專題三函數(shù)方程思想

1、.專題三 三個(gè)“二次”關(guān)系在高考中的應(yīng)用陳燕春三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.錦囊妙計(jì)1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n.(2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).若<p,則f(p)=m,f(q)=M;若p<

2、;x0,則f()=m,f(q)=M;若x0<q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件.(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p,q)內(nèi)成立.(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p<q).3.

3、二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a<0且f()=f()=0;(2)當(dāng)a>0時(shí)，f()<f() |+|<|+|,當(dāng)a<0時(shí)，f()<f()|+|>|+|;(3)當(dāng)a>0時(shí)，二次不等式f(x)>0在p,q恒成立或(4)f(x)>0恒成立難點(diǎn)訓(xùn)練1.已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_.解析：只需f(1)=2p23p+9>0或f(1)=2p2+p+1>0即3p或p1.p(3, ).答

4、案：(3，）2.二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則x的取值范圍是_.解析：由f(2+x)=f(2x)知x=2為對(duì)稱軸，由于距對(duì)稱軸較近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)較小，|12x22|1+2xx22|,2x0.答案：2x03.（11天津）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解】解法不等式化為，即，整理得，因?yàn)?，所以，設(shè)，于是題目化為，對(duì)任意恒成立的問題為此需求，的最大值設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，因而在處取得最大值，所以，整理得，即，所以，解得或，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是解法2同解法1,題目化為，對(duì)任意恒成立的問題為此需

5、求，的最大值設(shè)，則因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值從而有最大值所以，整理得，即，所以，解得或，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是解法3不等式化為，即，整理得，令由于，則其判別式，因此的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點(diǎn)得到，所以為使對(duì)任意恒成立，必須使為最小值，即實(shí)數(shù)應(yīng)滿足解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是解法4(針對(duì)填空題或選擇題)由題設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，則對(duì)，不等式也成立，把代入上式得，即，因?yàn)椋鲜絻蛇呁艘?，并整理得，即，所以，解得或，因此?shí)數(shù)的取值范圍是 4.（11湖北）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)，已知曲線與在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線.()求的值，并寫出切線的方程； ()若方程有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，其

6、中，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. （2）由（1）得，所以 依題意，方程有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x1、x2， 故x1、x2是方程的兩相異的實(shí)根.所以=9-4（2-m）>0，即又對(duì)任意的成立.特別地，取時(shí)，成立，得m<0.由韋達(dá)定理，可得故對(duì)任意的，有，x>0.則又所以函數(shù)在的最大值為0.于是當(dāng)m<0時(shí)，對(duì)任意的，恒成立.綜上，m的取值范圍是（）.5.浙江文設(shè)函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間；（）求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力。滿分15分。 （）解：因?yàn)?，所?由于，所以

7、的增區(qū)間為，減區(qū)間為 （）證明：由題意得，由（）知內(nèi)單調(diào)遞增，要使恒成立，只要，解得6.（2011年高考全國卷文科21)已知函數(shù)()證明：曲線（）若求a的取值范圍?！窘馕觥?)，故x=0處切線斜率，又即，當(dāng)故曲線（），令，故7.(2011年高考天津卷文科19)（本小題滿分14分）已知函數(shù)其中.（）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;()當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;()證明:對(duì)任意,在區(qū)間(0,1)內(nèi)均在零點(diǎn).【解析】（）當(dāng)時(shí), ,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.() 令,解得或,因?yàn)?以下分兩種情況討論:(1)若,則.當(dāng)變化時(shí), ,的變化情況如下表:+-+所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,;的單調(diào)遞減區(qū)間是.+-+ (2)

8、若,則.當(dāng)變化時(shí), ,的變化情況如下表:所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,;的單調(diào)遞減區(qū)間是.所以在內(nèi)存在零點(diǎn).若,所以在內(nèi)存在零點(diǎn),所以,對(duì)任意,在區(qū)間(0,1)內(nèi)均在零點(diǎn).綜上, 對(duì)任意,在區(qū)間(0,1)內(nèi)均在零點(diǎn).【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法.8（本小題滿分分）已知函數(shù)，其中（）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍【解】（）當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（）令，解得或針對(duì)區(qū)間，需分兩種情況討論：(1) 若,則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：增極大值減所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)得到因此在區(qū)間上，恒成立，等價(jià)于即解得，又因?yàn)椋?2) 若，則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：增極大值減極小值增所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)或處得到因此在區(qū)間上，恒成立，等價(jià)于即解得或，又因?yàn)?，所以綜合(1),(2), 的取值范圍為.9.已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)