中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)——幾何計(jì)算題選講

1、.中考數(shù)學(xué)幾何計(jì)算題選講幾何計(jì)算題歷年來(lái)是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題。幾何計(jì)算是以推理為基礎(chǔ)的幾何量的計(jì)算，主要有線段 與弧的長(zhǎng)度計(jì)算、角和弧的度數(shù)計(jì)算、三角函數(shù)值的計(jì)算、線段比值的計(jì)算以及面積、體積的計(jì)算，從圖形上分類(lèi)有：三角形、四邊形、多邊形以及圓的有關(guān)計(jì)算。解幾何計(jì)算題的常用方法有：幾何法、代數(shù)法、三角法等。一、三種常用解題方法舉例例1 如圖，在矩形ABCD中，以邊AB為直徑的半圓O恰與對(duì)邊CD相切于T，與對(duì)角線AC交于P，PEAB于E，AB=10，求PE的長(zhǎng).解法一：（幾何法）連結(jié)OT，則OTCD，且OT=AB5BC=OT=5,AC= BC是O切線，BC2 =CP·CA.PC=，AP=C

2、A-CP=.PEBC ，PE=×5=4.說(shuō)明：幾何法即根據(jù)幾何推理，由幾何關(guān)系式進(jìn)行求解的方法，推理時(shí)特別要注意圖形中的隱含條件.解法二：（代數(shù)法）PEBC，. .設(shè)：PE=x，則AE=2 x ，EB=102 x.連結(jié)PB. AB是直徑，APB=900.在RtAPB中，PEAB，PBEAPE . .EP=2EB，即x=2（102x）.解得x=4. PE=4.說(shuō)明：代數(shù)法即為設(shè)未知數(shù)列方程求解，關(guān)鍵在于找出可供列方程的相等關(guān)系，例如：相似三角形中的線段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割線定理中的線段等積式，以及其他的相等關(guān)系.解法三：（三角法）連結(jié)PB，則BPAC.設(shè)PAB=在

3、RtAPB中，AP=10COS，在RtAPE中，PE=APsin, PE=10sinCOS.在RtABC中, BC=5,AC=.sin=,COS=.PE=10×=4.說(shuō)明：在幾何計(jì)算中，必須注意以下幾點(diǎn)：（1） 注意“數(shù)形結(jié)合”，多角度，全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系.（2） 注意推理和計(jì)算相結(jié)合，先推理后計(jì)算，或邊推理邊計(jì)算，力求解題過(guò)程規(guī)范化.（3） 注意幾何法、代數(shù)法、三角法的靈活運(yùn)用和綜合運(yùn)用.二.其他題型舉例例2.如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2 a的正方形，AB為半圓O的直徑，CE切O于E，與BA的延長(zhǎng)線交于F，求EF的長(zhǎng).分析：本題考察切線的性質(zhì)、切割線定

4、理、相似三角形性質(zhì)、以及正方形有關(guān)性質(zhì).本題可用代數(shù)法求解.解：連結(jié)OE，CE切O于E， OECF EFOBFC，又OE=AB=BC，EF=FB設(shè)EF=x，則FB=2x，F(xiàn)A=2x2aFE切O于E FE2=FA·FB，x2=（2x2a）·2x解得x=a， EF=a.例3已知：如圖，O1 與O2相交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)O1在O2上，連心線O1O2交O1于點(diǎn)C、D，交O2于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CFCE，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若DE=2，AE=（1） 求證：EF是O1的切線；（2） 求線段CF的長(zhǎng)；（3） 求tanDAE的值.分析：（1）連結(jié)O1A，O1E是O2的直徑，O1AEF，從而知E

5、F是O1的切線.（2）由已知條件DE=2，AE=，且EA、EDC分別是O1的切線和割線，運(yùn)用切割線定理EA2=ED·EC，可求得EC=10.由CFCE，可得CF是O1的切線，從而FC=FA.在RtEFC中，設(shè)CF= x，則FE= x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2= x2+102，解得 x=.即CF=.（3）要求tanDAE的值，通常有兩種方法：構(gòu)造含DAE的直角三角形；把求tanDAE的值轉(zhuǎn)化為求某一直角三角形一銳角的正切（等角轉(zhuǎn)化）.在求正切值時(shí)，又有兩種方法可供選擇：分別求出兩線段（對(duì)邊和鄰邊）的值；整體求出兩線段（對(duì)邊和鄰邊）的比值.解：（1）連結(jié)O1A，O1E是

6、O2的直徑，O1AEFEF是O1的切線.（2）DE=2，AE=，且EA、EDC分別是O1的切線和割線EA2=ED·EC，EC=10由CFCE，可得CF是O1的切線，從而FC=FA.在RtEFC中，設(shè)CF= x，則FE= x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2= x2+102，解得 x=.即CF=.（3）解法一：（構(gòu)造含DAE的直角三角形）作DGAE于G，求AG和DG的值.分析已知條件，在RtA O1E中，三邊長(zhǎng)都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DGA O1（因?yàn)镈GAE），運(yùn)用平行分線段成比例可求得DG= 從而tanDAE=.解法二：（等角轉(zhuǎn)化）連結(jié)AC，

7、由EA是O1的切線知DAE=ACD.只需求tanACD.易得CAD=900，所以只需求的值即可.觀察和分析圖形，可得ADECAE，.從而tanACD=，即tanDAE=.說(shuō)明：（1）從已知條件出發(fā)快速地找到基本圖形，得到基本結(jié)論，在解綜合題時(shí)更顯出它的基礎(chǔ)性和重要性.如本題（2）求CF的長(zhǎng)時(shí)，要能很快地運(yùn)用切割線定理，先求出CE的長(zhǎng).（2）方程思想是幾何計(jì)算中一種常用的、重要的方法，要熟練地掌握.例4.如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長(zhǎng)線交A于F，CM=2，AB=4.（1） 求A的半徑；（2） 求CF的長(zhǎng)和AFC的面積.解：（1）四邊形ABCD是

8、矩形，CD=AB=4，在RtACD中，AC2=CD2+AD2，（2+AD）2=42+AD2，解得AD=3.（2） A作AGEF于G.BG=3，BE=ABAE=1，CE=由CE·CF=CD2，得CF=.又B=AGE=900，BEC=GEA，BCEGAE.，即SAFC=CF·AG=.例5.如圖，ABC內(nèi)接于O，BC=4，SABC=，B為銳角，且關(guān)于x的方程x24xcosB+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.D是劣弧AC上的任一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合），DE平分ADC，交O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.（1） 求B的度數(shù)；（2） 求CE的長(zhǎng). 分析：本題是一道綜合了代數(shù)知識(shí)的幾何計(jì)算題，考察了

9、圓的有關(guān)性質(zhì)，解題時(shí)應(yīng)注意線段的轉(zhuǎn)化. 解：（1）關(guān)于x的方程x24xcosB+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，=（-4cosB）2-4=0.cosB=，或cosB=-（舍去）.又B為銳角，B=600.（2） 點(diǎn)A作AHBC，垂足為H. SABC=BC·AH=BC·AB·sin600=，解得AB=6在RtABH中，BH=AB·cos600=6×=3，AH=AB·sin600=6×，CH=BC-BH=4-3=1. 在RtACH中，AC2+CH2=27+1=28.AC=（負(fù)值舍去）.AC=.連結(jié)AE，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，B+AD

10、C=1800，ADC=1200.又DE平分ADC，EDC=600=EAC. 又AEC=B=600，AEC=EAC，CE=AC=.例6. 已知：如圖，O的半徑為r，CE切O于點(diǎn)C，且與弦AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，CDAB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x23（r2）x+ r24=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求（1）AC、BC的長(zhǎng)；（2）CD的長(zhǎng).分析：（1）圖中顯然存在切割線定理的基本圖形，從而可得ECBEAC，AC=2BC.又AC、BC是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系可列出關(guān)于AC、BC的方程組求解.（2）CD是RtCDB的一邊，所以考慮構(gòu)造直角三角形與之對(duì)應(yīng).若過(guò)C作直徑CF，連結(jié)AF，則

11、RtCDBRtCAF，據(jù)此可列式計(jì)算.解：（1）CE切O于C，ECB=A.又E是公共角，ECBEAC，AC=2BC.由AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x23（r2）x+ r24=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，AC+BC=3（r-2）；AC·BC=r2-4，解得r=6，BC=4，AC=8.（2） CO并延長(zhǎng)交O于F，連結(jié)AF，則CAF=900，CFA=CBD. CDB=900=CAF，CAFCDB，.CD=.說(shuō)明：（1）這是一道代數(shù)、幾何的綜合題，關(guān)鍵是尋找相似三角形，建立線段之間的比例關(guān)系，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系列等式計(jì)算；（2）構(gòu)造與相似的直角三角形的方法有許多種，同學(xué)們不妨試一試.例7.如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，PA是過(guò)A點(diǎn)的直線，PAC=B.（1）求證：PA是O的切線；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延長(zhǎng)線交PA于F，AC=CEEB=65，AEEB=23，求AB的長(zhǎng)和FCB的正切值.解：（1）AB是O的直徑，ACB=900. CAB+B=900，又PAC=B，CAB+PAC=900.即PAAB，PA是O的切線.（2） 設(shè)CE=6a ,AE=2x,則ED=5a，EB=3 x. 由相交弦定理，得2x·3x=5a·6a x=a. 連結(jié)AD.由BCED