、投影用直線連兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。接，就得到直線的同名投影。 直線的投影：直線的投影： chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20214.2 4.2 直線的投影直線的投影chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2022投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于正平線（平行于面）面）側(cè)平線（平行于側(cè)平線（平行于面）面）水平線（平行于水平線（平行于面）面）正垂線（垂直于正垂線（垂直于面）面）側(cè)垂線（垂直于側(cè)垂線（垂直于面）面）鉛垂線（垂直于

11、鉛垂線（垂直于面）面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面1.各種位置直線的投影各種位置直線的投影一、各種位置直線的投影及直線上的點(diǎn)一、各種位置直線的投影及直線上的點(diǎn)chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2023（1）一般位置直線）一般位置直線 1. a b、 a b 、a b 均小于實(shí)長均小于實(shí)長2. a b、a b 、a b 均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸3.不反映不反映 、 、 實(shí)角實(shí)角投影特性：投影特性：chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2024 AB 1. a

12、b OX ; a b OZ2. a b =AB3. V傾斜面傾斜面反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小正平線正平線（2）投影面平行線）投影面平行線投影特性：投影特性：chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2025 CD投影特性：投影特性：1c d OX ; c d OYW； 2 cd=CD 3H面傾斜面傾斜反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小水平線水平線chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2026 EF投影特性：投影特性： 1 e f OZ ; ef OY； 2 e f =EF 3W面傾斜，面傾斜，反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 側(cè)平線側(cè)平線chenmei

13、hua4 投影基本原理2022-3-2027平行線投影特性平行線投影特性u 當(dāng)直線平行于某一投影面時，在該面上的投影反當(dāng)直線平行于某一投影面時，在該面上的投影反映實(shí)長，并反映對另兩投影傾角的實(shí)形；映實(shí)長，并反映對另兩投影傾角的實(shí)形；u 直線的另兩投影平行于相應(yīng)的投影軸且短于實(shí)長。直線的另兩投影平行于相應(yīng)的投影軸且短于實(shí)長。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20281. H面投影面投影a b 積聚積聚 成一點(diǎn)；成一點(diǎn)；2. a b OZ ; a b OZ ；3. a b = a b = ABAB（3）投影面垂直線）投影面垂直線鉛垂線鉛垂線投影特性：投影特性：chenmeihua4

14、 投影基本原理2022-3-2029投影特性：投影特性： 1 c d 積聚成一點(diǎn)；積聚成一點(diǎn)； 2 cd OYH ; c d OYW；3 cd = cd =CDCD正垂線正垂線chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2030投影特性：投影特性： 1 e f 積聚積聚 成一點(diǎn)；成一點(diǎn)；2 ef OX ; e f OX； 3 ef = ef =EFEF側(cè)垂線側(cè)垂線chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2031垂直線投影特性垂直線投影特性u當(dāng)直線垂直于某一投影面時，在該面上投影積聚當(dāng)直線垂直于某一投影面時，在該面上投影積聚為一點(diǎn)為一點(diǎn)u另兩投影同時平行于一條相應(yīng)的投影軸且均反映

15、另兩投影同時平行于一條相應(yīng)的投影軸且均反映實(shí)長實(shí)長chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20322.2.直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)定比定理定比定理 （1）從屬性從屬性 點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的各面投影必在直線的各同點(diǎn)的各面投影必在直線的各同面投影上。面投影上。 （2）定比性定比性 屬于線段上的屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。比。直線上的點(diǎn)具有兩個特性：直線上的點(diǎn)具有兩個特性：A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2033點(diǎn)點(diǎn)C不不在在直線直線AB上上

16、點(diǎn)點(diǎn)C在直在直線線AB上上chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2034k kkchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2035deecXe方法一方法一: 利用利用W投影投影應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理ed例題例題4-6 4-6 已知點(diǎn)已知點(diǎn)E E在線段在線段CDCD上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)E E的正面投影。的正面投影。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2036 |zA-zB |AB |zA-zB| ABab|zA-zB|(1)求直線的實(shí)長及對求直線的實(shí)長及對H面的夾角面的夾角 角角二二 、求一般位置線段的實(shí)長及傾角、求一般位置線段的實(shí)長及傾角chenmeihua4

17、投影基本原理2022-3-2037直角三角形法求線段實(shí)長及傾角步驟直角三角形法求線段實(shí)長及傾角步驟過投影端點(diǎn)過投影端點(diǎn) (b、a)作垂線作垂線, 簡述為簡述為作垂線作垂線。在另一投影圖上量高差在另一投影圖上量高差, 簡述為量簡述為量高差高差。連斜邊即實(shí)長連斜邊即實(shí)長, 斜邊與投影斜邊與投影ab夾角即為傾角（夾角即為傾角（ 角）。角）。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2038(2)求直線的實(shí)長及對求直線的實(shí)長及對V面的夾角面的夾角 角角|yA-yB|yA-yB|AB |yA-yB| AB a b |yA-yB|chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2039 直角三角

18、形中直角三角形中,斜邊為線段的實(shí)長斜邊為線段的實(shí)長,兩直角邊分別為線段兩直角邊分別為線段的投影及坐標(biāo)差的投影及坐標(biāo)差,如圖如圖|ZA-ZB|ABab AB ab |YA-YB|ABab |XA-XB|chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2040討論有多解。討論有多解。以以Zef為直角邊作直角三為直角邊作直角三角形，求出角形，求出ef利用利用ef 求求fEFef ZEFff|Ze-Zf|(ZEF)60 efEFef例題例題4-7 已知直線已知直線EF的正平投影的正平投影ef及及e,且且a=30度度,求出求出ef。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2041三三 、共面

19、直線和異面直線、共面直線和異面直線空間兩直線的相對位置分為：空間兩直線的相對位置分為：平行兩直線平行兩直線相交兩直線相交兩直線交叉交叉( (錯錯) )兩直線兩直線共面直線共面直線異面直線異面直線chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20421.平行兩直線平行兩直線(1)(1)平行性：平行性：平行兩直線的同名投影必相互平平行兩直線的同名投影必相互平行，反之亦然；特殊情況下積聚或重影。行，反之亦然；特殊情況下積聚或重影。(2)(2)等比性：等比性：平行兩線段之比等于其投影之比。平行兩線段之比等于其投影之比。投影特性：投影特性：chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20432

20、.相交兩直線相交兩直線 相交兩直線的同名投影仍相交，且交點(diǎn)的投影必符相交兩直線的同名投影仍相交，且交點(diǎn)的投影必符合點(diǎn)的投影規(guī)律；特殊情況下積聚或重影。合點(diǎn)的投影規(guī)律；特殊情況下積聚或重影。交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn)投影特性：投影特性：chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20443. 異面直線異面直線同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空間一個點(diǎn)的投影規(guī)律不符合空間一個點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上的一對是兩直線上的一對重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影。投影特性：投影特性：凡不滿足平行和相交條件的直線凡不滿足平行和相交條件的直線chenmeihua

21、4 投影基本原理2022-3-2045方法一方法一補(bǔ)畫第三投影補(bǔ)畫第三投影 , 判斷是否平行判斷是否平行方法二方法二ab : cd不等于不等于ab : cd結(jié)論結(jié)論 : AB與與CD不平行不平行chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2046h g e f YHYWZ方法一方法一:利用利用W投影投影chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2047mhgmm結(jié)論結(jié)論 : EF與與GH交叉交叉應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2048l ld 利用平面四邊形利用平面四邊形的對角線是共面且相的對角線是共面且相交的直線作圖交的直線作圖chen

22、meihua4 投影基本原理2022-3-2049(m)分分 析析作圖步驟作圖步驟(1)過過m作直線作直線mn平平行行ef , 且與且與cd交交于于nn(2) 由由n求得求得nn過過n作作nm平行平行ef , 交交ab于于mm直線直線MN即為所求即為所求chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2050b a abc d cd3 (4)341 2 1(2)1(2)1 2 433 (4)、是是H面的重影點(diǎn)，面的重影點(diǎn)，、是是V面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2051 若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影

23、面上的投影仍為直角的投影仍為直角, 反之亦然。反之亦然。設(shè)設(shè) AB/H, AB BC, 因因ABBb , 則則ABBCcb平面平面直線直線在在H面面的投的投影互影互相垂相垂直直因因 ABab, 故故abBCcb平面平面, 因此因此 ab bc證明：證明：四、四、一邊平行于投影面的直角的投影一邊平行于投影面的直角的投影 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2052achenmeihua4 投影基本原理2022-3-2053YADYADAD分分 析析作作 圖圖(1)過過a作作bc的垂線的垂線ad ，求得垂足，求得垂足d， 連連 ad(2) 求求AD的實(shí)長的實(shí)長ddchenmeihua

24、4 投影基本原理2022-3-2054一、平面的表示法一、平面的表示法 二、各種位置平面的投影特性二、各種位置平面的投影特性 三、平面上的直線和點(diǎn)三、平面上的直線和點(diǎn) 4.3 4.3 平面的投影平面的投影chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2055一、一、平面的表示法平面的表示法 1.不在同一直線不在同一直線上的三個點(diǎn)上的三個點(diǎn)2.直線及線外一點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)4.兩平行直線兩平行直線3.兩相交直線兩相交直線5.平面圖形平面圖形b a ac bcb a ac bca ab c bca b c abcd daabcbcchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2056二、各種

25、位置平面的投影特性二、各種位置平面的投影特性 平行平行垂直垂直傾斜傾斜投影特性投影特性:平面平行投影面平面平行投影面投影就把實(shí)形現(xiàn)投影就把實(shí)形現(xiàn)平面垂直投影面平面垂直投影面投影積聚成直線投影積聚成直線平面傾斜投影面平面傾斜投影面投影類似原平面投影類似原平面實(shí)形性實(shí)形性類似性類似性積聚性積聚性平面對一個投影面的相對位置：平面對一個投影面的相對位置：chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2057平面對于三投影面的位置可分為三類平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 一般位置平面一般位置平面 特殊位置平面特殊位置平面 垂直于某一投影面，垂直于

26、某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20581.一般位置平面一般位置平面 (1) sab 、 s a b 、 s a b 均為均為 SAB的的類似形類似形 (2) 不反映不反映 、 、 的真實(shí)角度的真實(shí)角度ASB投影特性投影特性chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2059PPH鉛垂面鉛垂面投影特性投影特性 (1) abc在在H面

27、面積聚為一條線積聚為一條線 (2) a b c 、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 (3) abc與與OX、 OY的夾角的夾角反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 2. 投影面垂直面投影面垂直面chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2060QQV正垂面正垂面 投影特性投影特性 (1) a b c 在在V面面積聚為一條線積聚為一條線 (2) abc、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 (3) a b c 與與OX、 OZ的夾角的夾角反映反映、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2061SWS側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦酝队疤匦?(

28、1) a b c 在在W面面積聚為一條線積聚為一條線 (2) abc、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 (3) a b c 與與OZ、 OY的夾角的夾角反映反映、角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2062水平面水平面投影特性：投影特性： (1) a b c 、 a b c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 (2) a b c /OX， a b c /OY (3) 水平投影水平投影 abc反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 CAB3. 投影面平行面投影面平行面chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2063投影特性：投影特性：

29、(1) abc 、 a b c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 (2) abc /OX、 a b c /OZ (3) 正平面投影正平面投影 a b c 反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 正平面正平面chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2064投影特性：投影特性：(1) abc 、 a b c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 (2) abc/OY 、 a b c /OZ (3) 側(cè)平面投影側(cè)平面投影 a b c 反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 側(cè)平面?zhèn)绕矫鎐henmeihua4 投影基本原理2022-3-20654.投影面垂直面的積聚投影投影面垂直面的積聚投影

30、投影特性：（積聚性）投影特性：（積聚性） 投影面垂直面上的點(diǎn)、線、平面圖形投影面垂直面上的點(diǎn)、線、平面圖形在平面所垂直的投影面上的投影必落在該平面的積聚投影上。在平面所垂直的投影面上的投影必落在該平面的積聚投影上。反之亦然。反之亦然。 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2066三、平面上的點(diǎn)和直線三、平面上的點(diǎn)和直線1.平面上的直線平面上的直線 （1） 通過平面上兩個已知點(diǎn)通過平面上兩個已知點(diǎn) ； （2） 通過平面上一點(diǎn)通過平面上一點(diǎn) ，且平行于平面上的另，且平行于平面上的另 一已知直線一已知直線ffDFddchenmeihua4 投影基本原理2022-3-20672.平面上的

31、點(diǎn)平面上的點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線首先面上取線DddEeechenmeihua4 投影基本原理2022-3-20681.點(diǎn)點(diǎn)K在在ABC平面上平面上2.直線直線MN不在不在ABC平面上平面上 結(jié)論：結(jié)論：chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2069312fe123d（1）作輔助線）作輔助線,求得求得直線直線EF的的H投影。投影。（2）作輔助線）作輔助線E,求得求得點(diǎn)點(diǎn)D的的H投影。投影。 作圖作圖chen

32、meihua4 投影基本原理2022-3-20703.平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線 平面上平行于投影面的直線稱為平面上的投影面平行平面上平行于投影面的直線稱為平面上的投影面平行線。有三類線。有三類 : 面上水平線面上水平線 、正平線、側(cè)平線。、正平線、側(cè)平線。平面上的投影面平平面上的投影面平行線的特性：行線的特性：既既具有投影面平行具有投影面平行線線的投影特性；又的投影特性；又必須滿足必須滿足直線在平直線在平面上面上的條件的條件chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2071e ddechenmeihua4 投影基本原理2022-3-2072mnmnrsrs1015ee作

33、作 圖圖(1) 作作 ABC距離距離V面面10 的直線的直線SR;(3) MN與與SR的交點(diǎn)的交點(diǎn)即為所求。即為所求。(2) 作作 ABC距離距離H 面面15 的直線的直線MN;chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20734.4 4.4 直線與平面及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置一、平行關(guān)系一、平行關(guān)系二、相交關(guān)系二、相交關(guān)系三、垂直三、垂直 關(guān)系關(guān)系chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2074重點(diǎn)討論的三個問題重點(diǎn)討論的三個問題1 1、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和兩平面的平行問題。兩平面的平行問題。2 2

34、、不平行的直線與平面及兩平面，在投影圖、不平行的直線與平面及兩平面，在投影圖上如何求其交點(diǎn)或交線。上如何求其交點(diǎn)或交線。3 3、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和兩平面的垂直問題。兩平面的垂直問題。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2075 直線與平面平行直線與平面平行 (2) (2) 投影作圖投影作圖: :作直線平行于已知平面作直線平行于已知平面判斷直線是否與平面平行判斷直線是否與平面平行作平面平行于已知直線作平面平行于已知直線 （1 1）幾何條件幾何條件: 若一直線平行于平面上的某一直線，則該若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與

35、此平面必相互平行。直線與此平面必相互平行。一、一、平行關(guān)系平行關(guān)系 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2076feef分析分析作圖作圖1. 在在ABC平面上平面上任作一水平線任作一水平線CF2. 過點(diǎn)過點(diǎn)D作直線作直線DE平行于直線平行于直線CF直線直線 DE 即為所求即為所求chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2077分析分析作圖作圖1. 作直線作直線ACMN2. 過點(diǎn)過點(diǎn)A任作直線任作直線ABABC 即為所求即為所求cbbcchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2078直線直線DE不平行不平行于于ABC平面平面gg結(jié)論：結(jié)論：直線直線DF平行于平行

36、于ABC平面平面chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2079線面平行的特殊情況線面平行的特殊情況當(dāng)平面垂直于投影面時，平面的積聚投影與直線的同名投當(dāng)平面垂直于投影面時，平面的積聚投影與直線的同名投影平行影平行. .當(dāng)直線與平面同時垂直與同一投影面時當(dāng)直線與平面同時垂直與同一投影面時.線的投影點(diǎn)到線的線的投影點(diǎn)到線的距離等于線面間距離。距離等于線面間距離。chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20802. 平面與平面平行平面與平面平行 （1）幾何條件）幾何條件： 若一平面內(nèi)兩相交直線對應(yīng)平行于另一若一平面內(nèi)兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的相交兩直線，則這兩平面相互平行。

37、平面上的相交兩直線，則這兩平面相互平行。作平面平行于已知平面作平面平行于已知平面判斷兩平面是否平行判斷兩平面是否平行ABCDEF（2 2）投影作圖）投影作圖: :chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2081分析分析作圖作圖在在ABC內(nèi)作直線內(nèi)作直線AMEF,MNFG(amef,mnfg)2. 求出求出AM ,MN的的正面投影正面投影3. 過過f作作efam、fgmn,則則EFG即為即為所求所求 emnmngchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2082結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行r nmm n rchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2083結(jié)論：兩平

38、面不平行結(jié)論：兩平面不平行chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2084 若兩平行平面同時垂直于同一投影面若兩平行平面同時垂直于同一投影面, ,則兩平面的積聚投則兩平面的積聚投影必然相互平行；反之亦然。影必然相互平行；反之亦然。面面平行的特殊情況面面平行的特殊情況 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2085直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)共有點(diǎn)。平面與平面相交，其交線是兩平面的平面與平面相交，其交線是兩平面的共有線共有線。二、二、相交關(guān)系相交關(guān)系 直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交包括包括chenm

39、eihua4 投影基本原理2022-3-2086求求直線與平面直線與平面交點(diǎn)交點(diǎn)的投影的投影 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可性判別可性 求求兩平面兩平面交線交線的投影的投影確定兩平面的確定兩平面的兩個共有點(diǎn)兩個共有點(diǎn)確定確定一個共有點(diǎn)及交線的方向一個共有點(diǎn)及交線的方向投射投射面與一般位置直線相交面與一般位置直線相交投射線與一般位置平面相交投射線與一般位置平面相交投射投射面與一般位置平面相交面與一般位置平面相交一般線與一般面相交一般線與一般面相交一般面與一般面相交一般面與一般面相交直線與平面的相交關(guān)系分為五種情況：直線與平面的相交關(guān)系分為五種情況：要討論的問題

40、：要討論的問題：利用積聚性求交點(diǎn)和交線利用積聚性求交點(diǎn)和交線利用輔助平面求交點(diǎn)和交線利用輔助平面求交點(diǎn)和交線chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2087aba(b)1. 投射線與一般位置平面相交投射線與一般位置平面相交 11（1 1）求交點(diǎn)）求交點(diǎn)k用面上取點(diǎn)用面上取點(diǎn)法法 空間及投影分析空間及投影分析 直線直線AB為鉛垂線，其水平投影積聚成一個為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點(diǎn)，故交點(diǎn)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。（2 2）判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于位于AB上，在后。上，在后。故故k 2 為不可見。為不

41、可見。121(2)k重影點(diǎn)重影點(diǎn) chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20882. 投射投射面與一般位置直線相交面與一般位置直線相交（1 1）求交點(diǎn)）求交點(diǎn)利用面有積聚性直接求出交點(diǎn)利用面有積聚性直接求出交點(diǎn)kk （2 2）判別可見性判別可見性根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2089(2)(2)根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別平面的可見性。別平面的可見性。 3. 投射投射面與一般位置平面相交面與一般位置平面相交(1)(1)求交線求兩次交點(diǎn)并

42、連線求交線求兩次交點(diǎn)并連線lkl k chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2090321123nn分析分析作圖作圖求棱線與正垂面求棱線與正垂面PV的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。2. 連線連線chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2091當(dāng)兩鉛垂面相交時當(dāng)兩鉛垂面相交時, , 其交線為一條鉛垂線其交線為一條鉛垂線兩特殊平面相交兩特殊平面相交chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2092PHm n EFDBAPMNK4. 一般位置直線一般位置直線與一般位置平面相交與一般位置平面相交包含直線作輔助平面。包含直線作輔助平面。求輔助平面與已知平面的交求輔助平面與已知平面的交線。線

43、。求交線與已知直線的交點(diǎn)。求交線與已知直線的交點(diǎn)。（1 1）求交點(diǎn)）求交點(diǎn)Kmnk kchenmeihua4 投影基本原理2022-3-2093baa b 12（2 2）判別可見性）判別可見性利用重影點(diǎn)判別可見性利用重影點(diǎn)判別可見性343(4)PHk k(2)1 ZZ, AK的水平投的水平投影影bk不可見不可見 YY, AK的正面投影的正面投影ak不可見不可見chenmeihua4 投影基本原理2022-3-20945.一般位置平面一般位置平面與一般位置平面相交與一般位置平面相交方法一：按線面交點(diǎn)法求方法一：按線面交點(diǎn)法求兩次交點(diǎn)，兩次交點(diǎn)，連交點(diǎn)即得交線連交點(diǎn)即得交線 chenmeihua4

44、 投影基本原理2022-3-2095PVQV(1)求出兩個交點(diǎn)求出兩個交點(diǎn)K、L(2)連接交線連接交線KLk12341234lkl方法一：線面交點(diǎn)法求兩一般面的方法一：線面交點(diǎn)法求兩一般面的交線交線 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2096(1)求出兩個交點(diǎn)求出兩個交點(diǎn)K、L(2)連接交線連接交線KLk(3)判別可見性判別可見性5678lkl7(8)5(6)方法一：線面交點(diǎn)法求兩一般面的方法一：線面交點(diǎn)法求兩一般面的交線交線 chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2097方法二：輔助平面法求兩一般面的方法二：輔助平面法求兩一般面的交線交線 （三面共點(diǎn)）（三面共點(diǎn)）chenmeihua4 投影基本原理2022-3-2098S2VS1Vkkll作圖作圖作作S1VOX；得交線上的