一道數(shù)學(xué)高考題的推廣

1、.莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅襖肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂腿薁螞肁膈芁袈羇膈莃蟻袃膇蒆袆蝿芆薈蠆肈芅羋蒂羄芄莀蚇羀芃薂蒀裊節(jié)節(jié)螅螁節(jié)莄薈肀芁蕆螄羆芀蕿薇袂荿羋螂螈莈莁薅肇莇蒃螀肅莆蚅薃罿莆蒞衿裊羂蕆蟻螁羈薀袇聿羀艿蝕羅肀莂裊袁聿蒄蚈螇肈薆蒁膆肇莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅襖肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂腿薁螞肁膈芁袈羇膈莃蟻袃膇蒆袆蝿芆薈蠆肈芅羋蒂羄芄莀蚇羀芃薂蒀裊節(jié)節(jié)螅螁節(jié)莄薈肀芁蕆螄羆芀蕿薇袂荿羋螂螈莈莁薅肇莇蒃螀肅莆蚅薃罿莆蒞衿裊羂蕆蟻螁羈薀袇聿羀艿蝕羅肀莂裊袁聿蒄蚈螇肈薆蒁膆肇莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅襖肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂腿薁螞肁膈芁袈羇

2、膈莃蟻袃膇蒆袆蝿芆薈蠆肈芅羋蒂羄芄莀蚇羀芃薂蒀裊節(jié)節(jié)螅螁節(jié)莄薈肀芁蕆螄羆芀蕿薇袂荿羋螂螈莈莁薅肇莇蒃螀肅莆蚅薃罿莆蒞衿裊羂蕆蟻螁羈薀袇聿羀艿蝕羅肀莂裊袁聿蒄蚈螇肈薆蒁膆肇莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅襖肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂 一道數(shù)學(xué)高考題的推廣1 2 31 3 22 1 32 3 13 2 13 1 2 徐志平 （浙江金華一中 321000）2005年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷（上海·理）中第12題如下：用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1，a2，···，an可得n!個(gè)不同的排列,每個(gè)排列為一行寫成一個(gè)n!行的數(shù)陣。對(duì)第i行ai1，ai2，··

3、·，ain。記bi= - ai1+2ai2-3 ai3+···+ (-1)nnain，i=1，2，3，···，n!。用1,2,3可作數(shù)陣如右,由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,所以,b1+b2+···+b6= -12+212-312=-24，那么,在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中, b1+b2+···+b120= 解析：由題意知，顯然當(dāng)n=1時(shí)，a11=1,b1=- a11= -1;1 22 1 當(dāng)n=2時(shí)，可得2!=2個(gè)不同的排列,即組成一個(gè)2!行2列的數(shù)陣如

4、下： b1+b2= -1（1+2）+2（1+2）=3 當(dāng)n=3時(shí)，題中已求。當(dāng)n=4時(shí)，可得4!=24個(gè)不同的排列,即組成一個(gè)4!行4列的數(shù)陣如右， b1+b2+ b3+b4 = -1（1·3！+2·3！+3·3！+4·3?。?2（1·3！+2·3！+3·3！+4·3?。?3（1·3！+2·3！+3·3！+4·3！）+4（1·3！+2·3！+3·3！+4·3?。?（-1+2-3+4）（1·3！+2·3！+3·

5、;3！+4·3！）=120當(dāng)n=5時(shí)，可得5!=120個(gè)不同的排列,即組成一個(gè)5!行5列的數(shù)陣，b1+b2+ b3+b4 + b5 = -1（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4?。?2（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4?。?3（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4！）+4（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4?。?5（1·4！+2&

6、#183;4！+3·4！+4·4！+5·4?。?（-1+2-3+4-5）（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4?。?。問(wèn)題1：該題可以推廣出一般結(jié)論嗎？如用1，2，3，······，n形成的數(shù)列中，求的值。根據(jù)以上不完全歸納思想，作如下探究：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得到一個(gè)n!行n列的數(shù)陣如下：其中，注意到第j列中的n!項(xiàng)分別為：，且，其中與相同的項(xiàng)恰有項(xiàng)，所以 項(xiàng)=，=（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，同理得到= 從該題的推廣分析過(guò)程可知，如何求所得數(shù)陣各列之和以

7、及為何各列之和相等是關(guān)鍵，至于bi中的各項(xiàng)系數(shù)還可以加以改造與推廣。問(wèn)題2：若將此題中，記，則求的值。分析：由問(wèn)題1的探究過(guò)程知：=問(wèn)題3：若將此題中，記，則求的值。分析：由問(wèn)題1的探究過(guò)程知：=還可以不斷地進(jìn)行改造······通過(guò)該道高考題的推廣及探索過(guò)程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，牢固樹立學(xué)生的分類討論思想、排列與組合思想以及數(shù)列求和思想都大有裨益，也對(duì)今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的矩陣問(wèn)題打下埋伏，是一道難得的好題。 薂羄肅蒄薁蚄芀莀薀螆肅芆蕿袈艿膂蠆羈肂蒀蚈蝕襖莆蚇袃肀莂蚆羅羃羋蚅蚅膈膄蚄螇羈蒃蚃衿膆荿螃羈罿芅螂蟻膅膁螁螃羈葿螀羆膃蒅蝿肈肆莁螈螈芁芇蒞袀肄膃莄羂芀蒂莃螞肂莈蒂螄羋芄蒁袇肁膀蒁聿袃蕿蒀蝿腿蒄葿袁羂莀蒈羃膇芆蕆蚃羀膂蒆螅膆蒁薅袇羈莇薅羀膄芃薄蝿羇艿薃袂節(jié)膅薂羄肅蒄薁蚄芀莀薀螆肅芆蕿袈艿膂蠆羈肂蒀蚈蝕襖莆蚇袃肀莂蚆羅羃羋蚅蚅膈膄蚄螇羈蒃蚃衿膆荿螃羈罿芅螂蟻膅膁螁螃羈葿螀羆膃蒅蝿肈肆莁螈螈芁芇蒞袀肄膃莄羂芀蒂莃螞肂莈蒂螄羋芄蒁袇肁膀蒁聿袃蕿蒀蝿腿蒄葿袁羂莀蒈羃膇芆蕆蚃羀膂蒆螅膆蒁薅袇羈莇薅羀膄芃薄蝿羇艿薃袂節(jié)膅薂羄肅蒄薁蚄芀莀薀螆肅芆蕿袈艿膂蠆羈肂蒀蚈蝕襖莆蚇袃肀莂蚆羅羃羋蚅蚅膈膄蚄螇羈蒃蚃衿膆