浙江省諸暨市大唐鎮(zhèn)屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)利用三角形的角平分線構(gòu)造全等三角形課件

1、一、倍長中線一、倍長中線法法 遇到中線遇到中線可以利用可以利用倍長中線，倍長中線，構(gòu)造構(gòu)造X全等全等，即把中線延長一倍，來，即把中線延長一倍，來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造全等三角形。 如圖，若如圖，若AD為為ABC的中線，的中線， 結(jié)論結(jié)論：ABCDE12 延長延長AD到到E，使，使DE=AD，連結(jié)連結(jié)BE（也可連結(jié)（也可連結(jié)CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。 可以利用角平分線所在直線可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。等三角形。二、角平分線對(duì)稱全等二、角平分線對(duì)稱全等 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分B

2、AC。方法一：方法一：ABCDE必有結(jié)論：必有結(jié)論：在在AB上截取上截取AE=AC，連結(jié)連結(jié)DE。ADE ADC。ED=CD，3 3* *2 21 1AED=C，ADE=ADC。方法二：方法二：ABCDF延 長延 長 A C 到到 F ， 使， 使AF=AB，連結(jié)，連結(jié)DF。必有結(jié)論：必有結(jié)論：ABD AFD。BD=FD，3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造全等三角形。B=F，ADB=ADF。ABCDMN方法三：方法三：作作DMAB于于 M，

3、DNAC于于N。必有結(jié)論：必有結(jié)論：AMD AND。DM=DN，3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。 （還可以用（還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等邊距離相等”來證來證DM=DN）證明證明：例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180

4、DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，連結(jié)，連結(jié)DE。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）ABD EBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定義），（平角定義），A3（已證）（已證）A+ C180 （等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * A3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已證）（已證）DE=DC（等量代換）（等量代換）4=C（等邊對(duì)等角

5、）（等邊對(duì)等角）AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCF延長延長BA到到F，使，使BF=BC，連結(jié)，連結(jié)DF。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）BFD BCD（S.A.S）1243 FC（已證）（已證）4

6、=C（等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已證）（已證）DF=AD（等量代換）（等量代換）4=F（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） 3+ 4180 （平角定義）（平角定義）A+ C180 （等量代換）（等量代換）DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMB

7、C于于M，DNBA交交BA的延長線于的延長線于N。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已證）（已證） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）NBD MBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和Rt

8、MCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義），（平角定義）， A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長線于的延長線于N。12N433 32 21 1* * BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知） DNBA，DMBC（已知）（已知） N

9、D=MD（角平分線上的點(diǎn)到這（角平分線上的點(diǎn)到這 個(gè)角的兩邊距離相等）個(gè)角的兩邊距離相等） 4=C （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義）（平角定義） A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）練習(xí)練習(xí)1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2B

10、ABCDE122 21 1證明證明: :在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，連結(jié)，連結(jié)DE。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）AED ACD（S.A.S）3B=4（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）4* * C3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代換）（等量代換） 3= B+4= 2B（三角形的一個(gè)外角等于（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

11、角和）和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）C=2B（等量代換）（等量代換）ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）練習(xí)練習(xí)1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDF12證明證明: :延長延長AC到到F，使，使CF=CD，連結(jié)，連結(jié)DF。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）（等量代換） ACB= 2F（三角形（三角形的一個(gè)外角等

12、于和它不相的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）ACB=2B（等量代換）（等量代換）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已證）（已證） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）ABD AFD（S.A.S） FB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）練習(xí)練習(xí)2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點(diǎn)于點(diǎn)D D，交，交PQPQ于點(diǎn)于點(diǎn)C

13、 C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長AEAE，交直線，交直線PQPQ于點(diǎn)于點(diǎn)F F。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234F5練習(xí)練習(xí)2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點(diǎn)于點(diǎn)D D，交，交PQPQ于點(diǎn)于點(diǎn)C C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長BABA到點(diǎn)到點(diǎn)G G，使得，使得AG=ADAG=AD，連結(jié)，連結(jié)EGEG。* *3 30 0* *

14、*22222121ABCDEMNPQ1234G練習(xí)練習(xí)2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點(diǎn)于點(diǎn)D D，交，交PQPQ于點(diǎn)于點(diǎn)C C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長BABA到點(diǎn)到點(diǎn)G G，使得，使得AG=ADAG=AD，連結(jié)，連結(jié)EGEG。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234G練習(xí)練習(xí)3 3 已知：如圖在已知：如圖在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AEBCAE

15、BC， BDBD是是ABCABC的角平分線，的角平分線， GFBC GFBC ，求證：，求證：AD=FCAD=FC。ABCDEH12證明證明: :過過D D作作DHBCDHBC，垂足為，垂足為H H。GF* *3 30 0* * *如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？小結(jié)：小結(jié)：（ 3 ） 作） 作 D M A B 于于 M ，DNAC于于N。（1）在）在AB上截取上截取AE=AC，連結(jié)連結(jié)DE。（2）延長）延長AC到到F，使，使AF=AB，連結(jié)連結(jié)DF。ABCDEFMN必有結(jié)論：必有結(jié)論：ADE ADC。必有結(jié)論：必有結(jié)論：ABD AFD。必有結(jié)論：必有結(jié)論：AMD AND。 可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。