立體圖形上最短距離問題

1、立體圖形上最短距離問題金水初中 劉彬在北師大版數(shù)學的七年級和八年級的教材中都涉及到了物體在幾何體外表爬行時的最短距離問題，這對于一些剛剛接觸幾何體的同學是個很難理解的問題。實際在數(shù)學上就是在幾何體外表點到點的最短距離的問題。結(jié)合教學實際，我總結(jié)了教材和練習中最常見的幾種最短距離問題，主要涉及到了正方體、長方體和圓柱，以及它們幾種簡單的變形，特總結(jié)如下，希望能對這方面的問題，幫助解決學生的困惑，能使學生掌握這方面的知識。同一個面最短距離最簡單，主要是連線，借助勾股定理來解決，在下面的介紹簡單介紹，重點說不在同一個面的問題。這幾個幾何體中正方體最簡單，下面先從正方體開始說起。一、 正方體和長方體中

2、最短距離例1、 如圖，一只螞蟻在正方體外表爬行1、當螞蟻從正方體的一個頂點A沿外表爬到頂點B，怎樣爬距離最短？分析：由于頂點A和頂點B在同一個平面上，所以連接，利用勾股定理直接求解即可。2如圖，如果螞蟻要從邊長為1 cm的正方體頂點A爬到頂點C，那么爬行的最段距離是多少？分析：由于頂點A和頂點C不在同一個平面上，所以要求最短距離需要將正方體展開，在展開的外表上利用勾股定理求出最短距離。解：將正方體展開，下面是其四連面的一局部，這是A與C的位置如下圖， 這時AC的長度就是長方形的對角線的長度。所以 AC的長度等于=所以在正方體中求最短距離相對來說還是比擬簡單的。3如果將正方體換成邊長AD=2CM

3、，寬DF=3cm，高AB=1cm的長方體，螞蟻仍需從頂點A沿外表爬到頂點E的位置，請你說明這只螞蟻沿怎樣的路線爬行距離最短？為什么？ 分析：由于 長方體每邊的長短不一樣，所以在展開圖中就有三種不同的形式，三種情況下結(jié)果就會不一樣解：方案一：將面ABCD沿DC展開和面CDEF在同一個平面中，如圖,這時BE的長度為2+3=5，EF的長度為1，所以AE= =方案二：將面ADCF沿DF展開和面CDEF在同一個平面，如圖,這時AC=2+1=3，EF=3所以AE=方案三：將面ADFG沿FG展開和面EFGH在同一個平面中，如圖,這時DE=3+1=4,EH=2.所以AE=。綜上，最短距離應(yīng)該是第二種方案。小結(jié)

4、：長方體中情況一般分三種情況來說明，實際就是長+寬為一邊，高為一邊；長+高為一邊，寬為一邊；寬+高為一邊，長為一邊三種情況，它的種種變化也是在這幾個的根底上加以變形。下面我們看它的一種變形應(yīng)用：例2：長方體的長為15CM，寬為10CM，高為20CM，點B離點C 5CM,一只螞蟻如果沿著長方體的外表從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是多少？分析：此題和上面的一樣，只是沒有從A爬到長方體的一個頂點，但是做法一樣的。所以本體也有三種做法。解：如圖一AB=圖二如圖二AB=如圖三圖三圖二二、 圓柱體中最短距離例3：如圖，在圓柱中，底面周長為6CM，高為8CM從點A到點B的最短距離是多少？分析：由于也是在

5、幾何體外表求最短距離，所以也必須展開，而圓柱展開是個長方形，并且由于點A、B是相對位置，所以在展開的長方形中，長方形的長一邊只是圓周長的一半。然后利用勾股定理求解即可。解：圓柱的側(cè)面展開圖如下圖： AB=圓柱是常見的幾何體，所以在它其中也有幾種根本的變形，總結(jié)如下：第一種變形：要繞著圓柱外表從點A到點B ,那么最短距離應(yīng)該為多少？分析：要求要繞著圓柱外表從點A到點B，所以肯定不是沿著高來走，同樣要在展開圖中來求最短距離，這時在展開圖中，圓柱的一邊為圓柱的底面周長。解：圓柱的展開圖如下列圖所示：AB=第二種變形: 點A在圓柱的外側(cè)，點B在圓柱的內(nèi)側(cè)，并且點B距上底面3CM,那么點A到點B的最短距離應(yīng)該為多少？分析：由于一點在內(nèi)部，一點在外部，所以要求的就要在展開圖中分析了，相當于在七年級學的在河一邊有兩個村落，求在河上搭一座到兩村落距離最短的橋。這時就要利用到軸對稱的知識求解。如下列圖：解：在圖中點A到點B的距離就是點A到點B的對稱點B的距離，所以AB=AB'=綜上所述，在立體圖形求最短距離一定要在其展開圖中求解，所以首先要求學生掌握常見