2006考研數(shù)三真題及解析

1、limn1n2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題1、填空題：1-6小題,每小題4分,共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上nfx設(shè)函數(shù)f(x)在x2的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且fXe,f21,則f2122設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f0,則zf4xy在點(diǎn)(1,2)處的全微分dz122，21廠設(shè)矩陣A,E為2階單位矩陣矩陣E滿足BAB2E,則B2(5)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則PmaxX,Y1設(shè)總體X的概率密度為fx1e"2設(shè)總體X的概率密度為fx1e"2x，為,Xn為總體x的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其樣本方差S2，則ES2=二、選擇題：9-14小題,每小題

2、4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)設(shè)函數(shù)yf(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)0,f(x)0,5為自變量x在x處的增量，汕與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若込x0,則()(A)0dx仝y.(B)0二ydy.(C)fdy0.(D)dy二y0fh2(8)設(shè)函數(shù)fx在x0處連續(xù)，且lim-h0h21,則()(A)f00且f'0存在(B)f01且f'0存在(C)f00且f'0存在(D)f01且f'0存在(9)若級(jí)數(shù)an收斂,則級(jí)數(shù)()n1n1n1(A)an收斂(B)1nan收斂n1n1(C)a.

3、an1收斂(D)anan1收斂(10)設(shè)非齊次線性微分方程(10)設(shè)非齊次線性微分方程yP(x)yQ(x)有兩個(gè)的解x,y?x,C為任意常數(shù),則該方程通解是()(A)Cy1xy?x(C)Cy1xy?x(B)y1xCy1xy2x(D)y1xCy1xy2x0,已知),y0是fx,y在約束(A)若fxx°,y°0,則fyx0,y°0(B)若fxx°,y°0,則fy冷。0(C)若fxx°,y°0,則fyx0,y°0(D)若fxx°,y。0,則fyxg,yo0(11)設(shè)fx,y與x,y均為可微函數(shù)，且yx,y條件x

4、,y0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是()(12)設(shè)1,2,"，s均為n維列向量，A是mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是()(A) 若1,2,s線性相關(guān)，則A1,A2/As線性相關(guān).(B) 若1,2,，s線性相關(guān)，則A1,A2,，As線性無(wú)關(guān)(C) 若1，2,s線性無(wú)關(guān)，則A1,A2,，As線性相關(guān)(D) 若1,2,，s線性無(wú)關(guān),A1,A2/t,as線性無(wú)關(guān)(13)設(shè)A為3階矩陣將A的第2行加到第1行得B，再將B第一列的-1倍加到第2列得C,1 10記P010,則()001(A)CP1AP(B)CPAP1(C)CPtAP(D)CPAPt三、解答題：15-23小題，共94分請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指

5、定的位置上證明過(guò)程或演算步驟(15)(本題滿分7分)y彳.x1ysin設(shè)fx,yy,x0,y0,求1xyarctanx(I)gxlimfyx,y;(II)xin0gx.(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N1PX11PY21,則必有(A)12(B)12221,隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N2,2,且()(C)12(D)12解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、(16) (本題滿分7分)計(jì)算二重積分.y2xydxdy,其中D是由直線yx,y1,x0,所圍成的平面區(qū)域D(17) (本題滿分10分)證明：當(dāng)0ab日寸，bsinb2cosbbasina2cosa(本題滿分8分)在XOY坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線L過(guò)點(diǎn)M1,0,其上任意

6、點(diǎn)Px,yx0處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數(shù)a>0)(I) 求L的方程；(II) 當(dāng)L與直線yax所圍成平面圖形的面積為8時(shí),確定a的值.3(本題滿分10分)1n1x2n1求幕級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)s(x).n1n2n1(本題滿分13分)TTT設(shè)4維向量組11a,1,1,1,22,2a,2,2,33,3,3a,3,T44,4,4,4a問(wèn)a為何值時(shí)1,2,3,4線性相關(guān)？當(dāng)1,2,3,4線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出(18) (本題滿分13分)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量T

7、1,2,1T0,1,1是線性方程組Ax0的兩個(gè)解.(I)求A的特征值與特征向量線性方程組Ax0的兩個(gè)解.(I)求A的特征值與特征向量(II)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣(II)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣，使得qtaqA;36(III)求A及(AE)6,其中236(III)求A及(AE)6,其中2E為3階單位矩陣(22) (本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx丄,040,其它2,令丫X2,Fx,y為二維隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù)，變量X,Y的分布函數(shù)，求：(I)丫的概率密度f(wàn)Yy(II)(II)covX,Y;(III)2,4.(23)(本題滿分13分)X的概率密度為fx,0,

8、1其它2,其中未知參數(shù)1,X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值X1,X2,Xn中小于1的個(gè)數(shù)，求:(I)的矩估計(jì)；(II)的最大似然估計(jì)2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題【答案】1n【詳解】題目考察數(shù)列的極限，由于數(shù)列中有(1)，故求此數(shù)列的極限，分為奇數(shù)列和偶數(shù)列兩個(gè)部分進(jìn)行。1)n,則所以limnlimn【答案】u2nu2nlimunn2e3limnlimn2n1(1)2n2n)(空)(1)2n'2n1limn2n1(右)1lim(n2n1百)1利用題目已知的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)便ef(x)f(x)e2f(x)【詳解】題目考察抽象函數(shù)在某

9、點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)。可得出。f(x)f(X)、由f(x)e，有f(X)(e'丿)所以f(x)(e2f(X)e2f(x)(2f(x)2e2f(x)f(x)2e3f(x)以x2代入，得f(2)2e3f2e3.【答案】4dx2dy【詳解】題目求復(fù)合函數(shù)在某點(diǎn)處的全微分，可有兩種方法：方法1:由微分形式不變性，有222222dzf(4xy)d(4xy)f(4xy)(8xdx2ydy)dz(1,2)f(0)(8dx4dy)4dx-2dy方法2：求偏導(dǎo)數(shù),z22zf(4xy)8x,f(4x22y)(2y).xy以x1,y12,f(0),代入dzdx-zdy便得如上結(jié)果2xy【答案】2【詳解】由已知條件

10、BAB2E變形得，BA2EBB(AE)2E,兩邊取行列式,B(AE)2E其中，AE2,2E22E因此,B2EAE2.(5)【答案】19【詳解】根據(jù)獨(dú)立性原理:若事件A,，A獨(dú)立則am門(mén)nA,pap事件maxX,Y1X1,Y1X1門(mén)丫，而隨機(jī)變量X與Y均服從區(qū)間0,3上的均勻分布1-dy031.又隨機(jī)變量3X與Y相互獨(dú)立，所以,Pmax(x,y)1Px1,Y1【答案】2.【詳解】樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量E(S2)D(X),故只要計(jì)算D(X)即可.X概率密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù)則xf(x)為奇函數(shù)，所以E(X)xf(x)dx0222所以E(S)D(X)E(X)E(X)2E(X)f(x)dx2

11、0x2f(x)dxx2exdxx2dex0x|0exdx202x1xeI02xdex0x|02xexI。2exdx0(1)2.二、選擇題【答案】A【詳解】方法1:圖示法.因?yàn)閒(x)0,則f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加；因?yàn)閒(x)0,則f(x)是凹函數(shù),又x0,畫(huà)f(x)x2的圖形結(jié)合圖形分析，就可以明顯得出結(jié)論:方法2:用兩次拉格朗日中值定理ydyf(x)x)0dyy.f(x°)f(x0)x(前兩項(xiàng)用拉氏定理)f(xf(x°"x(再用一次拉氏定理)f()(xj也X,其中人由于f(x)0,從而ydy0.又由于dyf(x3”x0,故選A方法3：用拉格朗日余項(xiàng)一階泰勒公式.泰

12、勒公式:皿(xX0)nRn,n!f(x)f(x0)f(Xo)(XX。)f(x0)(xX。)22!(n1)f(X。)/n其中Rn(xxj.此時(shí)n取1代入，可得(n1)!ydyf(X0x)f(X0)f(X0)x)(x)2又由dyf(x0)x0選(A)(8)【答案】C【詳解】題目考察該抽象函數(shù)在0點(diǎn)處的函數(shù)值，及0點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)，計(jì)算如下:換元令Xh2,由題設(shè)可得.f(h2)f(x),lim2lim1.h0hx0x于是limf(x)limf(x)x100x0x0x因?yàn)楹瘮?shù)f(X)在點(diǎn)X0處連續(xù)，故f(0)limf(x)0,進(jìn)而有方法1數(shù)列收斂的性質(zhì)：收斂數(shù)列的四則運(yùn)算后形成的新數(shù)列依然收斂這表明f(

13、0)1limf(x)x0x0且f(0)存在.limf(x)f(0)x0x0故應(yīng)選(C)f(0)(9)【答案】D【詳解】因?yàn)閍n收斂所以a,也收斂,所以佝需)收斂，從而亙4也收斂.選D.ni(1)n，則an收斂但nn1n11l,(p級(jí)數(shù),p1級(jí)數(shù)發(fā)散)；ni/n2n1方法2：記a(p級(jí)數(shù),p1級(jí)數(shù)發(fā)散)均發(fā)散。由排除法可知，應(yīng)選D.n1,nIn1a,a,in1(10)【答案】B【詳解】線性方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)：1.由非齊次線性微分方程的兩個(gè)特解，求該方程的通解；2.線性非齊次微分方程的兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解因?yàn)?x)y2(x),所以(yi(x)y2(x)是齊次微分方程的一個(gè)非零解，c是

14、任意常數(shù),所以C(yi(x)y2(x)是對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解.再加上原非齊次方程的一個(gè)特解，便得原非齊次方程的通解,B.已知(xo,y°)o,由(x,y)o,在(xo,yo)鄰域，可確定隱函數(shù)yy(x),滿足y(x)丫。,史一dxx(x),yo)是f(x,y)在條件(x,y)o下的f(x,y(x)的極值點(diǎn)。dz個(gè)極值點(diǎn)xxo是dxxxofx(xo,yo)fx(xo,yo)f(xo,yo)它的必要條件是f(xo,yo)dyo,則fy(Xo,y。)o,則fy(xo,y°)ydxxxofx(xo,yo)fy(xo,yo)x(xo,yo)y(xo,yo)o,或x(xo,yo)o

15、,因此不選(A),(B).o(否則空dxo).因此選(D)xo(11)【答案】D【詳解】方法1：化條件極值問(wèn)題為一元函數(shù)極值問(wèn)題。(x,y),有方法2：用拉格朗日乘子法.引入函數(shù)F(x,y,)f(x,y)Fxfx(x,y)x(x,y)0(1)Fyfy(x,y)y(x,y)0(2)F(x,y)0因?yàn)閥(x),y。)0,所以fy(x0'y。)，代入得y(X°,y°)、fy(x°,y°)x(x°,y°)fx(x),y0)y(x0，y°)若fx(x0,y°)0,則fy(x°,y°)0,選(D)(

16、12)【答案】A【詳解】0的數(shù)K,k2,，ks使得0的數(shù)K,k2,，ks使得方法仁若1,2,-，s線性相關(guān)，則由線性相關(guān)定義存在不全為k22k22kss0為了得到A1,A2/-,As的形式，用A左乘等式兩邊，得k1A1k2A2k1A1k2A2ksAs0于是存在不全為0的數(shù)匕飛2,ks使得成立，所以A1，A2,，as線性相關(guān)方法2:如果用秩來(lái)解，則更加簡(jiǎn)單明了.只要熟悉兩個(gè)基本性質(zhì)，它們是：1.1，2,，s線性相關(guān)r(1，2,，s)s；2.r(AB)r(B).矩陣(A1,A2,As)A(1,2，s)，設(shè)B(1，2，s)，則由r(AB)r(B)得r(A1,A2-,As)r(1,2,，s)s.所以答

17、案應(yīng)該為(A).(13)【答案】B【詳解】用初等矩陣在乘法中的作用(矩陣左乘或右乘初等矩陣相當(dāng)于對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換或列變換)得出110將A的第2行加到第1行得B,即B010A記PA001110將B的第1列的-1倍加到第2列得C,即CB010記BQ001110110因?yàn)镻Q010010E,故QP-)1,即一EP1001001從而CBQBP1PAP1，故選(B).(14)【答案】A.【詳解】由于X與Y的分布不同，不能直接判斷P|X1|1和P|Y2|1的大小與參數(shù)關(guān)系.如果將其標(biāo)準(zhǔn)化后就可以方便地進(jìn)行比較了。X隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，有N(0,1),且其概率密度函數(shù)是偶函數(shù).所以iP(X1)丄)2P12(

18、丄)(0)1(-)1.1同理有，P(Y11)2()12(X)單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)P|111P|Y1時(shí)，2,故選(A).匕,所以212 (-)1111三、解答題(15)【詳解】題目考察二元函數(shù)的極限(15)【詳解】題目考察二元函數(shù)的極限,求g(x)時(shí),可以將y視為常數(shù)x1ysinyarctanx由于x0，所以limysinlimyxyyyy1所以g(x)丄1xxarctanx11x(II)g(x)!呷；arctanxlimx0(I)g(x)limf(X,y)yylim-y1xyx,limy1yxylimy11xy-xarctanxx2xlimarctanxxx2xarctanxx0xlimx02xli

19、mx22x2x02(1x)0dyy2xydx.y2xydxdyD(17)【詳解】令f(x)xsinx2cosxx,只需證明0x時(shí),f(x)單調(diào)增加(嚴(yán)格)f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinx(16)【詳解】題目考察二重積分的計(jì)算，畫(huà)出積分區(qū)域，化為累次積分即可以很容易求出。計(jì)算步驟如下：積分區(qū)域D如下圖所示.D(x,y)0y1,0xy,21l-y212Sx)20dy-0ydyf(x)cosxxsinxcosxxsinx0f(x)單調(diào)減少(嚴(yán)格),又f()cos時(shí)f(x)0,則f(x)單調(diào)增加儼格)由ba有f(b)f(a)得證(18)【詳解】(I)設(shè)所求的曲線方程為yy(x),

20、按題意,在其上任意一點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率y與OP的斜率y的差等于ax(a0,x0),即有y'ax,并且有初始條件xxy(1)0解之，按一階線性微分方程解的公式，有1dxAdxll1(以上dx不寫(xiě)成Inx而可以寫(xiě)成x微分方程的解應(yīng)是連續(xù)的，題設(shè)xyexaxexdxCenxaxenxdxCxadxCx(axC)Inx的原因是，題中有初始條件y(1)0,x取在1處而0,故其解只能取在包含x1而不跨過(guò)x0區(qū)間，故x0,因此Inx可以寫(xiě)成Inx).ax與曲線再由y(1)0定出Ca,于是所求的曲線方程為yax(x1),a0.(II)直線yax與曲線yax(x1)的交點(diǎn)(0,0)與(2,2a)

21、.所以直線yyax(x1)所圍平面圖形的面積為2S(a)oaxax(x1)dx202axax2dx48按題意，一a-,故a2.3 3(19)【詳解】記Un(-1)n-12n1xn(2n-1)limnUn1Unlimn(-1)nx2n3(n1)(2n1)(-1)n-1x2n1n(2n-1)x2所以，當(dāng)x21即x1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)x21,即x1時(shí)，原級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散,Un絕對(duì)收斂，故收斂域?yàn)?,1.所以，收斂半徑R1.在x1處un(-1，級(jí)數(shù)n(2n-1)求和函數(shù)，應(yīng)在收斂區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，即x1,1,f(x)(-1)n-0n(2n-1)(-1)n-1x2n1(-1)n-1x2nxn(2

22、n-1)n1n(2n-1)(x)(n(-1)n-1x2n)n(2n-1)n(-1)n-1x2n)n(2n-1)n2(-1)n-1x2n12n-1(x)(n2(-1)n-1x2n12n-1)2(-1)n-1x2n1(2n-11-)2n(-1)n-1x2n21(-1)nx2n2n0n0(x2)"21x2.再倒回去，有f(x)f(0)0f(t)dt0FTdt2arctanxf(x)f(0)0f(t)dt020arctanxdtx2arctantdt2xarctantln(1x2)01t2于是又因在x立,即有(1)n空1n1n(2n-1)22xarctantxln(1x2),1處級(jí)數(shù)收斂，右

23、邊和函數(shù)的表達(dá)式在x1處連續(xù)，因此，在x1處上式仍成s(x)n1x2n2xarctanxxln(1x2)，(20)【詳解】方法1：記A,2,3,4,則1a23412a34|A|123a41234a10a2310a2a310a23a10a23412312a3(10a)123a123n1n2n1把所有列都加到第一列線性相關(guān)的定義：存在一組不等于零的數(shù)44把第一列公因式(10a)提到行列式前面4a4123440a00(10a)(a10)a3400a04a000a匕山山人，使得K1k33k440成立，則1，2，3，4線性相關(guān)于是當(dāng)A0時(shí)方程組k1k22k33k440有非零解，此時(shí)滿足線性相關(guān)的定義即:

24、(a10)a30,解得當(dāng)a0或a10時(shí)，1,2,3,4線性相關(guān)當(dāng)a0時(shí)，1為1，2，3，4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且221,331,441.923421192342110r923431131101834411101000411011001274100100101012361000101001對(duì)A作初等行變換10時(shí),4可以看出由于2,4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且方法2:3,4為4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且2,3,4，對(duì)A施以初等行變換,有0時(shí),B1，因而3,4線性相關(guān),此時(shí)4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組41.0時(shí)，再對(duì)B施以初等行變換，有10101，2，3，4如果如果10,C的秩為4,故

25、3,4線性無(wú)關(guān)；如果a10時(shí),C的秩為3,故3,線性相關(guān)1,2,3,4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且4，于是2,3,4是1,2,3,4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)(21)【詳解】(I)由題設(shè)條件A!(21)【詳解】(I)由題設(shè)條件A!001,A2002,故1,2是A的對(duì)應(yīng)于特征向量，又因?yàn)?,2線性無(wú)關(guān)，故0至少是A的二重特征值又因?yàn)锳的每行元素之和為3,所以有A(1,1,1)t(3,3,3)t3(1,1,1)t,由特征值、特征向量的定義0(1,1,1)T是A的特征向量，特征值為33,3只能是單根*30,k30是全體特征向量，從而知0是二重特征值于是A的特征值為3,0,0;屬于3的特征向量：k33,k30;屬

26、于0的特征向量：k11k22,k1,k2不都為0.(n)為了求出可逆矩陣必須對(duì)特征向量進(jìn)行單位正交化先將0單位化,得0(33,33'33)T.對(duì)1,2作施密特正交化，得1(0,2)T，/6.6.6.t(T，)300作Q(1,2,3),則Q是正交矩陣，并且QTAQQ-1AQ000000(III)由qtaq，其中qtqAQQtAQQt1：62：6161"62"61：611,2.3131_12、31_12312,6.612113000100011_1_11331-3121_31111113636小(A2E)(QQE)(Q(23023Q023(-)6QEQT(?)6qqt2

27、23636小(A2E)(QQE)(Q(23023Q023(-)6QEQT(?)6qqt22(22)【詳解】fY(y)6362Q1Q3qt233223T636T2e)q)q(-E)Q2Fy(y),由于fx(x)是分段函數(shù)，所以在計(jì)算PXy時(shí)，要相應(yīng)分段討-論.1求F(-，4)P(X!.y24)求出F(x,y)的函數(shù).(I)因?yàn)镕y(y)PYyPX2當(dāng)0y1時(shí)Ry)P(JX.y)當(dāng)1y4時(shí)Ry)P(5Xy)當(dāng)y4時(shí),FY(y)1;P(X-,x24),只是與X有關(guān)，不必先2y，當(dāng)y0時(shí),Fy(y)0;01y1dxdxy2043<y；401,y111dxdxy；120424，綜上所述，有FY(y)PYyPX20,y03；y，0y1、，4y11(y,1y4241,4y由概率密度是分布函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的的微分，所以,fy(y)FY(y)0,0y11y4這個(gè)解法是